FTF 2 semestr.MAVRODI / 62
.pdf
Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей.
|
Будем рассматривать ряд |
(1). |
|
|
|
|
Теорема. Если все члены ряда (1) — непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции, а ряд (1) сходится |
||||||
равномерно на [a;b], то ряд |
также равномерно сх-ся на [a;b], и если S(x)= |
(2), |
||||
то |
= |
, |
[a;b](3), т.е. ряд(2) можно почленно интегрировать. |
|
||
Д-во: По усл-ю ряд (2) сх-ся равномерно к S(x) на [a;b], т.е. |
= |
S(x), [ |
a;b]. Это |
|||
означает, что |
|
[a;b] |
< |
(4). Пусть (x)= |
, |
|
а 
(x)=
-n-ая частичная сумма ряда (1). Ф-ции 
(x), 
, по усл-ю непрерывны на отрезке [a;b] и поэтому они интегрируемы на [a;b] . Ф-ция S(x) также интегрируема на [a;b], т.к. она
непрерывна на этом отрезке. По св-вам интеграла получаем: |
(x)= |
= |
. |
||
Следовательно, (x)- |
(x)= |
, откуда в силу усл-я (4) получаем |
< |
||
= |
, это нер-во выполняется для всех |
|
и для всех |
[a;b]. Это |
|
означает, что ряд (1) сходится равномерно на [a;b] и выполняется рав-во (3). |
|
||||
Замечание. Рав-во (3) остается в силе, если заменить a на c, x на d, где |
, т.е. ряд (2) |
||||
можно почленно интегрировать на любом отрезке [c;d] содержащемся в отрезке [a;b].