Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

Лекции по векторному и тензорному анализу

М.В. Лосик 2007

2

Введение

Курс "Основы векторного и тензорного анализа"предназначен для студентов 2-го курса физических специальностей. Это пособие написано на основе многолетнего опыта чтения данного курса. Его первая часть векторный анализ представляет собой изложение ряда понятий математического анализа с точки зрения пригодной для изучения физических процессов. В его основе лежит понятие независимости основных понятий, таких как скалярное и векторное поле, градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля и т. п., от выбора системы координат. Так как на втором курсе студенты знакомы только с понятием трехмерного евклидова пространства модельного пространства для классической ньютоновой механики, то приходится ограничиться изложением векторного анализа в этом пространстве, считая заданной структуру этого пространства. Это позволяет использовать векторную алгебру, включая скалярное, векторное и смешанное произведения. Вторая часть курса вклю- чает в себя только элементы тензорной алгебры - определение тензоров произвольного типа в действительном линейном пространстве, примеры тензоров, основные операции над тензорами и понятие тензорного поля в трехмерном евклидовом пространстве. Фактическое применение этих понятий предполагается в будущих физических дисциплинах.

Предполагается, что читатель знаком с дифференциальным и интегральным исчислением в многомерном арифметическом пространстве, векторной алгеброй на плоскости и в пространстве и элементами линей-

ной алгебры, в частности, с понятиями n-мерного линейного (векторного) пространства, его базиса, линейного оператора и матрицы линейного оператора. Доказательства проводятся на уровне строгости привычном для физиков, т.е. мы пренебрегаем некоторыми деталями, которые счи- таются обязательными в математике.

В дальнейшем для краткости мы называем пространством трехмерное евклидово пространство, а плоскостью - двумерную плоскость этого

пространства. Множество действительных чисел обозначается через R, à n-мерное арифметическое пространство - через Rn. Чтобы отличить векторы от скаляров, мы будем ставить над ними стрелки, например ~a, или записывать их жирным шрифтом: grad èëè rot.

~

Скалярное произведение векторов ~a è b далее обозначается через

4

Заметим, что |~a(t) − ~a| является скалярной функцией переменной

Теорема 1. Пусть ~a(t)( ax(t), ay(t), az(t) ) векторная функция, определенная в окрестности точки t0 за исключением быть может точки t0, è ~a( ax, ay, az ) вектор, заданные своими координатами относительно

базиса ~ ~ ~

i, j, k limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a тогда и только тогда, когда существуют пределы limt→t0 ax(t), limt→t0 ay(t) è limt→t0 az(t), которые равны соответственно ax, ay è az.

Доказательство. Расмотрим очевидное равенство

q

|~a(t) − ~a| = (ax(t) − ax)2 + (ay(t) − ay)2 + (az(t) − az)2. (1.3)

Следовательно, мы имеем

|ax(t) − ax|, |ay(t) − ay|, |az(t) − az| ≤ |~a(t) − ~a|.

Тогда, если предел limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a, òî èç (1.2) è (1.3)

limt→t0 ~a(t) = ~a.

Мы оставляем читателю сформулировать и доказать соответствую-

щую теорему для векторной функции ~a(t) со значениями в множестве векторов плоскости. Впрочем ее доказательство вытекает из доказатель-

ства теоремы 1, если положить az(t) = az = 0. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся формулировками и доказательствами теорем только для

случая, когда векторная функция ~a(t) принимает значения в множестве векторов пространства.

Лемма 1. Если limt→t0 ~a(t) = ~a, òî limt→t0 |~a(t)| = |~a|.

Доказательство. Доказательство следует из неравенства

||~a(t)| − |~a|| ≤ |~a(t) − ~a|,

вытекающего из определения разности векторов и свойства сторон треугольника, и определения 1.

Теперь мы получим формальные свойства предела векторной функ-

~

ции. Прежде всего заметим, что если ~a(t), b(t), ~c(t) векторные функции

6

Определение 3. Векторная функция ~a(t) называется непрерывной в точке t0, åñëè limt→t0 ~a(t) существует и равен ~a(t0).

~a(t) является непрерывной в точке t0 тогда и только тогда, когда

limt→t0 ~a(t0) = 0.

Пусть векторная функция ~a(t) задана в координатах:

~a(t)( ax(t), ay(t), az(t) ).

Тогда из теоремы 1 следует, что ~a(t) является непрерывной в точке t тогда и только тогда, когда координаты 0

ax(t), ay(t), az(t) непрерывны в

точке t

Наиболее0. важную в дальнейшем роль будет играть понятие дифференцируемости векторной функции скалярного переменного.

Определение 4. Пусть векторная функция ~a(t) определена в окрест- ности точки t0. Если существует предел

он называется производной векторной функции ~a(t) в точке t0 и обозна- чается ~a0(t0) èëè d~dta (t0). Функция ~a(t), имеющая производную в точке t0, называется дифференцируемой в этой точке.

Пусть, как и выше, векторная функция ~a(t) задана в координатах. Тогда выражение, стоящее под знаком предела в определении производной, имеет следующие координаты

Следовательно, согласно теореме 1, мы получаем следующую теорему.

Теорема 3. Векторная функция ~a(t) дифференцируема в точке t0 тогда

и только тогда, когда ее координаты ax(t), ay(t), az(t) дифференцируемы в этой точке. В этом случае производная ~a0(t0) имеет координаты a0x(t0), a0y(t0), a0z(t0).

Теперь мы получим формальные свойства производной векторной функции.

~

Теорема 4. Пусть ~a(t), b(t), ~c(t) векторные функции и k(t) скаляр-

~

ная функция, дифференцируемые в точке t0. Тогда функции ~a(t) + b(t),

точке t0 и имеют место следующие равенства :

7

~ 0 (~a(t0), b(t0),~c (t0)).

Доказательство. Доказательство 1), 2), 3) и 4) проводятся прямой проверкой согласно теореме 3 и формулам (1.4), (1.5), (1.6) и (1.7). Доказательство 5) следует из (1.6) и (1.7) и определения смешанного произведения.

Наконец, докажем теорему о сложной функции.

Теорема 5. Пусть u(t) скалярная функция, дифференцируемая в точ- ке t0, и ~a(u) векторная функция, дифференцируемая в точке u0 = u(t0). Тогда сложная функция ~a(u(t)) дифференцируема в точке t0 è имеет место следующая формула:

dtd (~a(u(t)) (t0) = ~a0(u0)u0(t0).

Доказательство. Запишем сложную функцию ~a(u(t)) в координатах:

~a(u(t))(ax(u(t)), ay(u(t)), az(u(t))), ãäå ax(u), ay(u) è az(u) координа-

ты векторной функции ~a(u). Тогда доказательство теоремы следует из теоремы 3 и известной теоремы о производной сложной функции из математического анализа.

1.3.Геометрические свойства производной векторной функции

Пусть O некоторая точка пространства и ~r(t) векторная функция. Множество концов векторов ~r(t), отложенных от точки O, называется годографом векторной функции ~r(t). В дальнейшем для краткости, говоря точка ~r(t), мы будем иметь в виду точку с радиусом-вектором ~r(t). Обычно годограф ~r(t) это кривая в пространстве, а ~r = ~r(t) вектор-

ное параметрическое уравнение этой кривой. Поэтому переменную t ча- сто называют параметром на этой кривой. Хотя годограф не определяет

8

однозначно векторную функцию ~r(t), некоторые свойства этой функции могут быть интерпретированы как геометрические свойства годографа. Заметим, что при замене начальной точки O на точку 00, весь годограф сдвигается на вектор −−OO→0, что не изменяет его геометрических свойств.

При изменении параметра t точка годографа перемещается по нему, направление перемещения по годографу, происходящее при возрастании параметра, называется положительным, а противоположное направление отрицательным.

Теорема 6. Пусть функция ~r(t) дифференцируема в точке t0. Åñëè âåê- òîð ~r0(t0) отличен от нуля, то он направлен по касательной к годографу

в точке ~r(t0) в положительном направлении.

Доказательство. Очевидно, что вектор ~r(t0) = ~r(t) − ~r(t0) направлен

è ïðè t < 0, вектор

Тогда, согласно определениюt направленкасательнойв положительномкак предельногонаправленииположения.

секущей и определения 4, вектор ~r0(t0) направлен по касательной к годографу в точке ~r(t0) в положительном направлении.

Рассмотрим годограф векторной функции ~r(t), заданной на некотором интервале, и предположим, что длина дуги годографа между любыми двумя точками годографа определена. Выберем на годографе некото-

рую начальную точку M0 и введем на годографе специальный параметр s, который называется длиной дуги. Если точка M получается из точки

M0 перемещением в положительном направлении, то поставим в соответ-

^

ствие точке M число s равное длине дуги M0M; если точка M получается

из точки M0 перемещением в отрицательном направлении, то поставим в

^

соответствие точке M число s равное длине дуги M0M со знаком минус. Очевидно, что таким образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками годографа и некоторым интервалом измене-

ния переменной s. Поэтому композиция отображений t → ~r(t) è ~r(t) → s

уравнения кривой в пространстве в декартовой системе координат. Предположим, что функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируе-

мы на промежутке [a, b]. Тогда длина дуги этой кривой задается следующей формулой

Z b

p

l = x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2 dt. (1.9)

a

9

Очевидно, что годограф векторной функции ~r(t), определенной на про-

ãäå t определяется условием, что ~r(t ) радиус-вектор начальной точ-

0 10)

êè M0. Действительно, формула (1. определяет s как длину дуги от точки M0 до точки ~r(t) со знаком +, если t > t0, и со знаком -, åñëè

t < t0.

Теорема 7. Если параметр s на годографе векторной функции ~r(s) является длиной дуги, то вектор ~r0(s) в точке ~r(s) является единичным вектором, направленным по касательной в точке ~r(s) в положительном направлении.

Доказательство. Ввиду теоремы 6 достаточно доказать, что вектор ~r0(s) является единичным. Пусть параметр s отсчитывается от началь-

ной точки ~r(s0). Тогда формула (1.10) превращается в тождество

Z s

s ≡ |r0(s)| ds.

s0

Дифференцируя это тождество по s, мы получаем |~r0(s)| = 1.

1.4. Векторные функции многих переменных

В этом разделе мы кратко рассмотрим векторные функции многих скалярных переменных.

Пусть U некоторая область в пространстве Rn.

Определение 5. Говорят, что в области U задана векторная функ-

ция переменных t1, . . . , tn, если каждой упорядоченной системе чисел (t1, . . . , tn) U, поставлен в соответствие вектор пространства (или плоскости) ~r(t1, . . . , tn).

Пусть векторная функция ~r(t1, . . . , tn) определена в окрестности точ-

êè t0 = (t01, . . . , t0n).

10

Определение 6. Пусть i = 1, . . . , n. Частной производной векторной функции ~r(t1, . . . , tn) по переменной ti в точке t0 называется производ-

∂~r (t0) является производной

∂ti

векторной функции ~a(t) = ~r(t0, . . . , t0− , t, t0 , . . . , t0 ) и, следовательно, обладает всеми свойствами этой1 производнойi 1 i+1. В частности,n пусть век-

торная функция ~r(t1, . . . , tn) задана в координатах следующим образом:

~r(t1, . . . , tn)(x(t1, . . . , tn), y(t1, . . . , tn), z(t1, . . . , tn)). Тогда частная произ-

водная ∂~r (t0) имеет своими координатами ∂x (t0), ∂y (t0) è ∂z (t0).

В дальнейшем∂ti мы будем использовать понятия∂ti ∂tнепрерывноi ∂ti диффе-

ренцируемой некоторое число раз или даже аналитической функции ~a(t). Это означает, что ее координаты являются такими функциями. Ввести эти понятия независимо от системы координат не представляет труда.

1.5.Векторные параметрические уравнения поверхности в пространстве

Рассмотрим векторную функцию ~r(u, v) двух переменных u и v, заданную в некоторой области U пространства R2. Пусть O некоторая точка пространства. Обычно множество концов векторов ~r(u, v) для всех значе- ний u и v образует некоторую поверхность в пространстве, а уравнение

~r = ~r(u, v) называется векторным параметрическим уравнением

поверхности в этой точке, M0

всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точкуM0 êî

M0.

Теорема 8. Если частные производные ~ru = ∂u∂~r è ~rv = ∂v∂~r непрерывны в окрестности точки ~r(u0, v0) и неколлинеарны в этой точке, то в данной