3.3. Алгоритм решения задачи
Последовательность вычислений при решении задачи оптимизации, поставленной в п. 2.1., сводится к следующему.
Находим
координаты (
)
точки
- встречи линии пересечения плоскостей
ограничений и координатой плоскости
=
0, решая систему уравнений:
+
=
;
+
=
.
Поскольку
векторы (
,
),
(
,
)
линейно независимы, решение существует
и может быть представлено в виде:
= 0;
=
;
=
.
Проверяем
выполнение предположения о неотрицательных
объемах производства. Если хотя бы одно
из найденных решений отрицательно, т.е.
<
0 или
<
0, точка
= (
)
не может служить оптимальной
производственной программой предприятия.
В этом случае полагаем доход предприятия
равным нулю,
=
0. В противном случае следует найти
значение целевой функции в этой точке:
=
+
.
Находим
координаты (
)
точки
- встречи линии пересечения плоскостей
ограничений и координатой плоскости
=
0, - решая систему уравнений:
+
=
;
+
=
.
Поскольку
векторы (
,
),
(
,
)
линейно независимы, решение существует
и может быть представлено в виде:
=
;
= 0;
=
.
Проверяем
выполнение предположения о неотрицательных
объемах производства. Если хотя бы одно
из найденных решений отрицательно, т.е.
<
0 или
<
0, точка
= (
)
не может служить оптимальной
производственной программой предприятия.
В этом случае полагаем доход предприятия
равным нулю,
=
0. В противном случае следует найти
значение целевой функции в этой точке:
=
+
.
Находим
координаты (
)
точки
- встречи линии пересечения плоскостей
ограничений и координатой плоскости
=
0, решая систему уравнений:
+
=
;
+
=
.
Поскольку
векторы (
,
),
(
,
)
линейно независимы, решение существует
и может быть представлено в виде:
=
;
=
;
= 0.
Проверяем
выполнение предположения о неотрицательных
объемах производства. Если хотя бы одно
из найденных решений отрицательно, т.е.
<
0 или
<
0, точка
= (
)
не может служить оптимальной
производственной программой предприятия.
В этом случае полагаем доход предприятия
равным нулю,
=
0. В противном случае следует найти
значение целевой функции в этой точке:
=
+
.
Отметим, что приведенные выше выражения для решений систем линейных уравнений, вытекают из теоремы Крамера. При выполнении работы можно воспользоваться любым другим методом решения систем, в том числе методом Гаусса последовательного исключения переменных.
Для нахождения оптимальной производственной программы необходимо из найденных решений выбрать такое, которое обеспечивает наибольший доход предприятию.
Расположим
полученные значения целевой функции
,
,
в порядке возрастания 0
.
Возможны следующие варианты.
Если
>
,
то оптимальной является производственная
программа:
(
=
,
=
=
).
Если
=
>
,
то оптимальной является любая
производственная программа, соответствующая
точкам отрезка, расположенного между
граничными точками
и
.
Условимся в этом случае указывать только
два граничных решения:
(
=
,
=
=
);
(
=
,
=
=
).
Если
=
=
>
0, то также имеется множество оптимальных
производственных программ, позволяющих
предприятию получить одинаковый
наибольший возможный доход. Условимся
в этом случае указывать три граничных
решения (два из которых совпадают):
(
=
,
=
=
);
(
=
,
=
=
);
(
=
,
=
=
).
По существу задачи оптимизации производственной программы в окончательном решении следует опустить дробную часть (мантиссу) в значениях объемов производства.
В заключении следует рассчитать доход предприятия от реализации оптимальной производственной программы:
=
+
+
.