2_elektrostatika
.pdf
3.7. Потенциалы заряженных тел |
21 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
qiqj |
|
|
1 |
N |
N |
1 qj |
|
|||||
W |
|
|
Uij(rij) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi |
|
|
|
. |
|||
2 |
2 |
4 |
|
r |
|
2 |
4 r |
||||||||||||||
|
|
|
i j |
|
|
i j |
|
0 |
|
ij |
|
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
0 ij |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j i |
|
|
|
|
Выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N |
qj |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
j 1 |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j i
представляет собой потенциал поля, создаваемого всеми зарядами кроме qi, в точке, где расположен заряд qi. В итоге:
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
1 qi i . |
|
|
|
(3.10) |
|
|
|
|
|
2 i 1 |
|
|
|
|
|
Для двух зарядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
1 |
q1q2 |
q q |
|
1 |
q q |
, |
(3.11) |
|
|
4 r |
1 1 |
2 2 |
|
2 |
1 1 2 2 |
|
|
|
|
0 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
где 1 — потенциал поля,
созданного зарядом q
2
в точке расположения заряда
q1,
2 — потенциал 
поля, созданного зарядом 
q
1 в точке расположения
заряда q2. Выражение q1 1 
показывает
энергию
взаимодействия
заряда q1 с полем заряда q2
. Выражение q2 2 наоборот, показывает энергию взаимодействия заряда 
q2 с полем заряда q1. Так 
как это 
одна и та же
энергия,
то
в
сумме (3.10) она встречается дважды и
поэтому введён 
множитель
1
2.
Потенциал называется энергетической характеристикой электрического поля, так как он определяет энергию заряда в этом поле:
W
q 
3.7. Потенциалы заряженных тел
Равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда . Плоскость совпадает с координатной плоскостью yOz. Потенциал поверхности 0. Из уравнения (3.5):
x |
|
|
|
|
|
(x) 0 |
2 |
dx 0 |
2 |
x; |
(x) 0 2 x СГСЭ . |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Потенциал равномерно заряженной сферы. R — радиус сферы, r — расстояние от центра сферы. Из уравнения (3.5):
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
22 |
3. Работа электростатического поля. Потенциал. |
|
||||||||||||||||
|
|
r |
q |
|
|
|
q |
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 r |
|
|
4 r |
|
4 |
|
r |
|
|
|
4 r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
r |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r R; |
|
, |
||||
|
4 |
||||
|
R |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
(r) |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
r R, |
|
|
|
|
|||
|
|
||||
|
4 r |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r)
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
||
|
|
|
|
r R; |
|
|
, |
||||
|
|
||||
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
||
|
|
, |
r R. |
||
|
|
||||
r |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
СГСЭ |
||
Потенциал равномерно заряженного шара. R — радиус
сферы
, r — расстояние от центра сферы. Из уравнения (3.5): 
|
R |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
r2 |
R |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
3 rdr |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
r |
4 |
R |
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
|
4 R |
|
2 r |
|
4 r |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
q |
|
R |
2 |
r |
2 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
1 |
|
r |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
||||||||
|
4 |
R |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 r |
|
|
4 |
|
|
|
2R |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
r |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r R; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
(r) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2R |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, |
r R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
4 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
3 |
|
, |
|
r R; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(r) |
|
|
2R |
|
2R |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
q r, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СГСЭ |
|
|
||
Бесконечно длинная равномерно заряженная цилиндрическая |
||||||||||||||||||||||||||||||
нить радиуса R с линейной плотностью заряда . Из уравнения (3.5) |
||||||||||||||||||||||||||||||
при
r
R:
|
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(r) 0 |
2 R2 |
r dr 0 |
4 R2 |
r |
, |
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (0) 0. При r R |
( (R) R): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
(r) R |
2 r dr R |
2 |
ln r R R |
2 |
ln |
R . |
|||||
R |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
4.1. Электростатическое поле в полости |
23 |
|
|
|
|
4.Проводники в электростатическом поле
4.1.Электростатическое поле в полости
В проводниках находится большое число свободных зарядов.
Условие равновесия зарядов в проводниках: если электрические заряды находятся в равновесии в каком-либо проводнике, т.е. в этом проводнике нет электрического тока, то напряжённость поля Е в любой точке внутри проводника равна нулю. 
Из связи потенциала и напряжённости поля следует,
что потен
-
циал поля имеет постоянное значение во всём
объёме
проводника.
Это обстоятельство позволяет говорить
о
потенциале всего проводника. Если внутри проводника создать
полость, 
то внутри этой полости поле всё равно будет отсутствовать
.
В этом состоит принцип электростатической защиты:
Если в полости нет электрических
зарядов,
то электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды
не создают
в полости никакого электрического 
поля
. 
4.2.
Граничные условия на границе «проводник-
вакуум», «проводник-
диэлектрик
» 
Рассмотрим 
теорему
Гаусса с замкнутой поверхностью
в виде прямого цилиндра с основаниями параллельными
границе и лежащих по разные стороны от неё. При приближении оснований друг к другу, боковая 
поверхность будет
уменьшаться, а поток через неё будет
стремиться
к нулю. Учитывая, 
что внутри проводника поле отсутствует, для нормальной
составляющей к внешней поверхности проводника вектора напряжённости электрического поля получим:
q S
E EnS 0 0 .
En ; En 4 Гаусс .
0
Для границы «проводник-диэлектрик»:
|
|
E S |
q |
S . |
|
E |
|
||||
|
n |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
24 4. Проводники в электростатическом поле
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
E |
n |
|
|
; E |
n |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Гаусс |
|
|
Тангенциальная составляющая вектора напряжённости на поверхности проводника равна нулю: E 0. В противном случае на поверхности был бы ток. Таким образом, на поверхности проводника напряжённость поля направлена по нормали. В соответствии с этим, поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность. 
4.3. Скачок нормальной составляющей вектора Е
Применим
теорему
Гаусса к поверхности S.
Индексами
1
и 2 обозначаются величины относящиеся к внутренней и внешней
сто
- роне
поверхности S по отношению к 
вектору нормали n
.
В
качестве замкнутой поверхности 
в
теореме Гаусса 
возьмём
прямоугольную призму площадью основания S и длиной
образующей (расстояние между основаниями) dl
, которую устремим
к нулю
.
E E1 n1
S E2 n2 S E2
E1
n
S E2n E1n S S0 .
Таким образом, при переходе через заряженную поверхность, нор-
мальные составляющие вектора напряжённости испытывают скачок: |
||
(СИ) |
|
(Гаусса система (СГСЭ)) |
E2n E1n |
|
E2n E1n 4 |
|
||
|
0 |
|
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
5.1. Электроёмкость |
25 |
|
|
|
|
5.Электроёмкость. Конденсаторы
5.1.Электроёмкость
Электроёмкость уединённого проводника (проводника, бесконечно удалённого от всех остальных проводников) С — скалярная физиче-
ская величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд и равная заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы его потенциал увеличился на единицу.
(5.1)
Единица ёмкости: фарад (Ф) — ёмкость такого уединённого |
|||||||
проводника, потенциал которого повышается на 1 В при сообще- |
|||||||
нии ему заряда 1 Кл. |
|
|
|
|
|
|
|
[C]СИ 1Ф 1Кл В |
2.99792458 109 СГСЭ |
q |
|||||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
10 |
СГСЭ |
|
||
|
|
|
2.99792458 |
|
|
|
|
2.997924582 1011 СГСЭC 9 1011 см. |
|
||||||
[C]Гаусс 1СГСЭC |
1см |
1 10 11 Ф. |
|
|
|||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
Заряд, приобретаемый проводником, пропорционален сообщён- |
|||||||
ному ему потенциалу. Коэффициентом пропорциональности в этой |
|||||||
зависимости служит электроёмкость C, которая зависит от размеров |
|||||||
и формы проводника. |
|
|
|
|
|
|
|
Ёмкость уединённого шара. |
|
|
|
|
|
||
Потенциал шара: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q . |
|
|
|
|
|
|
|
4 R |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Подставим данное выражение в (5.1): |
|
|
|
|
|||
C q |
q 4 0R 4 R; |
C |
R |
|
. |
||
шара |
|
q |
0 |
шара |
|
Гаусс |
|
|
|
|
|
|
|
||
Исходя из полученного выражения, единицу измерения электрической постоянной 0 можно представить следующим образом:
0 Cшара 1Ф . 4 R 1м
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
26 |
5. Электроёмкость. Конденсаторы |
|
|
|
|
Конденсатор — устройство, предназначенное для получения нужных значений электрической ёмкости и способное накапливать и отдавать электрические заряды.
Простые конденсаторы состоят из двух проводящих поверхностей — обкладок, разделённых диэлектриком. Как правило, расстояние между обкладками мало по сравнению с линейными размерами обкладок. Поэтому электрическое поле практически полностью сосредоточено между обкладками. Собственные ёмкости обкладок пренебрежимо малы по сравнению с их взаимной ёмкостью.
Электроёмкость конденсатора С — скалярная физическая вели- |
|
чина, характеризующая способность конденсатора накапливать |
|
электрический заряд и равная заряду, который необходимо пере- |
|
нести с одной обкладки на другую, чтобы разность потенциалов |
|
между обкладками (напряжение) изменилась на единицу. |
|
q C CU. |
(5.2) |
Электроёмкость конденсатора C и здесь является коэффициен- |
|
том пропорциональности между зарядом обкладок и напряжением |
|
на них и зависит от размеров, формы и расположения обкладок, а |
|
также от свойств диэлектрика между обкладками. Обозначим через |
|
C0 электроёмкость конденсатора без диэлектрика, тогда ёмкость |
|
конденсатора с диэлектриком будет в раз больше: |
|
C C0, |
(5.3) |
где — диэлектрическая проницаемость диэлектрика. |
|
После зарядки конденсатора ток прекращается и снова наступа- |
|
ет равновесное состояние. В этом случае в проводах поле отсутству- |
|
ет, вокруг конденсатора тоже (поле сосредоточено внутри конденса- |
|
тора). По теореме Гаусса поток равен нулю, следовательно суммар- |
|
ный заряд обкладок конденсатора равен нулю. Для простых конден- |
|
саторов это означает, что заряды обкладок равны по модулю и име- |
|
ют разный знак. |
|
5.2. 
Расчёт электроёмкости конденсаторов
Плоский тонкий конденсатор.
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
5.2. Расчёт электроёмкости конденсаторов |
27 |
|
|
|
|
Поле плоской пластины: E 
2 0 . Между пластинами поле от разных пластин складывается и будет в 2 раза больше
|
|
|
|
C q |
|
|
|
S |
|
|
S . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
2 |
|
d |
0 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учётом диэлектрика ёмкость будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
S |
; |
|
|
|
S |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(5._) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 d Гаусс |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сферический конденсатор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R2 |
|
|
R2 |
|
q |
|
|
|
|
|
|
q |
R2 dr |
|
|
q |
1 |
|
1 |
|
|
||
U |
|
E(r)dr |
|
|
|
|
2 |
dr |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
R 4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
4 0 R r |
|
|
4 0 R1 |
|
R2 |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q R2 R1 . |
|
|
C q |
4 |
|
R1R2 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
R R |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
0 R R |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
С учётом диэлектрика ёмкость будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
C 4 |
|
R R |
|
|
; |
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
(5._) |
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
C |
|
1 2 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
R R |
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
Гаусс |
|
|
|
|
|
Цилиндрический конденсатор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R2 |
R2 |
|
|
|
R2 |
dr |
|
U E(r)dr |
2 r dr |
2 |
|
r |
2 |
||
R |
R |
0 |
|
0 |
R |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
l |
|
|
2 0l |
|
C U |
|
|
ln R2 |
ln R2 R1 . |
|||
|
|
2 0 |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С
учётом диэлектрика ёмкость будет равна
ln R2 .
R1
C |
2 l |
|
|
|
|
l |
|
(5._) |
|
|
0 |
|
; C |
2ln |
|
R R |
. |
||
|
ln R R |
|
|
|
|||||
|
|
2 1 |
|
|
2 1 |
Гаусс |
|
||
Последовательное соединение конденсаторов.
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
28 5. Электроёмкость. Конденсаторы
q q1 q2 q3 U U1 U2 U3
q |
|
q1 |
|
q2 |
|
q3 |
|
C |
C |
C |
C |
||||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
C |
C |
C |
C |
||||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Параллельное соединение конденсаторов.
U U1 U2 U3 |
|
q q1 |
q2 q3 |
CU C1U1 C2U2 C3U3 |
|
C C1 |
C2 C3 |
5.3. Энергия конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Энергия конденсатора это энергия электростати- |
||||||||||||
ческого поля, сосредоточенного между обкладками |
||||||||||||
конденсатора (или это потенциальная энергия одной |
||||||||||||
обкладки в электростатическом поле, созданном дру- |
||||||||||||
гой обкладкой). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A U(q)dq qdq |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
qU |
CU2 |
|||
W A qdq q2 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
C |
|
2C |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность энергии электростатического поля. |
||||||||||||
Рассмотрим плоский конденсатор. |
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
CU2 |
|
1 |
|
S |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
dS |
2 |
2 |
d |
Ed |
2 |
E |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
w |
W |
1 |
E2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
6.1. Электрический диполь |
29 |
|
|
|
|
6. Диэлектрики в электрическом поле
Поляризационные заряды. Поляризованность. Неоднородная поляризованность. Вектора поляризованности и электрического смещения. Электрическое смещение. Основные уравнения электростатики диэлектриков. Плотность энергии электростатического поля в диэлектрике.
|
6.1. Электрический диполь |
|
|
||||||
|
Электрический диполь — система, состоящая из двух точеч- |
||||||||
ных зарядов равных по модулю и противоположных по знаку. |
|||||||||
|
Проведём вектор l, направленный от отрицательного заряда к |
||||||||
положительному q. Тогда p ( q)r ( q)r ql |
— дипольный мо- |
||||||||
мент. Элементарным точечным диполем называется предельная сис- |
|||||||||
тема с l 0 и q , при конечном значении p. Поле элементарно- |
|||||||||
го точечного диполя, как и поле обычного диполя на больших рас- |
|||||||||
стояниях (много больше длины вектора l), зависит только от диполь- |
|||||||||
ного момента. |
|
|
|
|
|
|
|
||
[p ] |
СИ |
1Кл м 2.99792458 109 |
СГСЭ 100 см 2.99792458 1011 СГСЭ |
||||||
e |
|
|
|
|
|
q |
|
pe |
|
|
|
[p ] |
Гаусс |
1СГСЭ |
|
|
1 |
10 11 |
Кл м |
|
|
e |
|
pe |
|
2.99792458 |
|
|
|
Поле на оси диполя справа (слева результат тот же):
E |
1 q |
e |
|
|
1 q e |
|
1 |
q |
r2 |
r2 |
e |
|
|
|||
|
4 r2 |
p |
4 r2 p |
4 r2r2 |
1 |
2 |
|
p |
|
|||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q |
2r lep |
1 |
|
2p |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
r4 |
4 |
|
r3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
где r 
r1 
r2 
2 — расстояние от диполя до рассматриваемой точки поля
.
Рассмотрим поле в плоскости, перпендикулярной оси диполя и
лежащей строго посередине между зарядами q и q, на расстоянии r OA от линии, соединяющей заряды:
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.
30 6. Диэлектрики в электрическом поле
E |
|
2E |
sin 2 e |
|
|
1 |
|
q |
e |
|
|
l |
|
1 |
|
q |
e |
|
|
1 |
|
p |
. |
|
p |
4 |
|
p |
r 4 |
|
p |
4 |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
r2 |
|
|
r2 |
|
|
r3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
Из точки C опустим перпендикуляр
на
прямую AB. В точке пересечения D расположим два заряда q и q
. Поле
при этом не
изме-
нится, а вместо поля диполя p можно рассмотреть суммарное поле |
|||||||||||||||||||||||
диполей p1 и p2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E E E |
|
1 |
|
2p1 |
|
1 |
p2 |
1 |
|
2p1 p2 . |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
r3 |
4 |
r3 |
4 |
|
|
r3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
r BA l, r — вектор, проведённый от диполя |
||||||||||||||||||||||
до точки наблюдения A, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p |
|
p |
r |
pcos( DBC) r |
(p r) |
r . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||
Из p p1 |
p2 |
выразим |
p2 p p1 |
и получим выражение для |
|||||||||||||||||||
поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2p p |
2 |
|
|
1 3p p |
|
1 |
3(p r) |
|
p |
|
|||||||||||
E |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
r |
|
3 |
|
||
|
|
|
r |
|
|
4 |
r |
4 |
|
r |
|
|
. |
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(СИ) |
|
|
|
|
|
|
|
(Гаусса система (СГСЭ)) |
|||||||||||||
|
1 |
|
3(pe r) |
|
|
pe |
|
|
|
|
|
3(pe r) |
|
pe |
|
||||||||
E |
|
r |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||||||||||||
|
|
r |
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
r |
3 |
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На диполь в однородном электрическом поле действует ориенти- |
|||||||||||||||||||||||
рующий момент пары сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
M l,F l,F l,qE p,E . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.