20. Потенциальное поле

Векторное поле на плоскости называется ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ, если существует такая функция, что. При этомназывается ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ поля.

Теорема (признак потенциальности).

Если , то полепотенциально.

21. Линейный интеграл в потенциальном поле

Линейный интеграл в общем случае зависит как от положения точек А и В, так и от формы соединяющего их пути.

Теорема. В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути.

Вследствие этого линейный интеграл в потенциальном поле обозначается или

(с указанием начальной и конечной точек пути интегрирования или их координат, без указания самого пути, который выбирается произвольно).

22. Отыскание потенциальной функции

Пусть поле потенциально.

Его потенциальную функцию можно найти по формуле

где С - произвольная постоянная.

23. Формула Ньютона-Лейбница для линейного интеграла

Если известна потенциальная функция , то линейный интеграл в потенциальном полеможно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница,

т.е. линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования.

24. Механический смысл формулы Ньютона-Лейбница

Если - потенциальное силовое поле, то значение потенциальной функции в какой-либо точке, взятое с противоположным знаком, называют потенциалом поля в этой точке.

В соответствии с механическим смыслом линейного интеграла (пункт 16) формула Ньютона-Лейбница истолковывается следующим образом:

Работа, совершаемая силами потенциального поля при перемещении материальной точки по некоторому пути, равна разности потенциалов в начальной и конечной точках пути и не зависит от формы пути.

II. Образец выполнения контрольной работы

1. Вычислить двойной интеграл , где областьD ограничена линиями х=0, у=х, у=4-х. Изобразить область D.

РЕШЕНИЕ. Используя формулу вычисления двойного интеграла.

получим

2. Используя тройной интеграл, найти объем тела W, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями z = 1- х/2 и у= 1 – х² совместно с координатными плоскостями. Изобразить тело W и его проекцию D на плоскость х, у.

РЕШЕНИЕ.

Уравнение z = 1- х/2 на плоскости z, х определяет прямую линию, а в пространстве - плоскость, проходящую через эту линию и параллельную оси у.

Уравнение у= 1 – х² на плоскости х, у определяет параболу, а в пространстве - цилиндрическую поверхность - цилиндрическую поверхность, проходящую через эту параболу и параллельную оси z.

Оставив от цилиндрической поверхности лишь часть, расположенную под плоскостью, изобразим тело W.

Используя формулу вычисления тройного интеграла

,

получим

3. Дано: 1) вертикальное поле ;

2) плоскости (р) и у= 12 (q), совместно с координатными плоскостями ограничивающие тело W.

Для поля найти:

1) поток через кусок поверхности тела W, принадлежащий плоскости р в направлении внешней нормали;

2) поток через полную поверхность σ тела W в направлении внешней нормали (использовать формулу Остроградского);

3) линейный интеграл вдоль ребра АВ тела W, расположенного на линии пересечения плоскостей р и q. Ребро проходится в направлении убывания координаты х;

4) циркуляцию вдоль контура λ, ограничивающего кусок . Конур обходится против часовой стрелки, если смотреть сверху. (использовать формулу Стокса).

Сделать рисунок.

РЕШЕНИЕ.

1)

2)

По формуле Остроградского

3) общие уравнения прямой АВ будут

Положим х = t и получим параметрические уравнения х = t, y=12, z = 10 – t.

Тогда А получается при t = 10, точка В - при t = 0.

В соответствии с формулой вычисления линейного интеграла

имеем

4)

Применим формулу Стокса, взяв кусок в качестве поверхности, натянутой на контур λ.

4. Дано векторное поле

Нужно:

1) убедиться, что потенциально;

2) найти потенциальную функцию (используя линейный интеграл);

3) сделать проверку;

4) используя потенциальную функцию, найти линейный интеграл .

РЕШЕНИЕ:

Следовательно, поле потенциально.

2)

В качестве пути интегрирования возьмем изображенную на рисунке ломаную линию

Параметрические уравнения горизонтального участка будут , причем точка (0,0) получается приt = 0, а точка (х,0) при t = x.

Параметрические уравнения вертикального участка будут , причем точка (х,0) получается приt = 0, а точка (х, у) при t = y.

3) проверка

, .

4) .