Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
76
Добавлен:
09.11.2013
Размер:
224.85 Кб
Скачать

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

Теорема. Если все члены ряда (1) - непрерывные на [a;b] функции, а ряд (1) сходится равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Доказательство: Пусть - произвольная точка [a;b]. Для определенности будем считать, что

(a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е

<(2), [a;b]. По условию, ряд (1) равномерно сходится

на [a;b], т.е n[a;b] <(3), где =

. Фиксируем номер , тогда при n= из (3) получаем: <(4). В частности,

при x= находим <(5). Функция (x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных функций. По определению непрерывности

[a;b]

< (6). Воспользуемся равенством S(x)-S( )=(S(x)-

(x))+(

(x)-

(

))+(

( )-S( )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и неравенство треугольника :

 

<

, для

[a;b], т.е справедливо утверждение (2). В силу произвольности

 

 

точки

функция S(x)непрерывна на отрезке [a;b].

 

 

 

Соседние файлы в папке FTF 2 semestr.MAVRODI