FTF 2 semestr.MAVRODI / 61
.pdf
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема. Если все члены ряда 
(1) - непрерывные на [a;b] функции, а ряд (1) сходится равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].
Доказательство: Пусть 
- произвольная точка [a;b]. Для определенности будем считать, что
(a;b). Нужно док-ть, что S(x)=
непрерывна в 
, т.е
<
(2), 
[a;b]. По условию, ряд (1) равномерно сходится
на [a;b], т.е 
n
[a;b] 
<
(3), где 
=
. Фиксируем номер 
, тогда при n=
из (3) получаем: 
<
(4). В частности,
при x=
находим 
<
(5). Функция 
(x) непрерывна в 
как сумма конечного числа непрерывных функций. По определению непрерывности 
[a;b] |
< (6). Воспользуемся равенством S(x)-S( )=(S(x)- |
(x))+( |
(x)- |
( |
))+( |
( )-S( )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и неравенство треугольника : |
|
< |
|
, для |
[a;b], т.е справедливо утверждение (2). В силу произвольности |
|
|
|
точки |
функция S(x)непрерывна на отрезке [a;b]. |
|
|
|