FTF 2 semestr.MAVRODI / 66
.pdf
Свойства степенных рядов
1. Если |
, т.е. ряд (3.10) сходится,вто,кругеиспользуя признак Вейерштрасса, |
|
установить, что ряд сходится равномерно, гдев— кругелюбо положительное, |
||
меньшее число, |
. Это означает, что степеннойсходится рядравномерно внутри круга с |
|
2.В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящи теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция
3.Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое числ сходимости.
Последнее свойство означает, что ряд, полученныйдифференцированием,из ряда т.е.
ряд |
или, что удобнее, |
, и ряд, полученный |
|
интегрированием,яд,т.сходятсяе.р |
внутри круга сходимости исходного ряда, а потому |
||
не меньше радиуса сходимости исходного ряда. |
|
||
Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не
сходимости данногонногостеперяда |
через |
, где |
. Рассмотрим ряд, чле |
|||
которого являются производные от |
членов данного ряда, т.е. ряд, полученный п |
|||||
дифференцированием: |
. Общий член этого ряда |
запишем в виде, |
||||
где |
, а — коэффициент исходного ряда. мостиРадиусполученногосходи |
ряда |
||||
определим по формуле-Адамара,Коши |
т.е. |
, где |
|
|
|
|
Следовательно, . Здесь использован известный предел , частный случай
которого |
был использован при решении примера 3.3. Такполучаетсякак ряд из |
ряда |
интегрированием, тозанногиз докаследует, что при интегрировании |
сходимости не изменяется.
Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:
а) |
; б) |
; в) |
; г) . |
▼Решение
Впервых двух случаях имеем ряды. видаДля — такой ряд сходящийся. Последователь
частичных сумм |
может быть записана по формуле |
суммы членов |
|
геометрической прогрессии . При |
находим |
— сумма |
членов |
бесконечной убывающей геометрической прогрессии, для которойи знампенательрвый. уммачленС ряда
вида |
— целое, может быть получена последовательным дифференцирова, |
а ряды |
, отличаются от на конечное число слагаемых. |
а) Для ряда имеем
(3.13)
б) Для ряда |
или |
аналогично пункту "а" находим: |
в) Для решения используемсвойство дифференцирования ряда.
Получаем |
или |
. Окончательно |
находим |
или |
. |
г) Используя формулу (3.13)имеемдля ряда |
|
|