FTF 2 semestr.MAVRODI / 65

Радиус сходимости степенного ряда.

Теорема. Для всякого степенного ряда (2) существует R(-число или ) такое, что:

а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;

б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;

в) если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R

сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R=, а если существует конечный и бесконечный , то R=.

0, .