Задача 7
Согласно формуле
x
d ┌
── │g(t)dt = g(x) имеем
dx ┘
0
2
f'(5П/2) = 4cos (5П/2)+ 7cos(5П/2)sin(5П/2)- 9 = -9
Задача 8
2
y' = y - 9
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
dy 2
── = y - 9
dx
dy
─────── = dx
2
y - 9
┌ dy ┌
│ ───────── = │ dx + C
┘ 2 ┘
y - 9
Вычисляя интеграл в левой части, получаем.
(1/6)ln│(y - 3)/(y + 3)│ = x + C
Задача 9
-4t 7
f(t) = -4∙e cos(-3t) + 8∙t
Используя свойство линейности преобразования Лапласа и
таблицу изображений элементарных функций, получаем
2 8
F(p) = -4∙(p+4)/[(p+4) + 9] + 8∙(7!)/(p)
Задача 10
Разложим F(p) на элементарные дроби методом неопределённых коэффициентов.
Имеем:
8p+9 A B (7A+9B)p+56A+54B
────────────── = ───── + ───── = ──────────────── ,
(9p+54)(7p+56) 9p+54 7p+56 (9p+54)(7p+56)
Откуда
┌
│ 7A+9B=8
<
│ 56A+54B=9
└
Решая эту систему, находим
┌
│ A=-39/14
<
│ B=55/18
└
-39/14 55/18
F(p) = ────── + ───── =
9p+54 7p+56
-13/42 55/126
= ────── + ──────
p+6 p+8
Согласно теореме смещения
1 ∙
─── ───> exp(-6t)
p+6 ∙
1 ∙
─── ───> exp(-8t)
p+8 ∙
Отсюда f(t) = (-13/42) exp(-6t) + (55/126) exp(-8t)
Задача 11
Это однородное дифференциальное уравнение первого
порядка. Запишем его в виде
64 + 7y/x
y' = ─────────
7 + 64y/x
Делаем замену y/x=z, где z(x) - новая неизвестная функция.
Тогда y = zx, y' = z'x + z
и уравнение принимает вид
64 + 7z
z'x + z = ───────
7 + 64z
2
dz 64 - 64z
x── = ─────────
dx 7 + 64z
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя его, получаем
┌ 7 + 64z ┌ dx
│ ───────── dz = │ ── + C
│ 2 ┘ x
┘ 64 - 64z
Далее, вычисляя интегралы, получаем
7 │8z + 8│ 1 │ 2 │
─── Ln│──────│ - ─ Ln│64z - 64│ = Ln│x│ + C
128 │8z - 8│ 2
Возвращаясь к переменной y, получаем искомый общий интеграл
7 │8y + 8x│ 1 │ 2 2 │
─── Ln│───────│ - ─ Ln│64y /x - 64│ = Ln│x│ + C
128 │8y - 8x│ 2
Задача 12
OO
___
\ 19n + 187
> ────────────────────
/___ 3 2
n=1 n + 16n + 71n + 56
Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чего
исследуем сходимость несобственного интеграла
OO
┌
│ 19x + 187
J = │ ────────────────────dx =
│ 3 2
┘ x + 16x + 71x + 56
h
OO
┌ ┌ ┐
│ │ 5 4 9 │
│ │─── + ─── - ───│dx ,
│ │x+8 x+1 x+7│
┘ └ ┘
h
где в качестве h выберем число большее чем max{-8;-1;-7;0},
например, 1:
OO
┌ ┌ ┐
│ │ 5 4 9 │
J = │ │─── + ─── - ───│dx =
│ │x+8 x+1 x+7│
┘ └ ┘
1
│OO
= (5∙Ln|x+8| + 4∙Ln|x+1| - 9∙Ln|x+7| )│ =
│1
5 4 │OO
│x+8│ ∙│x+1│ │
= Ln ───────────── │ =
9 │
│x+7│ │1
9
8
= Ln ─────── =
5 4
9 ∙ 2
134217728
= Ln ────────
944784
Несобственный интеграл J сходится, значит, по интегральному
признаку Коши данный числовой ряд сходится.