2_elektrostatika

Рассмотрим поток через поверхность S:

где dS — проекция элемента поверхности площадью dS на плоскость, перпендикулярную радиус-вектору r.

Из определения телесного угла

Обобщим этот результат на случай произвольного числа зарядов:

E S E dS S k Ek dS k S Ek dS 10 k qk ,

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

где суммирование по индексу k ведётся только по тем зарядам, которые лежат внутри поверхности S. Таким образом, получим окончательную формулировку электростатической теоремы Гаусса:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри данной поверхности делённой на 0.

E S E ndS S E dS 10 k qk.

Для линейных, поверхностных и объёмных зарядов находящихся внутри объёма V (L,S V), ограниченного поверхностью S:

Запишем теорему Остроградского-Гаусса : Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму, ограниченному данной поверхностью, от дивергенции этого вектора:

E dS divEdV.

S V

Из электростатической теоремы Гаусса и теоремы Остроградско- го-Гаусса:

Полученные объёмные интегралы равны для любых объёмов, следовательно подынтегральные выражения тоже равны:

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

divE ; divE 4 СГСЭ .

0

Полученное выражение носит название дифференциальной формулировки закона Кулона.

divE lim E dS Ex Ey Ez .

V 0 x y z

V

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

14 2. Электростатическая теорема Гаусса.

Поле заряженной сферы за её пределами такое же как и точечного заряда равного заряду сферы и помещённого в центр сферы; внутри сферы поле отсутствует (при r R в теореме Гаусса q 0):

Равномерно заряженный шар радиуса R с объёмной плотностью

q 34 R3 .

Вне шара поле такое же как и в предыдущем случае. Рассмотрим теорему Гаусса для поверхности ввиде сферы радиуса r R:

Бесконечно длинная равномерно заряженная цилиндрическая нить радиуса R с линейной плотностью заряда . В силу соображений симметрии вектор напряжённости направлен по радиальной линии перпендикулярно оси цилиндра.В теореме Гаусса используем поверхность в виде прямого цилиндра радиуса r и длиной l соосного нити.Поток через основанияцилиндра равен нулю, а через боковую поверхность 2 rlE. Из теоремы Гаусса при r R:

Окончательно получим:

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

16 3. Работа электростатического поля. Потенциал.

3. Работа электростатического поля. Потенциал.

3.1. Работа электростатического поля

Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда вдоль замкнутого контура равна нулю.

Так как электростатическое поле образовано неподвижными за-

Так как электростатическое поле образованосовокупностью неподвижных точечных зарядов, то работа позамкнутому контуру произвольного электростатического поля равна сумме работ в полях точечных зарядов, которые образуют этополе. Так как каждая из этихработ равна нулю, то и их сумма тоже равна нулю.

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

3.2. Циркуляция электростатического поля

Циркуляция вектора E по замкнутому контуру — линейный интеграл вдоль замкнутой линии

E dr Edr.

Циркуляция вектора E по замкнутому контуру равна работе электростатического поля по перемещению единичного положительного точечного заряда вдоль этого контура и равна нулю:

Разность потенциалов между двумяточками электростатическо-

го поля — скалярная физическая величина, равная взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую:

d Aq12 Eds;

A

2

2 1 q12 Eds.

1

Так как физический смысл имеет лишь разность потенциалов (физически можно измерить только работу, а не сам потенциал), то

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

сам потенциал может быть определён с точностью до произвольной постоянной. Однако, как только значение потенциала фиксировано в некоторой точке поля 0, то в остальных точках поля потенциал определяется следующим выражением:

Работа поля A e 1 2 по перемещению элементарного заряда (заряда электрона) при прохождении им разности потенциала в 1 В называется электронвольтом (эВ):

1 эВ 1.602176462(63) 10 19 Кл 1 В

1.60 10 19 Дж 1.60 10 12 эрг Дляпотенциала также справедлив принцип суперпозиции: по-

тенциал поля произвольной системы зарядов равен сумме потенциалов полей каждого из этих зарядов в отдельности:

1 2 N .

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

3.4. Связь между потенциалом и напряжённостью электростатическог19о поля

Для произвольной системы точечных, линейных, поверхностных и объёмных зарядов (ri — радиус-вектор соответствующих зарядов):

3.4. Связь между потенциалом и напряжённостью

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.

Векторный оператор называется оператор «набла». Операция умножения оператора «набла» на скалярную функцию называется функцией взятия градиента:

Поверхность, все точки которой имеют один и тот же по-

тенциал называется эквипотенциальной поверхностью. Учитывая,

что вдоль эквипотенциальной поверхности d 0, из (3.7) получим Edr Edll 0. Следовательно El 0, т.е. силовая линия(вектор Е)

перпендикулярна эквипотенциальной поверхности в точке пересе-

чения. Функция градиента показывает направлениенаибыстрейшего возрастания скалярной функции (в нашем случае потенциала), а

напряжённость электрического поля направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала.

Так как силовые линии направлены от положительных зарядов и к отрицательным, то приотдаленииот положительных зарядов потенциал убывает, а при приближении к отрицательным — возрастает.

3.5.Энергиявзаимодействия электрических зарядов

Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействиядвух точечных зарядов. За нольпотенциальной энергии примем положение одного из зарядов в начале координат, а второго— в бесконечно удалённой точке. Так как работа поля равна убыли потенциальной энергии (A1 W1 W W), то потенциальная энергия заряда q в поле неподвижного заряда q0 будет равна работе поля по перемещению заряда q из данной точкив бесконечно удалённую:

Энергия замкнутой системы N точечных зарядов складывается из суммы энергий взаимодействия зарядов, взятых попарно:

Краткий конспект лекций по электростатике. Разработчик: к.ф.-м.н., доцент каф. физики Матвеев И.В.