Desktop / Лекции / Лек_2

1.4. Основные законы и тождества алгебры логики

Справедливы для любого числа аргументов, каждый из которых может быть простой переменной, членом сложной ФАЛ или самой ФАЛ.

Т

1) х  х = х 2) х  х = х 3) х  х = 0

4) х  = 1, 5) х  = 0, 6) х  = 1,

7) х  1 = 1, 8) х  1 = х, 9) х  1 = ,

10) х  0 = х, 11) х  0 = 0, 12) х  0 = х.

ождества:

Практическая ценность: 1) отражают правила замены логического элемента одного типа логическим элементом другого типа; 2) совместно с законами алгебры логики используются в упрощении ФАЛ.

Примеры:

повторитель (1, 2, 8, 10 и 12 тождества) Инвертор (9 тождество)

Законы:

1. Закон двойной инверсии а = .

2. Сочетательный закон a  (b  с) = (а  b)  с,

а  (b  с) = (а  b)  с,

а (b  с) = (а  b)с.

3. Переместительный закон а  b = b  а,

а  b = b  а,

а  b = b а.

4. Распределительный закон а  (b  с) = а  b  а  с = ab  ac, а  (b  с) = (а  b)  (а  с), а  (b  с) = а  b  а  с = ab  ac.

Доказательство второго равенства:

aa  ac  ba  bc = a  ac  ba  bc = a(1  c  b)  bc = a  bc.

5. Закон двойственности (правила де Моргана)

6. Закон поглощения а  ас = а, a(a  c) = a.

7. Закон склеивания ас  a = а, (a  с)(a  ) = a.

Пример применения закона склеивания для сложной ФАЛ:

При преобразованиях ФАЛ необходимо помнить: знак общей инверсии относительно порядка выполнения операций эквивалентен скобкам. Это значит, что при замене ФАЛ штрих Шеффера по закону двойственности правую часть соответствующего равенства следует заключать в скобки.

Пример по преобразованию ФАЛ:

у = a∾b =

На дом. С помощью законов и тождеств алгебры логики упростить следующие ФАЛ:

1. у = 2. у = .

3. у = . 4. у = .

2. КОМБИНАЦИОННЫЕ ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА (КЦУ)

2.1. Понятие и последовательность синтеза КЦУ

Физически значения логических переменных (разрядов двоичных наборов) реализуются электрическими сигналами в одной из двух форм – потенциальной или импульсной:

потенциальная форма импульсная форма

Такты

Для передачи каждого бита информации отводится одинаковый интервал времени, называемый тактом. Любое цифровое устройство тактируется. При этом такты задаются генератором тактовой частоты.

Тактирование означает, что входные и выходные двоичные наборы изменяются только в момент начала следующего такта. В течение же такта производится преобразование входного набора в выходной. Т.о., такт определяет скорость обработки информации или, что то же самое, быстродействие ЦУ.

В обеих формах сигналы принимают только два значения и потому называются двоичными сигналами. В этой терминологии КЦУ определяется следующим образом:

комбинационным называется цифровое устройство, у которого выходные двоичные сигналы в любой момент времени зависят только от тех двоичных сигналов, которые поступают на вход устройства в тот же момент времени.

Отсюда следует, что сигналы на выходе КЦУ изменяются практически сразу после изменения входных сигналов. Т.е. КЦУ не обладают памятью.

Любая задача синтеза ЦУ начинается с определения разрядной сетки, необходимой для обработки десятичных чисел в заданном диапазоне от М_min до М_max. Определяется она выражением:

n =  log₂(М_max + 1) , где  x  – наименьшее целое, не меньшее х.

Отсюда легко решается обратная задача: наибольшее десятичное целое, которое можно отобразить в n-разрядной сетке М_max = 2ⁿ – 1. Как видно, М_min не имеет никакого значения. Тогда, положив М_min = 0, последнее выражение позволяет определить общее количество (N) двоичных n-разрядных наборов: N = 2ⁿ (0 входит в диапазон чисел).

Различают полностью и не полностью (частично) определенные КЦУ. КЦУ называется полностью определённым, если каждому из всех его возможных входных двоичных наборов поставлен в соответствие строго определенный двоичный набор на выходе. Если хотя бы для одного входного набора значение соответствующего выходного набора безразлично, КЦУ называется не полностью или частично определённым.

На практике частично определенным КЦУ соответствуют ситуации, когда некоторые двоичные наборы либо никогда не появляются на входе, либо соответствующие выходные наборы всегда оказываются невостребованными последующими устройствами.

Синтез любого КЦУ проводится в следующей последовательности:

1. Задается закон функционирования.

2. Для каждого из m выходов выводится минимальная ФАЛ, то есть ФАЛ с минимальным числом членов и минимальным числом аргументов в каждом члене.

3. При необходимости каждая минимальная ФАЛ записывается в заданном минимальном базисе.

4. Cтроится структурная схемы устройства.

2.2. Способы задания КЦУ

1

№ вх. набора	Вх. набор			Вых. набор
	хn-1	…	х0	уm-1	…	у0
0	0	…	0		…	
…	…			…
2n-1	1	…	1	х	…	х

. Табличный.

2. Скобочная запись таблицы истинности.

полностью определенное частично определенное

у/_n=3 = [0, 1, 4, 7] у/_n=3 = [1, 4, 7, (2, 3, 6)]

у/_n=3 = (2, 3, 5, 6) у/_n=3 = (2, 3, 6, [1, 4, 7])