Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

51

3.10.Дифференциальные операции второго порядка

Мы будем называть дифференциальной операцией первого поряд-

êà взятие градиента скалярного поля или взятие либо дивергенции, либо ротора векторного поля.

Дифференциальной операцией второго порядка называется

последовательное применение двух дифференциальных операций первого порядка.

По определению у нас есть следующие дифференциальные операции

второго порядка: div grad ϕ, rot grad ϕ, grad div˜a, div rot~a è rot rot~a.

~

Из них две операции тождественно равны нулю: rot grad ϕ = 0 согласно теореме 22 и div rot~a = 0 согласно теореме 25.

Дифференциальная операция второго порядка div grad ϕ называет-

ся оператором Лапласа (или лапласианом) и обозначается ϕ. Выразим оператор Лапласа в декартовых координатах и через оператор Гамиль-

òîíà r. Применяя формулы (2.4) и (3.9), мы получаем

Применяя формулы (3.14) и (3.17), мы получаем

ϕ = (r, rϕ) = (r, r)ϕ = r2ϕ.

Выразим оставшиеся дифференциальные операции второго порядка че- рез оператор r, используя формулы (3.17) и (3.21),

grad div˜a = r(r,~a),

rot rot~a = [r, [r,~a]].

3.11.Выражение дивергенции и ротора векторного поля в ортогональных криволинейных координатах

Пусть задана ортогональная криволинейная система координат с коор-

динатами u, v, w. Напомним (см. раздел 1.6), что в этом случае в каждой точке области задания координат имеется ортонормированный ба-

çèñ ~eu, ~ev, ~ew и коэффициенты Ламе Hu, Hv, Hw. Мы будем считать базис

52

Заметим, что, взяв одно из этих равенств за начальное, мы получим остальные два циклическими перестановками индексов u, v, w.

Пусть векторное поле ~a задано в этой системе координат, т.е.

~a = au~eu + av~ev + aw~ew.

Используя теоремы 19 и 22, мы получаем

Согласно формуле (2.5), последней из формул (3.28) и формулам (3.31) и (3.32), мы получаем

выбора базиса (ei). Выясним, как эти числа преобразуются при замене базиса.

Каждое действительное число c можно рассматривать как постоянную функцию на множестве базисов пространства L c законом преобразования: c0 = c. Мы будем называть такую постоянную функцию

ðîì.

Заметим, что все рассмотренные выше объекты являются функциями

на множестве базисов пространства L, удовлетворяющими некоторому закону преобразования при замене базиса. Теперь мы дадим общее определение, которому удовлетворяют все рассмотренные выше объекты.

59

Определение 23. Говорят, что задан тензор T типа (p, q) (p, q ≥ 0) на n-мерном линейном пространстве L, если каждому базису (ei) ïðî-

странства L поставлен в соответствие набор np+q чисел T i1...ip

j1...jq , заданных для любых i1, . . . , ip, j1, . . . , jq = 1, . . . , n, которые при замене базиса

(ei) базисом (ei0 ) преобразуются следующим образом:

Индексированные числа T i1...ip T j1...jq называются компонентами тензора

относительно базиса (ei).

Заметим, что уравнения преобразования компонент тензора зависят от типа тензора.

Сравним это общее определение с приведенными выше примерами. Все уравнения преобразования (4.3), (4.4), (4.5) и уравнение преобразования скаляра являются частными случаями общего преобразования

компонент тензора из определения 23 для различных выборов p è q. Пример 1 показывает, что вектор является тензором типа (1, 0). Пример 2 показывает, что линейный оператор можно считать тензором типа (1, 1). Пример 3 показывает, что p-линейная форма может рассматриваться как

но базиса (ei). Покажем, что P + Q является тензором типа (p, q), т.е. эти компоненты удовлетворяют уравнениям (4.6). Действительно, используя

уравнения преобразования компонент тензоров P è Q, получаем

Отметим, что операция сложения тензоров содержит в качестве частных случаев операции сложения скаляров, векторов, линейных операто-

ðîâ è p-линейных форм.