2.2. Оптимизация производственной программы

При осуществлении производственного процесса предприятие использует различные ресурсы. Эти ресурсы можно подразделять на определенные категории. Например, производственная мощность, материалы, труд. При отсутствии жесткого централизованного пла­нирования возможна разработка множества производственных про­грамм при использовании одних и тех же производственных ресур­сов. В таких условиях выбор наилучшего варианта производствен­ной программы становится важнейшей задачей руководства предприя­тия.

Задача оптимизации производственной программы может быть сформулирована в двух вариантах:

- определение производственной программы, позволяющей по­лучить наилучший результат (максимальный доход, прибыль) при заданных объемах ресурсов;

- определение производственной программы, обеспечивающей получение заданного объема производства при наименьших затра­тах.

В лабораторной работе решается задача получения максималь­ного дохода предприятия при заданных объемах производственных ресурсов. Задача решается при следующих условиях:

- номенклатура выпускаемой предприятием продукции вклю­чает 3 наименования;

- в производственном процессе используется 2 вида ресур­сов: металл и труд; объем ресурсов, которым располагает пред­приятие, ограничен;

- вся продукция, производимая предприятием в рассматриваемом периоде, реализуется в том же периоде; остатков на его на­чало и конец предприятие не имеет;

- цены на продукцию в рассматриваемом периоде остаются не­изменными.

3. Математическая постановка задачи и метод её решения

3.1. Формализация задачи

Пусть - нормативная трудоемкость изготовления одного изделияj-го типа (чел.-час);

– нормативная металлоемкость одного изделия j-го типа (кг);

в₁ – суммарная трудоемкость производственной программы предприятия (чел.-час);

в₂ – суммарная металлоемкость производственной программы предприятия (кг);

С_j – отпускная цена одного изделия j- го типа (руб.);

Х_j– объем производства (количество) изделий j-го типа (шт.);

j = 1, 2, 3.

Необходимо определить оптимальную производственную программу предприятия Х⁰ = (), т.е. такое распределение объемов производства Х = (), при котором достигается наибольший доход:

++=max (++),

().

При ограничениях на трудоемкость и металлоемкость:

+ +=;

+ +=.

В настоящей работе мы будем предполагать следующее:

- нормы трудоемкости и металлоемкости строго положительны:

> 0; i = 1,2; j = 1,2,3;

- объемы производства неотрицательны 0,0,0, так что если= 0, то изделиеj-го типа не включается в производственную программу, i = 1, 2, 3;

- оптимальная производственная программа (), где0,0,0 существует, т.е. ограничения трудоемкости и металлоемкости сбалансированы;

- ограничения по трудоемкости и металлоемкости независимы в том смысле, что линейно независима любая пара из векторов (,), (,), (,).

В контрольном примере, рассмотренном ниже, а также во всех вариантах заданий, указанные предположения выполняются в реальных производственных программах.

3.2. Метод решения

В пространстве переменных () каждое из ограничений вида++=по трудоемкости или металлоемкости определяет плоскость, проходящую через точки:

(=/,= 0,= 0),

(= 0,=/,= 0),

(= 0,= 0,=/),

i = 1, 2.

Пример изображения этих плоскостей приведен на рис. 1.

Точки, лежащие на линии пересечения плоскостей и, удовлетворяют ограничениям по трудоемкости и металлоемкости одновременно. При этом линия пересечения существует в силу принятого предположения об отсутствии взаимной зависимости ограничений.

Наконец, условия 0,0,0 определяют отрезок линии пересечения плоскостейи, лежащий между координатными плоскостями. Такой отрезок тоже существует в силу сбалансированности ограничений. Точки отрезка (и только они) удовлетворяют всем ограничениям и предположениям, принятым в задаче.

Целевая функция y = ++является линейной по переменным () и, следовательно, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах построенного отрезка, один из которых и является решением задачи.