Размещения, перестановки, сочетания
Задача 4. Однажды утром.
Однажды утром по улицам города Дрюкова на высокой скорости пронеслась машина. Она сбила зазевавшегося поросенка и скрылась. Свидетель N к приезду милиции, вспомнил только, что номер четырехзначный, все цифры разные, причем первая цифра 1, а последняя 4. Сколько автомобилей должна проверить автоинспекция?
Решение. Второй и третьей цифрами номера могут
быть любые две из следующих цифр: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Нужно перебрать столько номеров, сколько будет возможных комбинаций из восьми перечисленных цифр по две с учетом их порядка. Такие комбинации называются размещениями. В данном случае нас интересует число размещений из восьми цифр по две.
Размещения, перестановки,
сочетания
Размещением из n элементов по m называется всякая перестановка из m элементов, выбранных каким-либо способом из данных n.
m
Число размещений обозначается Аn .
По правилу умножения легко доказать, что
Аmn= n•(n-1) •…• (n-m+1).
В нашей задаче А28 = 8•7 = 56.
Размещения, перестановки, сочетания
Задача 5. День брюквы.
Согласно древнему обычаю, самый главный праздник в Брюкове – День Брюквы, проводится за счет средств городского бюджета и празднуется столько дней, сколько депутатов проголосует за то, чтобы праздник состоялся. Из десяти депутатов «за» проголосовали семь.
Каково число всех возможных вариантов голосования?
Решение. Мы должны найти число всех возможных групп из семи депутатов. Здесь порядок выбора не играет никакой роли, поэтому комбинации отличаются одна от другой только составом лиц. Комбинации такого типа называются сочетаниями.
Размещения, перестановки, сочетания
Сочетанием из n элементов по m называется всякая совокупность m элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов.
Число сочетаний обозначается Сm.
n
Для числа сочетаний справедлива формула
Сmn= n•(n-1) •…• (n-m+1) / m!
Внашей задаче C107 = 10•9•8•7•6•5•4/7!=120
Примеры решения задач по комбинаторике
Задача 6. Рассылка писем
У нас есть три письма, каждое из которых мы можем послать по шести различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никакие два письма нельзя посылать по одному адресу? Сколькими способами можно разослать письма, если по одному адресу разрешается посылать более одного письма?
Решение.
1.Применим правило умножения к процессу из 3 действий.
2.1-е действие – отправка 1-го письма. n1= 6.
3.2-е действие – отправка 2-го письма. n2= 5.
4.3-е действие – отправка 3-го письма. n3= 4.
5.Число вариантов реализации процесса
N = n1 n2 n3= 6 5 4=120
При отсутствии ограничений на рассылку n1= n2= n3=6, N = n1 n2 n3= 6 6 6= 198
Примеры решения задач по комбинаторике
Задача 7. Финалисты и призеры В полуфинальном забеге участвуют 8 спортсменов.
Сколькими способами можно определить четверку, выходящую в финал? Сколькими способами могут распределиться три призовых места в забеге восьми финалистов?
Решение.
1.Так как при определении финалистов порядок их выбора не важен, то для определения числа вариантов выбора используется формула сочетаний «по 4 из 8».
C 48= 8•7•6•5/4!=70
2. При определении призеров порядок выбора важен. Поэтому число вариантов определяется по формуле размещений «по 3 из 8».
А38= 8•7•6=336
Примеры решения задач по комбинаторике
Задача 8. Баскетбольная команда Из 12 кандидатов тренер отбирает 5 и составляет из них
баскетбольную команду. 2 кандидата могут играть центровыми, 4 - только в защите, а остальные - только в нападении. Сколькими способами тренер может составить команду?
(Предполагается, что баскетбольная команда состоит из 1 центрового, 2 защитников и 2 нападающих). Каково будет число вариантов, если все кандидаты могут играть на любом месте?
Решение.
1. |
Применим правило умножения к процессу из 3 действий. |
||
2. |
1-е действие – выбор центрового. n1= 2. |
|
|
3. |
2-е действие – выбор защитников. n = С 2= 4 3/2! = 6. |
||
4. |
2 |
4 |
2= 6 5/2!= 15. |
3-е действие – выбор нападающих. n = С |
|||
|
3 |
|
6 |
5. Число вариантов реализации процесса |
|
|
|
N = n1 n2 n3= 2 6 15=180
При условии универсальности всех кандидатов применима формула количества сочетаний «по 5 из 12», так как порядок выбора кандидатов не важен С125 =12 11 10 9 8/5!=792