- •Элементы теории
- •Четкие и нечеткие множества
- •Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами.
- •Примеры бесконечных множеств
- •Способы задания множеств
- •Способы задания множеств
- •Принятые обозначения
- •множествами
- •Отношения между
- •Основные операции над множествами
- •Основные операции над множествами
- •Основные операции над множествами
- •Свойства объединения и пересечения множеств
- •Разбиение множества на классы
- •Разбиение множества на классы
- •Число элементов объединения двух конечных множеств
- •Число элементов разности двух конечных множеств
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач
- •Элементы комбинаторики
- •Правило умножения
- •Правило умножения
- •Правило умножения
- •Правило умножения
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения, перестановки,
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Примеры решения задач по комбинаторике
- •Примеры решения задач по комбинаторике
- •Примеры решения задач по комбинаторике
Элементы теории
множеств
“ Множество есть многое ,
Георг Кантор
1845-1918мыслимое нами как единое ”
Георг Кантор
Четкие и нечеткие множества
Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или не принадлежность которых к тому
или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами. Поскольку каждый
рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы.
Четким множествам противопоставлены нечеткие или
«лингвистические» множества, включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности. Понятие нечетких множеств (fuzzy sets)
было впервые введено в 1965 году американским математиком Л. Заде.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами.
Примеры конечных множеств
Множество |
Множество |
Множество русских |
|
студентов |
преподавателей |
гласных букв |
|
К числу конечных множеств относится также и |
пустое |
||
множество, т.е. множество, не содержащее ни |
одного |
элемента. Пустое множество обозначают знаком Ø. Например: Множество отличников в какой-либо из
групп может оказаться пустым
Примеры бесконечных множеств
В качестве примеров бесконечных множеств можно привести множества, рассматриваемые в математике: множество всех натуральных чисел (N) и множество всех целых чисел (Z).
N
Z
Способы задания множеств
Перечисление – дается полный перечень элементов множества.
Примеры:
1.Множество букв русского алфавита А={а, б, …, я}.
2.Множество делителей числа 12
D = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Ясно, что перечисление можно использовать только для задания конечных множеств.
Способы задания множеств
Описание – задается свойство, которому удовлетворяют все элементы множества.
Свойство, определяющее множество,
называется характеристическим. Примеры:
1.Множество всех студентов – отличников.
Характеристическое свойство: все, предусмотренные учебным планом, формы контроля пройдены только с отличными оценками.
2.Множество четных чисел.
Характеристическое свойство: число делится на 2 без остатка.
Принятые обозначения
Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами, а их элементы строчными латинскими буквами.
При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x - входящий в него объект, то символическая запись x A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x А.
Пример: Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву “д” как элемент х, а букву “d” как элемент y, можно записать х A, y А.
множествами
Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Дж. Венн предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости.
Леонард Эйлер 1707 - 1783
Джон Венн 1834 - 1923
Намного раньше Леонард Эйлер для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества.
Такие изображения называют диаграммами Эйлера - Венна.
Отношения между
множествами
Возможны пять вариантов отношения двух множеств
A B A B
Вариант 1 |
Вариант 2 |
A B |
A |
B |
A, B |
|
|
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
A |
B |
множествами |
A, B |
|
||||
A B |
A |
B |
A B |
|
||||
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 |
||||||
Упражнение: Ответьте, какому из вариантов |
|
|||||||
соответствуют отношения множеств, описанных ниже. |
|
|||||||
1. А - множество успевающих студентов; |
A |
B |
||||||
|
В - множество участников художественной |
|||||||
самодеятельности. |
|
|
|
|
|
|||
2. А - множество студентов-юношей; |
|
A |
B |
|||||
В - множество студенток. |
|
|
||||||
3. А - множество отличников учебной группы; |
|
|
||||||
В - множество всех студентов этой группы. |
A |
B |
||||||
4. Какое соотношение между множеством |
||||||||
|
|
|||||||
успевающих |
студентов |
|
юридического |
|
|
|||
факультета (А) и множеством всех студентов |
|
|
||||||
того же факультета (В) является мечтой |
А, В |
|||||||
деканата этого факультета. |
|
|