FTF 1 semestr.SHECOLDIN / 19

Всякий двигатель, создающий тягу, называется реактивным. В реактивном двигателе тяга создается извержение продуктов горения, которые до участия в создании тяги входят в массу ракеты.

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским для материальной точки переменной массы (состава)

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

,

где:

• m — масса материальной точки переменной массы, меняющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой;

•  — скорость движения материальной точки переменной массы;

•  — внешние силы, действующие на материальную точку переменной массы со стороны ее внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);

•  — относительная скорость присоединяющихся частиц;

•  — относительная скорость отделяющихся частиц;

• ,   — скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц;

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Уравнение Мещерского является следствием законов механики Ньютона (в частности, второго закона Ньютона) и ряда допущений о процессе движения материальной точки переменной массы . При этом величина:

называется «реактивной силой».

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

,

где:

 — конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

 — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

 — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года (22 мая по григорианскому календарю).^[1]

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университетасоответственно в 1810—1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

,

в котором  — масса точки;

 — скорость точки;

 — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[2]

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

 — масса заправленной -ой ступени ракеты;

 — масса -ой ступени без топлива;

 — удельный импульс двигателя -ой ступени;

 — масса полезной нагрузки;

 — число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде: