4.5. Основные характеристики помехоустойчивых кодов

Для того, чтобы можно было обнаруживать и исправлять ошибки, разрешённая КК должна как можно больше отличаться от неразрешённой. Если представить КК как точки в пространстве, то отличие выражается в близости этих точек, т.е. в расстоянии между ними.

Количество разрядов, которыми отличаются две КК, принимается за расстояние между ними. Для определения этого расстояния нужно сложить эти КК по модулю 2 и подсчитать число единиц в полученном результате.

Пример. Рассмотрим 2 КК – 01011 и 10010

- число единиц равно 3, т.е. кодовое расстояние этих двух КК равно 3.

Кодовое расстояние обозначается – d. Легко проверить в простом коде МТК-2 кодовое расстояние меняется от d=1 до d=5.

Важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов является минимальное кодовое расстояние или хэммингово расстояние - .

Под минимальным кодовым расстоянием кода понимается то минимальное число элементов, которыми одна КК данного кода отличается от другой.

Для простых кодов . Ясно, что помехоустойчивые коды должны обладать.

Количество обнаруживаемых и исправляемых ошибок тесно связано с минимальным кодовым расстоянием . Рассмотрим рис. 4.6.

Рис. 4.6

Малые точки означают запрещённые КК. Переход от одной точки к другой соответствует искажению одного разряда.

Обозначим - кратность гарантированно обнаруживаемых ошибок, а

- кратность гарантированно исправляемых ошибок.

Ошибка не обнаруживается, если одна разрешённая КК переходит в другую разрешённую КК. Следовательно, для обнаружения всех ошибок кратности до включительно необходимо, чтобы кодовое расстояниеопределялось неравенством:

или ,(4.18)

Это видно из рис. 4.6.

Для обеспечения возможности исправления всех ошибок кратности до включительно необходимо, как мы уже рассматривали. Чтобы принятая КК осталась в подмножестве запрещённых КК, которое ей принадлежит – на рис. 2.6. Эти подмножества отделены пунктирными линиями. Для этого случая:

или (4.19)

Чтобы код обнаруживал и исправлял ошибки, требуется:

(4.20)

Рассмотренные формулы (4.18), (4.19), (4.20) указывают на минимальное количество обнаруживаемых и исправляемых ошибок. На практике будут обнаруживаться и исправляться ошибки и большей кратности, поскольку расстояние между отдельными КК может быть больше, чем . Однако процент таких ошибок невелик.

Другой важной характеристикой кодов выступает вес КК. Под весом КК двоичного кода понимается количество 1 в данной КК - .

Для наименьшего веса КК справедливы соотношения:

(4.21)

Необходимое кодовое расстояние , а значит, и корректирующие свойства кода, определяются егоотносительной избыточностью, под которой понимается:

(4.22)

где n – общее число разрядов;

K – число информационных разрядов;

R – скорость кода;

R – число проверочных разрядов в КК.

Задача построения избыточного кода сводится к выбору из КК такихn-разрядных КК, для которых обеспечивается максимально возможное расстояние d. Для этого прежде всего необходимо определить требуемое число проверочных разрядов r. В общем виде эта задача до настоящего времени не решена. Точная формула, связывающая иr, известна только для

(4.23)

Для остальных случаев известны только верхние и нижние оценки числа избыточных элементов. Так граница Варшамова-Гильберта определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов:

(4.24)

- число сочетаний из n-1 элементов по i элементам.

Граница Плоткина даёт верхнюю границу кодового расстояния при заданном числе информационных (K) и общем (n) числе разрядов в КК:

(4.25)

Использование пропускной способности дискретного канала связи для корректирующих кодов определяется избыточностью данного кода. Используя выражение (4.22) и границы для определенияr можно построить следующий качественный график (рис 4.7)

рис 4.7

Из (4.22) следует, что увеличение избыточности приводит к уменьшению скорости кода и худшему использованию пропускной способности канала связи. Однако, увеличение длины «n» КК уменьшает относительную избыточность и улучшает использование дискретного канала. Поэтому при использовании корректирующих кодов стремятся применять, возможно, более длинные КК.