chisl_meth / Лаб 3 Плохообусловленные СЛАУ / Метод регуляризации дополнение

Применение метода регуляризации к плохо обусловленной системе двух уравнений

Систему двух линейных алгебраических уравнений представим в виде

, (1)

где

.

Допустим, что правая часть системы (1) задана приближенно. В этом случае мы имеем дело с некоторой другой системой

(2)

такой, что . Если система плохо обусловлена, то при малых изменениях правых частей системы (2) будет сильно изменяться решение . Поэтому в этом случае для нее необходимо применить метод регуляризации, согласно которому систему (2) можно переписать в виде

Запишем последнее выражение в явном виде

.

Используя свойства перемножения матриц и векторов, получим

(3)

Выражения (3) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , и параметра . Последний определяется по невязке, например, следующим образом. Берется конечный отрезок монотонной последовательности чисел ( ). Для каждого значения находится решение и вычисляется невязка . В качестве искомого значения берется такое число , для которого с требуемой точностью выполняется равенство