Анищенко В.С. - Устойчивость, бифуркации, катастрофы

© АÌˢÂÌÍÓ Ç.ë., 2000

STABILITY, BIFURCATIONS,

AND CATASTROPHES

V. S. ANISHCHENKO

The basic ideas and principles of the approach to the analysis of stability and bifurcations of the regimes of dynamic systems are presented.

аБОУКВМ˚ УТМУ‚М˚В Л‰ВЛ Л Ф ЛМˆЛФ˚ ФУ‰- ıУ‰‡ Н ‡М‡ОЛБЫ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИВКЛПУ‚ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП.

www.issep.rssi.ru

ЗЗЦСЦзаЦ

з‡¯Л Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ЪУ„У ЛОЛ ЛМУ„УВКЛП‡ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ ЛМЪЫЛЪЛ‚МУ ЩУ ПЛ Ы˛ЪТfl ‚ Ф УˆВТТВ ФУБМ‡МЛfl Ф Л У- ‰˚ Л КЛБМЛ. иВ ‚˚В ¯‡„Л П‡ОВМ¸НУ„У В·ВМН‡ ‰‡˛Ъ ВПЫ ‚ФУОМВ В‡О¸М˚В Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Ф Л ıУ‰¸·В, ıУЪfl УМЛ (Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl) В˘В МВУТУБМ‡М- М˚. ЙОfl‰fl М‡ БМ‡ПВМЛЪЫ˛ Н‡ ЪЛМЫ и. иЛН‡ТТУ “СВ‚У˜- Н‡ М‡ ¯‡ В”, П˚ Н‡Н ·˚ М‡ ТВ·В У˘Ы˘‡ВП, ˜ЪУ ФУОУКВМЛВ ‡‚МУ‚ВТЛfl ‰В‚У˜НЛ МВЫТЪУИ˜Л‚У. ЗБ УТОВfl, П˚ ЫКВ ПУКВП ‡ТТЫК‰‡Ъ¸ У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ НУ ‡·Оfl ‚ ·Ы- ¯Ы˛˘ВП ПУ В, У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ˝НУМУПЛНЛ ФУ УЪМУ- ¯ВМЛ˛ Н ‰ВИТЪ‚ЛflП ЫФ ‡‚ОВМˆВ‚, У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ М‡- ¯ВИ МВ ‚МУИ ТЛТЪВП˚ Н ТЪ ВТТУ М˚П ‚УБПЫ˘ВМЛflП Л Ъ.‰. З Н‡К‰УП НУМН ВЪМУП ТОЫ˜‡В В˜¸ Л‰ВЪ У· УЪОЛ˜‡˛- ˘ЛıТfl Т‚УИТЪ‚‡ı, ТФВˆЛЩЛ˜ВТНЛı ‰Оfl ‡ТТП‡Ъ Л‚‡В- П˚ı ТЛТЪВП. й‰М‡НУ ВТОЛ ‚МЛП‡ЪВО¸МУ ‚‰ЫП‡Ъ¸Тfl, ЪУ ПУКМУ М‡ИЪЛ МВ˜ЪУ У·˘ВВ, Ф ЛТЫ˘ВВ О˛·УИ ТЛТЪВПВ. щЪУ У·˘ВВ Б‡НО˛˜‡ВЪТfl ‚ ЪУП, ˜ЪУ НУ„‰‡ П˚ „У‚У ЛП У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ, ЪУ ФУМЛП‡ВП ФУ‰ ˝ЪЛП ı‡ ‡НЪВ В‡НˆЛЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ М‡ П‡ОУВ ‚УБПЫ˘ВМЛВ ВВ ТУТЪУflМЛfl. ЦТОЛ ТНУО¸ Ы„У‰МУ П‡О˚В ЛБПВМВМЛfl ТУТЪУflМЛfl ТЛТЪВП˚ М‡˜ЛМ‡˛Ъ М‡ ‡ТЪ‡Ъ¸ ‚У ‚ ВПВМЛ, ТЛТЪВП‡ МВЫТЪУИ˜Л‚‡. З Ф УЪЛ‚МУП ТОЫ˜‡В, ВТОЛ П‡О˚В ‚УБПЫ˘В- МЛfl Б‡ЪЫı‡˛Ъ ТУ ‚ ВПВМВП, ТЛТЪВП‡ ЫТЪУИ˜Л‚‡.

АМ‡ОЛБ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ВКЛП‡ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ fl‚ОflВЪТfl ˜ ВБ‚˚˜‡ИМУ ‚‡КМ˚П Т Ф ‡НЪЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl. мТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ Ъ‡НЛı ТЛТЪВП, Н‡Н ‡‚ЪУПУ·ЛО¸, ‚УБ‰Ы¯М˚И ЛОЛ ПУ ТНУИ О‡ИМВ ˚, ФУ УЪМУ¯ВМЛ˛ Н ‚УБПЫ˘ВМЛflП, НУЪУ ˚В ‚ТВ„‰‡ ТУФ У- ‚УК‰‡˛Ъ Лı ‰‚ЛКВМЛВ, ·ВБЫТОУ‚МУ КЛБМВММУ ‚‡КМ˚И Щ‡НЪУ ‚ Т‡ПУП Ф flПУП ТП˚ТОВ ˝ЪУ„У ТОУ‚‡.

Ц˘В ·УОВВ ‚‡КМУИ Ф У·ОВПУИ fl‚ОflВЪТfl ‡М‡ОЛБ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ТОУКМ˚ı, ПМУ„УНУПФУМВМЪМ˚ı ТЛТЪВП. з‡- ·О˛‰‡fl Б‡ ˝‚УО˛ˆЛВИ КЛ‚УИ Л МВКЛ‚УИ Ф Л У‰˚, П˚ ПУКВП ФУ‰ПВЪЛЪ¸ У‰МУ ЛМЪВ ВТМУВ Т‚УИТЪ‚У: ‡Б‚ЛЪЛВ ЪУИ ЛОЛ ЛМУИ ТОУКМУИ ТЛТЪВП˚ ‚ТВ„‰‡ ТУФ У‚УК‰‡ВЪТfl ФУЪВ ВИ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ МВНУЪУ ˚ПЛ ВКЛП‡ПЛ ВВ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl Л УК‰ВМЛВП МУ‚˚ı, ЫТЪУИ˜Л‚˚ı. й‰МЛ ТЪ ЫНЪЫ ˚ „Л·МЫЪ, УК‰‡˛ЪТfl МУ‚˚В, НУЪУ ˚В ‚Л‰УЛБПВМfl˛ЪТfl, ТУ‚В ¯ВМТЪ‚Ы˛ЪТfl Л Б‡ЪВП ‚МУ‚¸ ЫТЪЫФ‡˛Ъ ПВТЪУ МУ‚˚П. аБПВМВМЛfl ПУ„ЫЪ М‡Н‡ФОЛ‚‡Ъ¸Тfl ФО‡‚МУ,

‡ ПУ„ЫЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ ТН‡˜НУП ‚ ‚Л‰В Н‡Ъ‡ТЪ УЩ. оУ ПЛ-У‚‡МЛВ МУ‚˚ı ТЪ ЫНЪЫ ‚ТВ„‰‡ ТУФ У‚УК‰‡ВЪТfl ФУЪВ ВИ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ (‰‡КВ ‡Б Ы¯ВМЛВП) Ф В‰¯ВТЪ‚Ы˛˘Лı. а Б‰ВТ¸ ТН ˚Ъ‡ ‚‡КМ‡fl Ф У·ОВП‡ – Ф У·ОВП‡ ФВ ВıУ‰‡ ТЛТЪВП˚ ЛБ У‰МУ„У ВКЛП‡ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl ‚ ‰ Ы- „УИ ВКЛП, УЪОЛ˜‡˛˘ЛИТfl Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ. и В‰¯В- ТЪ‚Ы˛˘ЛИ ВКЛП ФУЪВ flО ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸. зУ ˜ЪУ Ф Л ˝ЪУП Ф УЛТıУ‰ЛЪ? лЛТЪВП‡ ‚˚·Л ‡ВЪ МУ‚˚И ЫТЪУИ˜Л- ‚˚И ВКЛП, НУЪУ ˚И ПУКВЪ М‡ТОВ‰У‚‡Ъ¸ МВНУЪУ ˚В Т‚УИТЪ‚‡ Ф В‰˚‰Ы˘В„У, ‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Л ВБНУ УЪОЛ˜- М˚П. З Ъ‡НЛı ТОЫ˜‡flı „У‚У flЪ У ·ЛЩЫ Н‡ˆЛflı ‰ЛМ‡ПЛ- ˜ВТНЛı ТЛТЪВП.

и Л‚В‰ВММ˚В ‡ТТЫК‰ВМЛfl fl‚Оfl˛ЪТfl Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚- ПЛ Л Ф ЛУ· ВЪ‡˛Ъ ‚ФУОМВ УФ В‰ВОВММ˚И ТП˚ТО ОЛ¯¸ ‚ ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡ Ы‰‡ВЪТfl ФВ В‚ВТЪЛ Лı М‡ ЩУ П‡О¸М˚И flБ˚Н П‡ЪВП‡ЪЛНЛ. йТМУ‚˚ ТЪ У„УИ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ЪВ- У ЛЛ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ·˚ОЛ Б‡ОУКВМ˚ ‚ Ъ Ы‰‡ı ЫТТНУ„У П‡ЪВП‡ЪЛН‡ А.е. гflФЫМУ‚‡ УНУОУ ТЪ‡ ОВЪ М‡Б‡‰. к‡Б‚Л- ЪЛВ Н‡˜ВТЪ‚ВММУИ ЪВУ ЛЛ Л ЪВУ ЛЛ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т‚flБ‡МУ Т ЛПВМ‡ПЛ УТТЛИТНЛı Ы˜В- М˚ı А.А. АМ‰ УМУ‚‡, З.а. А МУО¸‰‡ Л Лı Ы˜ВМЛНУ‚.

иУФ˚Ъ‡ВПТfl М‡ Ф УТЪ˚ı Л ФУМflЪМ˚ı Ф ЛПВ ‡ı Ф У- ЛОО˛ТЪ Л У‚‡Ъ¸ ТУ‰В К‡МЛВ Л ПВЪУ‰˚ В¯ВМЛfl Б‡‰‡˜ У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛflı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП.

газЦвзхв АзАгаб млнйвуаЗйлна

г˛·‡fl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ (ЩЛБЛ˜ВТН‡fl, ıЛПЛ˜В- ТН‡fl, ПВı‡МЛ˜ВТН‡fl Л Ъ.‰.) ‡ТТУˆЛЛ ЫВЪТfl ‚ М‡¯ВП Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛЛ Т ˝‚УО˛ˆЛВИ ‚У ‚ ВПВМЛ. и В‰‚Л‰fl ‚УБ-‡КВМЛfl, ЫН‡КВП, ˜ЪУ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ, Ф Л НУЪУ УП ТНУ УТЪ¸ ЛБЫ˜‡ВПУ„У Ф УˆВТТ‡ ‡‚М‡ МЫО˛, ЪВП ·УОВВ ТУТЪУflМЛВ ‡‚МУ‚ВТЛfl, Ъ‡НКВ ПУКМУ Ъ ‡НЪУ- ‚‡Ъ¸ Н‡Н Ф В‰ВО¸М˚И ТОЫ˜‡И ˝‚УО˛ˆЛЛ ТЛТЪВП˚ ‚У ‚ ВПВМЛ. З ВТЪВТЪ‚УБМ‡МЛЛ ЪЛФЛ˜МУИ ПУ‰ВО¸˛ ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ fl‚ОflВЪТfl У·˚НМУ‚ВММУВ ‰ЛЩЩВ-ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ

З Т‚flБЛ Т ЪВП ˜ЪУ Ф У·ОВП‡ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Т‚flБ‡М‡ Т ‡М‡ОЛБУП В‡НˆЛЛ ТЛТЪВП˚ М‡ П‡ОУВ ‚УБПЫ˘ВМЛВ ВВ ТУТЪУflМЛfl, М‡ ФВ ‚УП ˝Ъ‡ФВ УМ‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ЛТТОВ‰У‚‡М‡ ‚ ‡ПН‡ı ОЛМВИМУ„У Ф Л·ОЛКВМЛfl. иУflТМЛП ˝ЪУ. иЫТЪ¸ x0(t) ВТЪ¸ МВНУЪУ УВ ˜‡ТЪМУВ В¯ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛfl (1). мТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ ˝ЪУ„У В¯ВМЛfl (ТУТЪУflМЛfl) П˚ ıУЪЛП ЛТТОВ‰У‚‡Ъ¸. З‚В‰ВП ‚ ‡ТТПУЪ ВМЛВ ФВ ВПВММЫ˛ y(t), НУЪУ ‡fl Б‡‰‡ВЪ П‡ОУВ УЪНОУМВМЛВ УЪ ˜‡ТЪМУ„У В¯ВМЛfl:

(Á‰ÂÒ¸ x(t) – ‚УБПЫ˘ВММУВ В¯ВМЛВ).

з‡¯‡ Б‡‰‡˜‡ ТУТЪУЛЪ ‚ ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ˝‚УО˛ˆЛЛ ‚У ‚ ВПВМЛ П‡ОУ„У ‚УБПЫ˘ВМЛfl y(t), НУЪУ ‡fl ФУ‰˜ЛМflВЪТfl Ы ‡‚МВМЛ˛ (1). к‡БОУКЛП ЩЫМНˆЛ˛ F ‚ ТЪВФВММУИ fl‰ ‚ УН ВТЪМУТЪЛ ˜‡ТЪМУ„У В¯ВМЛfl x0(t):

è ÓËÁ‚Ó‰Ì˚ ÙÛÌ͈ËË F ‰УОКМ˚ ‚˚˜ЛТОflЪ¸Тfl ‚ ЪУ˜- Н‡ı, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı ˜‡ТЪМУПЫ В¯ВМЛ˛.

иВ ВФЛ¯ВП Ы ‡‚МВМЛВ (1) ‰Оfl ‚УБПЫ˘ВМЛfl y(t) Ò Û˜ÂÚÓÏ (4):

ë·„‡ÂÏ˚ Φ(y) ‚Íβ˜‡˛Ú ‚Ò ˜ÎÂÌ˚ Ò yn (n $ 2), ЪУ ВТЪ¸ Ы˜ЛЪ˚‚‡˛Ъ МВОЛМВИМ˚В ‰У·‡‚НЛ. иУ УФ В‰ВОВМЛ˛, ФВ ВПВММ‡fl y(t) ВТЪ¸ П‡ОУВ УЪНОУМВМЛВ УЪ ˜‡ТЪМУ- „У В¯ВМЛfl. иУ˝ЪУПЫ МВОЛМВИМ˚ПЛ ˜ОВМ‡ПЛ ‚ Ы ‡‚МВМЛЛ (5) ‚ ФВ ‚УП Ф Л·ОЛКВМЛЛ ПУКМУ Ф ВМВ· В˜¸.

„‰Â x(t) – ФВ ВПВММ‡fl ТУТЪУflМЛfl, F – МВНУЪУ ‡fl ЩЫМНˆЛfl ТУТЪУflМЛfl, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘‡fl Б‡НУМ ˝‚УО˛ˆЛЛ, µ – Ф‡ ‡ПВЪ ТЛТЪВП˚. ЦТОЛ Б‡‰‡МУ М‡˜‡О¸МУВ ТУТЪУflМЛВ x(t0), ЪУ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ В‰ЛМТЪ‚ВММУВ В¯ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛfl (1), НУЪУ УВ Ф В‰ТН‡Б˚‚‡ВЪ ·Ы‰Ы˘ВВ ТУТЪУflМЛВ x(t) ‰Îfl β·˚ı t > t0 . ЦТОЛ ˜ЛТОУ ФВ ВПВММ˚ı ТУТЪУflМЛfl ‡‚МУ ‰‚ЫП (ЛОЛ ·УОВВ), ЪУ ПУ‰ВО¸˛ ·Ы‰ВЪ ТЛТЪВП‡ ‰‚Ыı (ЛОЛ ·УОВВ) Ы ‡‚МВМЛИ:

x˙ = F (x , x , µ),

1 1 1 2

x˙ = F (x , x , µ).

(2)

2 2 1 2

уЛТОУ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ Ъ‡НКВ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ·УО¸¯В, ˜ВП У‰ЛМ.

к‡ТТПУЪ ЛП Ô ËÏ . иЫТЪ¸ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ Б‡‰‡М‡ Ы ‡‚МВМЛВП

з‡И‰ВП ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В ТУТЪУflМЛfl ˝ЪУИ ТЛТЪВП˚ Л ЛТТОВ‰ЫВП Лı ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸. З ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ТУТЪУflМЛЛ ЛБПВМВМЛИ ‚У ‚ ВПВМЛ МВЪ, БМ‡˜ЛЪ, x˙= 0 Ë Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ

к‡ТТПУЪ ЛП Ы ‡‚МВМЛВ ‰Оfl ‚УБПЫ˘ВМЛИ (7) Ф ЛПВМЛЪВО¸МУ Н ФВ ‚УПЫ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУПЫ ТУТЪУflМЛ˛ x01:

λdF

=------ = –2 ab. dx x01

кВ¯ВМЛВП Ы ‡‚МВМЛfl (10) ·Ы‰ВЪ y = exp(λt). ЗУБПЫ˘В- МЛВ y ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУ Б‡ЪЫı‡ВЪ ‚У ‚ ВПВМЛ (λ ВТЪ¸ УЪ-Лˆ‡ЪВО¸МУВ ˜ЛТОУ). щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ТУТЪУflМЛВ x01 ЫТЪУИ˜Л‚У. н‡Н Н‡Н ‚ЪУ УВ ТУТЪУflМЛВ x02 УЪОЛ˜‡ВЪТfl УЪ ФВ ‚У„У ЪУО¸НУ БМ‡НУП, ЪУ В¯ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛfl (10) ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ·Ы‰ВЪ ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУ М‡ ‡ТЪ‡˛˘ЛП ‚У ‚ ВПВМЛ. лЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ x02 МВЫТЪУИ˜Л‚У.

СУТЪ‡ЪУ˜МУ Ф УТЪ‡fl Л‰Вfl Ф В‰ТН‡Б‡МЛfl ЫТЪУИ˜Л‚У- ТЪЛ ФУ ОЛМВИМУПЫ Ф Л·ОЛКВМЛ˛ УН‡Б‡О‡Т¸ ‚ВТ¸П‡ ФОУ- ‰УЪ‚У МУИ. аТФУО¸БЫfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ЩУ П‡ОЛБП, ПУКМУ У·У·˘ЛЪ¸ ВБЫО¸Ъ‡Ъ (7) М‡ ТОЫ˜‡И ‰‚Ыı Л ·УОВВ ФВ ВПВММ˚ı ТУТЪУflМЛfl. з‡Ф ЛПВ , ‚ ТОЫ˜‡В N = 2 Ы ‡‚- МВМЛВ (7) Ф ЛПВЪ ‚Л‰

ЦТОЛ У‰МУПВ МУВ Ы ‡‚МВМЛВ (1) УФЛТ˚‚‡ВЪ ˝‚УО˛- ˆЛ˛ ЛТНО˛˜ЛЪВО¸МУ ‚ УН ВТЪМУТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛИ, ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ (2) ПУКВЪ ЛПВЪ¸ ‚ Н‡˜ВТЪ‚В В- ¯ВМЛfl МВ ЪУО¸НУ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В, МУ Л ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛВВ¯ВМЛfl. л Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП ‡БПВ МУТЪЛ ЛТıУ‰МУИ ТЛТЪВ- П˚ (1) ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В ЫТОУКМfl˛ЪТfl Л ЪЛФ˚ ‚УБПУКМ˚ıВ¯ВМЛИ. щЪУ ТУБ‰‡ВЪ УФ В‰ВОВММ˚В Ф У·ОВП˚ ‚ ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ: ‚В‰¸ ‰Оfl В¯ВМЛfl Ы ‡‚МВМЛИ ‰Оfl ‚УБПЫ˘ВМЛИ ЪЛФ‡ (7) МВУ·ıУ‰ЛПУ БМ‡Ъ¸ ˜‡ТЪМУВ В- ¯ВМЛВ x0(t)! л Ф ЛПВМВМЛВП ТУ‚ ВПВММ˚ı НУПФ¸˛ЪВ-У‚ ˝ЪЛ Ъ Ы‰МУТЪЛ ОВ„НУ Ф ВУ‰УОЛП˚.

ЕаомкдАсаа СазАеауЦлдап лалнЦе

ЦТОЛ ‚МЛП‡ЪВО¸МУ Ф ЛТПУЪ ВЪ¸Тfl Н УН ЫК‡˛˘ВИ М‡Т Ф Л У‰В, ЪУ ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ТОВ‰Ы˛˘ВВ ЛМЪВ ВТМУВ М‡- ·О˛‰ВМЛВ. ЬЛБМ¸ М‡ ФО‡МВЪВ бВПОfl ‚УБПУКМ‡ ОЛ¯¸ ·О‡„У‰‡ fl ЪВФОУ‚УПЫ ЛБОЫ˜ВМЛ˛ лУОМˆ‡, НУЪУ УВ ТОЫКЛЪ ЛТЪУ˜МЛНУП ˝МВ „ЛЛ. гВЪУП Т‚ МУВ ФУОЫ¯‡ ЛВ ФУОЫ˜‡ВЪ Т‚ВЪУ‚УИ ˝МВ „ЛЛ ·УО¸¯В, ˜ВП БЛПУИ. а Н‡ - ЪЛМ‡ ОВЪМВИ Ф Л У‰˚ Ф Л ˝ЪУП Б‡ПВЪМУ УЪОЛ˜‡ВЪТfl УЪ БЛПМВИ. С‡‚‡ИЪВ ‡ТТПУЪ ЛП ‚ Н‡˜ВТЪ‚В Ф ЛПВ ‡ У·˙ВП ‚У‰˚ ‚ УБВ В. дУОЛ˜ВТЪ‚ВММУИ ПВ УИ Ф Л‚МУТЛПУИ ТУОМВ˜МУИ ˝МВ „ЛЛ fl‚ОflВЪТfl ЪВПФВ ‡ЪЫ ‡ ‚У‰˚. гВЪУП ‚У‰‡ ‚ УБВ В ЪВФО‡fl Л ПУКМУ НЫФ‡Ъ¸Тfl. л М‡ТЪЫФОВМЛВП

УТВМЛ ЪВПФВ ‡ЪЫ ‡ ‚У‰˚ ФУТЪВФВММУ ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl. дЫ- Ф‡Ъ¸Тfl ЫКВ МВ ıУ˜ВЪТfl, У‰М‡НУ ‚У‰‡ Л Ф Л ·УОВВ МЛБНУИ, МУ ФО˛ТУ‚УИ ЪВПФВ ‡ЪЫ В УТЪ‡ВЪТfl ‚У‰УИ! ЙОЫ·УНУИ УТВМ¸˛ ‚В ıМЛИ ТОУИ ‚У‰˚ ‚ УБВ В УТЪ˚‚‡ВЪ ‰У МЫОВ‚УИ ЪВПФВ ‡ЪЫ ˚ Л ‚‰ Ы„ Ф В‚ ‡˘‡ВЪТfl ‚ ОВ‰! С‡ОВВ Л Ф Л −20°C ОВ‰ УТЪ‡ВЪТfl О¸‰УП. уЪУ КВ Ф УЛБУ¯ОУ? и Л Ф УıУК‰ВМЛЛ ЪВПФВ ‡ЪЫ ˚ ˜В ВБ МЫО¸ ‚У‰‡ ВБНУ ЛБПВМЛО‡ Т‚УЛ Т‚УИТЪ‚‡: УМ‡ ЛБ КЛ‰НУ„У ТУТЪУflМЛfl ФВ В¯О‡ ‚ Ъ‚В ‰УВ. а МВ ФО‡‚МУ, ‡ ТН‡˜НУП.

ЦТОЛ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ ЪВПФВ ‡ЪЫ Ы ‚У‰˚ Н‡Н МВНЛИ Ф‡ ‡ПВЪ ТЛТЪВП˚, ЪУ ıУ У¯У ЛБ‚ВТЪМУ, ˜ЪУ Т ЛБПВМВМЛВП Ф‡ ‡ПВЪ ‡ ‚У‰‡ ВБНУ ПВМflВЪ Т‚УЛ Т‚УИТЪ‚‡ Ф Л ФВ ВıУ‰В ˜В ВБ 0°л, ˜В ВБ 100°C, НУ„‰‡ ‚У‰‡ Ф В‚ ‡˘‡- ВЪТfl ‚ Ф‡ . ЦТЪ¸ Л ‰ Ы„ЛВ УТУ·˚В БМ‡˜ВМЛfl ЪВПФВ ‡ЪЫ ˚ ‚У‰˚. йН‡Б˚‚‡ВЪТfl, ˜ЪУ ·УО¸¯ЛМТЪ‚У ЛМЪВ ВТМ˚ı ЩЛБЛ˜ВТНЛı Б‡‰‡˜ Ф Л Лı П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУП УФЛТ‡МЛЛ Ф Л- ‚У‰flЪ Н ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚П Ы ‡‚МВМЛflП, Б‡‚ЛТfl˘ЛП УЪ У‰МУ„У ЛОЛ МВТНУО¸НЛı Ф‡ ‡ПВЪ У‚.

к‡ТТПУЪ ЛП ‚ Н‡˜ВТЪ‚В ‰ Ы„У„У Ф ЛПВ ‡ Ы ‡‚МВМЛfl НУОВ·‡МЛИ У·˚НМУ‚ВММУ„У П‡flЪМЛН‡ ЛОЛ (˜ЪУ Т П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl ФУОМУТЪ¸˛ Л‰ВМЪЛ˜МУ) Ф‡-‡ООВО¸МУ„У RLC-НУМЪЫ ‡:

м ‡‚МВМЛВ (12) ТУ‰В КЛЪ ‰‚‡ Ф‡ ‡ПВЪ ‡: α – Ф‡ ‡ПВЪ Б‡ЪЫı‡МЛfl, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘ЛИ Ъ ВМЛВ, Л ω0 – Ф‡ ‡ПВЪ , УФ В‰ВОfl˛˘ЛИ ˜‡ТЪУЪЫ НУОВ·‡МЛИ. ЦТОЛ ФУЪВ Л ˝МВ - „ЛЛ УЪТЫЪТЪ‚Ы˛Ъ (Ф‡ ‡ПВЪ Б‡ЪЫı‡МЛfl α = 0), ЪУ В¯В- МЛВП Ы ‡‚МВМЛfl (12) ·Ы‰ЫЪ „‡ ПУМЛ˜ВТНЛВ МВБ‡ЪЫı‡˛- ˘ЛВ НУОВ·‡МЛfl. и Л П‡ОУП Ъ ВМЛЛ 0 < α < 1 ‰‚ЛКВМЛВ ТЛТЪВП˚ ·Ы‰ВЪ НУОВ·‡ЪВО¸М˚П Т ‡ПФОЛЪЫ‰УИ, НУЪУ ‡fl ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl ‚У ‚ ВПВМЛ ФУ ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУПЫ Б‡НУМЫ. з‡НУМВˆ, Ф Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УО¸¯УП Ъ ВМЛЛ (α > 1) ‰‚ЛКВМЛВ П‡flЪМЛН‡ ·Ы‰ВЪ ‡ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛП, Б‡ЪЫı‡˛- ˘ЛП ‚У ‚ ВПВМЛ. мКВ ‚ ˝ЪУП Ф УТЪУП Ф ЛПВ В ‚˚‰ВОfl- ˛ЪТfl ‰‚‡ УТУ·˚ı БМ‡˜ВМЛfl Ф‡ ‡ПВЪ ‡ α = 0 Л α = 1, УЪНОУМВМЛfl УЪ НУЪУ ˚ı Н‡˜ВТЪ‚ВММУ ПВМfl˛Ъ Т‚УИТЪ‚‡ ТЛТЪВП˚.

аБПВМВМЛВ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ ‚ Ы ‡‚МВМЛЛ ПУКВЪ ‚˚Б‚‡Ъ¸ ФУЪВ ˛ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ У‰МУ„У ТУТЪУflМЛfl (ЛОЛ ВКЛП‡ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl) ТЛТЪВП˚ Л ФВ ВıУ‰ ВВ ‚ ‰ Ы„УВ, УЪОЛ˜МУВ УЪ ФВ ‚У„У ТУТЪУflМЛВ. щЪУ fl‚ОВМЛВ, Н‡Н ТН‡Б‡МУ ‚˚¯В, М‡Б˚‚‡ВЪТfl ·ËÙÛ Í‡ˆËÂÈ (УЪ ТОУ‚‡ ‡Б‰‚УВМЛВ), ‡ БМ‡˜ВМЛВ Ф‡ ‡ПВЪ ‡, Ф Л НУЪУ УП УМУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ, – ÚÓ˜ÍÓÈ ·ËÙÛ Í‡ˆËË. лУТЪУflМЛВ ТЛТЪВП˚ МЛКВ ЪУ˜НЛ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ Л ‚˚¯В ВВ Ф Л ЛБПВМВМЛЛ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ ‚ТВ- Ъ‡НЛ ПВМflВЪТfl. ьТМУ, ˜ЪУ ‚У‰‡ Ф Л ЪВПФВ ‡ЪЫ В +3 Л +22°C – ˝ЪУ ‡БМ˚В ТУТЪУflМЛfl. зУ Ф Л ˝ЪУП ‚У‰‡ УТ- Ъ‡ВЪТfl ‚У‰УИ! З П‡ЪВП‡ЪЛНВ Л ЩЛБЛНВ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ ФУМflЪЛВ „ Ы·УТЪЛ ЛОЛ ТЪ ЫНЪЫ МУИ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ. лЫЪ¸ ˝ЪУ„У ФУМflЪЛfl ‚ ЪУП, ˜ЪУ Ф Л П‡ОУП ЛБПВМВМЛЛ Ф‡ ‡- ПВЪ ‡ „ Ы·‡fl ТЛТЪВП‡ ıУЪ¸ Л ЛБПВМflВЪ ‚ ‰ВЪ‡Оflı ВКЛП

ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl, МУ МВ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ. л ˝ЪУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl ‰Оfl „ Ы·˚ı ТЛТЪВП ФВ ВıУ‰ ˜В ВБ ЪУ˜НЫ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ УБМ‡˜‡ВЪ ТПВМЫ У‰МУ„У ТЪ ЫНЪЫ МУ ЫТЪУИ- ˜Л‚У„У ВКЛП‡ М‡ ‰ Ы„УИ. и Л ˝ЪУП ‚ ЪУ˜НВ ·ЛЩЫ Н‡- ˆЛЛ ТЛТЪВП‡ МВ fl‚ОflВЪТfl „ Ы·УИ: П‡ОУВ ЛБПВМВМЛВ Ф‡-‡ПВЪ ‡ ‚ ЪЫ ЛОЛ ЛМЫ˛ ТЪУ УМЫ Ф Л‚У‰ЛЪ Н ВБНЛП ЛБПВМВМЛflП ТУТЪУflМЛfl.

С‡‚‡ИЪВ ‚В МВПТfl Н М‡¯ВПЫ Ф ЛПВ Ы Т ЫТЪУИ˜Л‚УТ- Ъ¸˛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛИ ‚ ТЛТЪВПВ (8). е˚ ЫТОУ‚Л- ОЛТ¸, ˜ЪУ ‚ Ы ‡‚МВМЛЛ (8) Ф‡ ‡ПВЪ ˚ a Ë b ФУОУКЛЪВО¸- М˚. мТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ УФ В‰ВОflВЪТfl БМ‡НУП Ф УЛБ‚У‰МУИ Ф ‡‚УИ ˜‡ТЪЛ Ы ‡‚МВМЛfl (8) ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ЪУ˜НВ, ЪУ ВТЪ¸ БМ‡НУП ‚ВОЛ˜ЛМ˚ λ (10). и Л ФУОУКЛЪВО¸М˚ı БМ‡- ˜ВМЛflı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ a Ë b ˝Ú‡ Ô ÓËÁ‚Ӊ̇fl ‚Ò„‰‡ ÓÚ΢- ̇ ÓÚ ÌÛÎfl. А ˜ÚÓ, ÂÒÎË Ï˚ ·Û‰ÂÏ ÛÏÂ̸¯‡Ú¸ Á̇˜ÂÌË ԇ ‡ÏÂÚ ‡ a? ä‡Í ‚ˉÌÓ ËÁ (10), Ô Ë a = 0 (МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ‚ВОЛ˜ЛМ˚ b > 0) ‚Â΢Ë̇ λ Ó· ‡˘‡ÂÚÒfl ‚ ÌÛθ, ‚ÓÁÏÛ˘ÂÌË y Ì ̇ ‡ÒÚ‡ÂÚ Ë Ì Á‡ÚÛı‡ÂÚ. å‡ÎÓ ÚÓ„Ó, Ô Ë a = 0 ‚ ТЛТЪВПВ (2) У·‡ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛfl Н‡Н ·˚ ТОЛ‚‡˛ЪТfl ‚ У‰МУ (x = 0)! чÎÂÂ, ÂÒÎË a < 0, ЪУ ТЪ‡ˆЛУ- М‡ М˚ı ТУТЪУflМЛИ МВЪ ‚У‚ТВ. СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ, ‚ ˝ЪУП

a < 0 ÒÚ‡ÌÓ‚flÚÒfl ˜ËÒÚÓ ÏÌËÏ˚ÏË.

и Л‚В‰ВП ЪВФВ ¸ ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У ‡М‡ОЛБ‡ ˝ЪУИ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ, НУЪУ ‡fl ЛБ‚ВТЪМ‡ Н‡Н ·Л- ЩЫ Н‡ˆЛfl “‰‚ЫН ‡ЪМУВ ‡‚МУ‚ВТЛВ”. ЗМУ‚¸ ‡ТТПУЪ-ЛП Ы ‡‚МВМЛВ (8). иЫТЪ¸ x0(a) ВТЪ¸ „ Ы·УВ ТУТЪУflМЛВ‡‚МУ‚ВТЛfl, ЪУ ВТЪ¸ λ(a) 0. ùÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ Ô Ë Ï‡- ÎÓÈ ‚‡ ˇˆËË Ô‡ ‡ÏÂÚ ‡ a ТУТЪУflМЛВ x0(a) Ф У‰УОК‡ВЪ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡Ъ¸ Н‡Н ЫТЪУИ˜Л‚УВ ЛОЛ МВЫТЪУИ˜Л‚УВ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ.

и Л МВНУЪУ УП БМ‡˜ВМЛЛ Ф‡ ‡ПВЪ ‡ a = a* ТУ·ТЪ- ‚ВММУВ ˜ЛТОУ λ(a*) ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ТУТЪУflМЛЛ ПУКВЪ У· ‡ЪЛЪ¸Тfl ‚ МЫО¸:

ÑÎfl ‡ÎËÁ‡ˆËË ·ËÙÛ Í‡ˆËË “‰‚ÛÍ ‡ÚÌÓ ‡‚ÌÓ‚ÂÒË” ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ, ˜ÚÓ·˚ ‚ÚÓ ‡fl Ô ÓËÁ‚Ӊ̇fl ·˚· ÓÚ΢̇ ÓÚ ÌÛÎfl:

СОfl ‚˚ФУОМВМЛfl ЫТОУ‚ЛИ (13) Л (14) ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В МВ- У·ıУ‰ЛПУ, ˜ЪУ·˚ ЛТıУ‰МУВ Ы ‡‚МВМЛВ ‚ Ф ‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ‚НО˛˜‡ОУ Н‡Н ПЛМЛПЫП Н‚‡‰ ‡ЪЛ˜МУВ МВОЛМВИМУВ ТО‡- „‡ВПУВ, Н‡Н ‚ М‡¯ВП Ф ЛПВ В (8).

ЦТОЛ ЫТОУ‚Лfl (13) Л (14) ‚˚ФУОМВМ˚, ЪУ x0 ÂÒÚ¸ ‰‚Û- Í ‡ÚÌ˚È ÍÓ Â̸ ËÒıÓ‰ÌÓ„Ó Û ‡‚ÌÂÌËfl (8).

á̇˜ÂÌË ԇ ‡ÏÂÚ ‡ a*, Ô Ë ÍÓÚÓ ÓÏ ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÛÒÎÓ‚Ë (13), fl‚ÎflÂÚÒfl ÚÓ˜ÍÓÈ ·ËÙÛ Í‡ˆËË. ÑÓ ÚÓ˜ÍË ·ËÙÛ Í‡ˆËË a < a* П˚ ЛПВВП ‰‚‡ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛfl. З ЪУ˜НВ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ a = a* ÓÌË ÒÎË‚‡˛ÚÒfl ‚ Ó‰ÌÓ, ‰‡ÎÂÂ Ô Ë a > a* ˝ЪЛı ТУТЪУflМЛИ ‚ ТЛТЪВПВ МВ ·Ы‰ВЪ. З М‡¯ВП ТОЫ˜‡В (8) a* = 0.

кВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ „ ‡ЩЛ˜ВТНЛ ( ЛТ. 1).

x

x10

x20

êËÒ. 1. ÅËÙÛ Í‡ˆËfl “‰‚ÛÍ ‡ÚÌÓ ‡‚ÌÓ‚ÂÒË”. è Ë a > 0 ‚ ТЛТЪВПВ (8) ‰‚‡ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛfl x01 Ë

x02 , Ô Ë a = 0 ÓÌË ÒÎË‚‡˛ÚÒfl ‚ Ó‰ÌÓ, Ë Ô Ë a < 0 ТЪ‡- ˆЛУМ‡ М˚В ТУТЪУflМЛfl ЛТ˜ВБ‡˛Ъ

“еьЙдаЦ” а “ЬЦлндаЦ” ЕаомкдАсаа. дАнАлнкйох

зВТПУЪ fl М‡ ПМУ„УОВЪМ˛˛ ЛТЪУ Л˛ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl Л‡Б‚ЛЪЛfl НО‡ТТЛ˜ВТНУИ ЪВУ ЛЛ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л ·ЛЩЫ - Н‡ˆЛИ, М‡ТЪЫФЛО ПУПВМЪ (Н‡Н ˝ЪУ ˜‡ТЪУ ·˚‚‡ВЪ), НУ„‰‡ Н ˝ЪУИ ЪВУ ЛЛ ·˚ОУ ‚‰ Ы„ Ф Л‚ОВ˜ВМУ ‚ТВУ·˘ВВ ‚МЛП‡- МЛВ. и Л˜ЛМУИ ЪУПЫ ФУТОЫКЛОЛ ФУФЫОfl МУ ЛБОУКВМ- М˚В ‚В ТЛЛ ‡·УЪ Щ ‡МˆЫБТНУ„У П‡ЪВП‡ЪЛН‡ кВМВ нУП‡ ФУ Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВПУИ ЪВУ ЛЛ Н‡Ъ‡ТЪ УЩ. нВУ Лfl Н‡Ъ‡ТЪ-УЩ ‚ М‡˜‡ОВ 70-ı „У‰У‚ ТЪ‡О‡ ПУ‰МУИ, ФУМflЪМУИ (Н‡Н ЪУ„‰‡ Н‡Б‡ОУТ¸) ‰Оfl МВТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ Л ЫМЛ‚В Т‡О¸МУТ- Ъ¸˛ Т‚УЛı Ф ВЪВМБЛИ ТЪ‡О‡ М‡ФУПЛМ‡Ъ¸ ФТВ‚‰УМ‡Ы˜М˚В ЪВУ ЛЛ Ф У¯О˚ı ‚ ВПВМ. иУfl‚ОВМЛВ ЪВУ ЛЛ Н‡Ъ‡ТЪ УЩ к. нУП‡ ТФВˆЛ‡ОЛТЪ‡ПЛ МВ ·˚ОУ ‚УТФ ЛМflЪУ Н‡Н МУ‚УВ УЪН ˚ЪЛВ, ıУЪfl МВНУЪУ ˚В ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ ˝ЪУИ ЪВУ ЛЛ Б‡- ТОЫКЛ‚‡˛Ъ Т‡ПУ„У „ОЫ·УНУ„У Ы‚‡КВМЛfl. зУ Ф ЛМˆЛФЛ- ‡О¸МУ„У М‡Ы˜МУ„У УЪН ˚ЪЛfl Б‰ВТ¸ МВЪ.

꘸ ¯Î‡ ‚ÒÂ Ó ÚÂı Ê ·ËÙÙÛ Í‡ˆËflı, ÌÓ Ô Ë ˝ÚÓÏ ‚˚·Ë ‡ÎÒfl Ó‰ËÌ ËÁ ÚËÔÓ‚ – Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚ КВТЪНЛВ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ. СОfl ФУflТМВМЛfl ‡ТТПУЪ ЛП ‰‚‡ Ф УТЪ˚ı Ф ЛПВ ‡. З ФВ ‚УП ТОЫ˜‡В ( ЛТ. 2) ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ·ЛЩЫ - Н‡ˆЛЛ ЛТıУ‰МУВ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ ЪВ flВЪ ЫТЪУИ- ˜Л‚УТЪ¸ Л УК‰‡˛ЪТfl ‰‚‡ МУ‚˚ı ЫТЪУИ˜Л‚˚ı ТЪ‡ˆЛУМ‡ - М˚ı ТУТЪУflМЛfl. и Л ˝ЪУП ‚МУ‚¸ ФУfl‚Л‚¯ЛВТfl ‰‚‡ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛfl ( ЛТ. 2, 3) ‡ТФУОУКВМ˚ ‚ МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУИ ·ОЛБУТЪЛ УЪ ЛТıУ‰МУ„У ТУТЪУflМЛfl,

μ < μ* μ = μ* μ > μ*

êËÒ. 2. и ЛПВ Пfl„НУИ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ. лЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ 1 ЪВ flВЪ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ 2, Л ‚·ОЛБЛ МВ„У ФУfl‚Оfl˛ЪТfl ‰‚‡ МУ‚˚ı ЫТЪУИ˜Л‚˚ı ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛfl 3

НУЪУ УВ ФУЪВ flОУ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ (ФУПВ˜ВМУ Б‚ВБ‰У˜НУИЛТ. 2, 3). ÅËÙÛ Í‡ˆËË Ú‡ÍÓ„Ó ÚËÔ‡ ̇Á˚‚‡˛Ú Ïfl„ÍËÏË, ЛПВfl ‚ ‚Л‰Ы, ˜ЪУ ‚МУ‚¸ У‰Л‚¯ЛИТfl ВКЛП ЩЫМНˆЛУМЛ-У‚‡МЛfl ТЛТЪВП˚ Н‡Н ·˚ ФУfl‚ОflВЪТfl ЛБ ВКЛП‡, ФУЪВ-fl‚¯В„У ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸, Л ТУТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ fl‰УП Т МЛП.

Ñ Û„ÓÈ Ô ËÏ ·ËÙÛ Í‡ˆËË Í‡˜ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ Ô Â‰ÒÚ‡‚- ÎÂÌ Ì‡ ËÒ. 3. è Ë < * ( ËÒ. 3, 1) ¯‡ ЛН М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ЫТЪУИ˜Л‚УП ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ТУТЪУflМЛЛ. и Л ˝ЪУП ТЫ˘В- ТЪ‚ЫВЪ В˘В У‰МУ, МВЫТЪУИ˜Л‚УВ ТУТЪУflМЛВ (ФУПВ˜ВМУ Б‚ВБ‰У˜НУИ М‡ ЛТ. 3, 1). Ç ÚӘ͠·ËÙÛ Í‡ˆËË = * ÛÒ-

*

êËÒ. 3. ЬВТЪН‡fl ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ - М˚П ТУТЪУflМЛВП, Н‡Ъ‡ТЪ УЩ‡. д‡˜ВТЪ‚ВММ‡fl ЛО- О˛ТЪ ‡ˆЛfl ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ “‰‚ЫН ‡ЪМУВ ‡‚МУ‚ВТЛВ” ( ЛТ. 1)

ЪУИ˜Л‚УВ Л МВЫТЪУИ˜Л‚УВ ТУТЪУflМЛfl ТОЛ‚‡˛ЪТfl ‚ У‰МУ ( ЛТ. 3, 2). С‡ОВВ УМЛ ЛТ˜ВБ‡˛Ъ, Л ТЛТЪВП‡ ‚˚·Л ‡ВЪ МУ- ‚˚И ВКЛП (М‡Ф ЛПВ , Н‡Н ˝ЪУ ФУН‡Б‡МУ М‡ ЛТ. 3, 3), НУЪУ ˚И ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ УЪОЛ˜‡ВЪТfl УЪ Ф В‰˚‰Ы˘В„У Л МВ М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУИ ·ОЛБУТЪЛ УЪ ЛТıУ‰МУ„УВКЛП‡. н‡НУИ ЪЛФ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ М‡Б˚‚‡˛Ъ КВТЪНЛП, Ë

ЛПВММУ КВТЪНЛВ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ fl‚ЛОЛТ¸ Ф В‰ПВЪУП ‡М‡- ОЛБ‡ ‚ ЪВУ ЛЛ Н‡Ъ‡ТЪ УЩ.

к‡ТТПУЪ ВММ˚И ‚˚¯В Ф ЛПВ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ “‰‚Ы- Н ‡ЪМУВ ‡‚МУ‚ВТЛВ” ‚ ТЛТЪВПВ (8) Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ЪЛФЛ˜М˚И Ф ЛПВ КВТЪНУИ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ, НУЪУ ˚И Н‡- ˜ВТЪ‚ВММУ Ф УЛОО˛ТЪ Л У‚‡М М‡ ЛТ. 3.

бАдгыуЦзаЦ

З ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ЫФ У˘ВММУ„У, Н‡˜ВТЪ‚ВММУ„У УФЛТ‡МЛfl Ф У·ОВП˚ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП ПУКМУ ЪВП МВ ПВМВВ Т‰ВО‡Ъ¸ УФ В‰ВОВММ˚В ‚˚- ‚У‰˚. щ‚УО˛ˆЛfl О˛·˚ı ТЛТЪВП ТУФ У‚УК‰‡ВЪТfl ФУЪВ-ВИ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ У‰МЛПЛ ВКЛП‡ПЛ ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡- МЛfl Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛУММ˚ПЛ ФВ ВıУ‰‡ПЛ Лı ‚ МУ‚˚В. щЪЛ “Щ‡БУ‚˚В ФВ ВıУ‰˚” ПУ„ЫЪ УТЫ˘ВТЪ‚ОflЪ¸Тfl ФО‡‚МУ, Пfl„НУ, ‡ ПУ„ЫЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ ТН‡˜НУУ· ‡БМУ, ‚ ‚Л‰В Н‡- Ъ‡ТЪ УЩ. лЪ У„ЛИ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ ФУБ‚УОflВЪ ТВ„У‰Мfl Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ ‡Т- ТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ ¯Л УНЛИ ТФВНЪ Ф У·ОВП, Т‚flБ‡ММ˚ı Т ЛТТОВ‰У‚‡МЛflПЛ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛУММ˚ı ФВ ВıУ‰У‚ ‚ ‡БОЛ˜- М˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı. зУ Ф Л ˝ЪУП МВУ·ıУ‰ЛПУ УФЛ ‡Ъ¸Тfl М‡ ТЪ У„ЛВ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ Л ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ У·УТМУ‚‡ММ˚В ПВЪУ‰˚ ЪВУ ВЪЛ˜ВТНУ„У Л Н‡- ˜ВТЪ‚ВММУ„У ‡М‡ОЛБ‡.

ганЦкАнмкА

1.А ÌÓθ‰ Ç.à. íÂÓ Ëfl ͇ڇÒÚ ÓÙ. å.: àÁ‰-‚Ó åÉì, 1983.

2.иУТЪУМ н., ëÚ˛‡ ‰ ü. нВУ Лfl Н‡Ъ‡ТЪ УЩ Л ВВ Ф ЛОУКВМЛfl. е.: еЛ , 1977.

3.АÌˢÂÌÍÓ Ç.ë. лОУКМ˚В НУОВ·‡МЛfl ‚ Ф УТЪ˚ı ТЛТЪВП‡ı. е.: з‡ЫН‡, 1990.

кВˆВМБВМЪ ТЪ‡Ъ¸Л Å.ë. ÅÓͯÚÂÈÌ

* * *

З‡‰ЛП лВПВМУ‚Л˜ АМЛ˘ВМНУ, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ-П‡ЪВП‡- ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ , Б‡‚. Н‡ЩВ‰ УИ ‡‰ЛУЩЛБЛНЛ Л МВОЛМВИМУИ ‰ЛМ‡ПЛНЛ л‡ ‡ЪУ‚ТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ- ‚ВММУ„У ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ‡, Б‡ТОЫКВММ˚И ‰ВflЪВО¸ М‡ЫНЛ кУТТЛИТНУИ о‰ ‡ˆЛЛ, ˜ОВМ-НУ ВТФУМ‰ВМЪ кАЦз Л еВК‰ЫМ‡ У‰МУИ ‡Н‡‰ВПЛЛ ЛМЩУ П‡ЪЛБ‡ˆЛЛ. г‡Ы В‡Ъ Ф ВПЛЛ ФУ ЩЛБЛНВ оУМ‰‡ ЛП. А. ЙЫП·УО¸‰Ъ‡. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚ – МВОЛМВИМ‡fl ‰ЛМ‡ПЛН‡ Л ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТН‡fl ‡‰ЛУЩЛБЛН‡. А‚ЪУ ·УОВВ 250 М‡Ы˜М˚ı ‡- ·УЪ, ТВПЛ М‡Ы˜М˚ı ПУМУ„ ‡ЩЛИ.