МОМ - частная методика
.pdfМинистерство образования и науки Российской федерации Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского Механико-математический факультет
Кафедра математики и методики её преподавания
Лебедева С.В.
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Практикум по частной методике
Учебно-методическое пособие
для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100 – Педагогическое образование (Профиль подготовки – Математическое образование)
Саратов, 2012
Рекомендовано к печати кафедрой математики и методики её преподавания
Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского
Л 33 Лебедева С.В. |
Методика обучения математике. |
Практикум по |
частной методике: Учебно-методическое пособие для студентов, |
||
обучающихся по направлению подготовки 050100 |
– Педагогическое |
|
образование (профиль |
подготовки – Математическое |
образование) / |
С.В. Лебедева – Саратов, 2012. – 128 с.
© С.В. Лебедева, 2012
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ............................................... |
5 |
Тема 1. Расширение понятие «число» в школьном курсе математики................. |
5 |
Тема 2. Методика изучения тождественных преобразований............................... |
7 |
Лабораторная работа № 1 «Тождественные преобразования иррациональных |
|
выражений»............................................................................................................ |
11 |
Тема 3. Тригонометрические преобразования ..................................................... |
12 |
Тема 4. Методика изучения функций ................................................................... |
13 |
Лабораторная работа № 2 «Методика изучения функций»................................. |
15 |
Тема 5. Методика изучения уравнений и неравенств.......................................... |
23 |
Тема 6. Методика изучения основных геометрических фигур (точка, прямая, |
|
плоскость)............................................................................................................... |
26 |
Лабораторная работа № 3 «Методика изучения основных геометрических |
|
фигур» в педагогических ситуациях..................................................................... |
28 |
Лабораторная работа № 4 «Прямые и плоскости в пространстве»..................... |
29 |
Тема 7. Методика изучения аналитической геометрии в ШКМ: Векторы и |
|
координаты............................................................................................................. |
31 |
Лабораторная работа № 5 «Решение геометрических задач аналитическим |
|
методом»................................................................................................................. |
36 |
Лабораторная работа № 6 «Элементы аналитической геометрии в школьном |
|
курсе математики»................................................................................................. |
37 |
Тема 8. Методика изучения геометрических преобразований............................ |
38 |
Тема 9. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности 41 |
|
Тема 10. Методика изучения производной, применение производной |
|
к решению прикладных задач ............................................................................... |
44 |
Тема 11. Изучение первообразной функции и интегралов, применение |
|
интегралов к решению прикладных задач............................................................ |
48 |
Лабораторная работа № 7 «Изучение первообразной функции и интегралов: |
|
дифференциальные уравнения в ШКМ» .............................................................. |
52 |
Тема 12. Измерение длин, углов, площадей и объёмов в ШКМ......................... |
57 |
Тема 13. Методика изучения многоугольников и многогранников.................... |
61 |
Тема 14. Изучение геометрических мест точек, фигур и тел вращения............. |
63 |
Лабораторная работа № 8 «Геометрическое место точек на плоскости»........... |
67 |
Тема 15. Методика изучения геометрических построений и методы |
|
изображения........................................................................................................... |
68 |
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................... |
69 |
Приложение 1. Конспект урока математики в 6-м классе «Умножение |
|
обыкновенной дроби на натуральное число»....................................................... |
69 |
Приложение 2. Дробные числа (Рабочая карта, 5 класс)..................................... |
72 |
Приложение 3. Организация коллективной исследовательской |
|
деятельности на уроке ........................................................................................... |
74 |
Приложение 4. Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений 77 |
3
Приложение 5. Мнемонические правила для запоминания |
|
|
тригонометрических формул................................................................................. |
83 |
|
Приложение 6. |
Методика введения понятия обратной функции и |
|
функции вида ó x в VIII классе......................................................................... |
87 |
|
Приложение 7. |
Неравенства в школьном курсе математики............................... |
89 |
Приложение 8. |
Равносильность и логическое следование................................ |
100 |
Приложение 9. |
Алгоритм установления расстояния между |
|
скрещивающимися прямыми .............................................................................. |
103 |
|
Приложение 10. Вариант 1 (ГИА: геометрия).................................................... |
104 |
|
Приложение 11. Тест «Векторы»........................................................................ |
109 |
|
Приложение 12. Задачи «на ГМТ»...................................................................... |
113 |
|
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ............................................................................. |
117 |
|
Контрольная работа «Основной систематический курс математики: алгебра, |
|
|
планиметрия (в 7-9 классах)».............................................................................. |
117 |
|
Контрольная работа «Методика изучения математике в старших классах |
|
|
средней школы (алгебра и начала анализа, стереометрия)».............................. |
121 |
|
Контрольная работа «Внеклассная работа по математике» .............................. |
124 |
|
РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ......................................................... |
127 |
4
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Расширение понятие «число» в школьном курсе математики
I. Предваряющее задание. (1) Подберите соответствующий теме историко-математический материал (2) Изучить материал статьи Кузнецова Л. Экзамен для девятиклассников: содержание алгебраической подготовки / Л. Кузнецова, С. Суворова, Л. Рослова // Математика, 2010, №18 (465). – С.37-45. (3) Какой может быть мотивация изучения чисел новой природы?
II.Практическая работа – 90 минут.
Задание 1. Провести анализ конспекта урока (см. Приложение 1).
Задание 2. Как можно использовать следующий историко-математический материал при изучении темы Квадратные уравнения? Составить фрагмент конспекта урока.
Как можно записать и выразить иррациональное число? Для решения этого вопроса можно пойти двумя путями.
Первый путь еще в глубокой древности придумали греки. Обратимся еще раз к рисунку. Мы видим квадрат, его сторону тоже видно, мы можем ее, так сказать, «потрогать». И мы знаем, что ее длина равна единице выбранного нами масштаба. В этом квадрате проведена диагональ, ее тоже видно, ее тоже можно «потрогать». И эта диагональ имеет длину... Вот тут-то и начинаются неприятности. Длину-то она, конечно, имеет, мы это
|
|
|
видим, но |
она не выражается |
никаким числом, |
ибо не существует |
|
1 |
|
||||
|
|
рационального числа, квадрат которого равен 2! Так, быть может, и не надо |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
числа, будем обходиться самими отрезками, не вычисляя их длин, а лишь |
|||
1 |
? |
|
выполняя |
необходимые построения геометрически |
ми инструментами – |
|
|
|
|
циркулем и линейкой? Правда, тогда получится, что геометрия значительно |
|||
|
|
|
«сильнее» арифметики. Кроме того, все действия с числами придется |
|||
|
|
|
заменить действиями с отрезками. |
Грекам на этом пути сначала удалось |
обойти трудности, связанные с иррациональностями, и очень далеко продвинуться вперед в развитии математики, но затем они встретились с совершенно непреодолимыми трудностями
– «сильная» геометрия разрешала пользоваться только циркулем и линейкой (вы и сейчас на уроках геометрии решаете так называемые «задачи на построение», это нам осталось в наследство от греческой математики), а некоторые задачи с их помощью решить невозможно! Надо искать другой путь. Но вы его знаете.
Если выписать последовательно десятичные дроби, квадрат которых меньше 2, то получится 1,4; 1,41; 1,414; ... Многоточие означает, что таких дробей можно написать сколько угодно, или, по-другому, что мы можем написать сколько угодно десятичных знаков числа, квадрат которого как угодно близок к 2. Если выписать последовательно десятичные дроби, квадрат которых больше 2, то получится 1,5; 1,42; 1,415; ... И таких дробей мы можем написать сколько угодно. Тогда становится понятным такое определение: иррациональным числом называется непериодическая бесконечная десятичная дробь.
Правда, надо еще пояснить, почему в определении сказано «непериодическая»,– дело в том, что периодические дроби есть просто другая форма записи обыкновенных дробей,
например 0,3333... = 1/3
Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество, которое называют множеством действительных чисел и обозначают буквой R (от латинского слова реальный, вещественный, действительный, существующий в действительности).
5
Задание 3. Проанализируйте содержание уроков по теме «Степень с рациональным показателем» (по материалам статьи Кротова М. Тема урока «Степень с рациональным показателем». // Математика. – 2010. – № 18. – С.10-12.).
«Понятие степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Мы с вами начинали знакомство с понятием степени числа
еще на уроках математики в 5-м классе.
В 7-м классе вы познакомились со степенью с натуральным показателем. Давайте вспомним определение.
Степенью с натуральным показателем n и основанием |
Примеры: |
a называется произведение n |
73 = 7 7 7 = 343; |
одинаковых множителей, каждый из которых равен а. |
(–7)3 = (–7) (–7) (–7) = –343. |
an = a а … а при n > 1, n N. |
|
Задание. По аналогии с данным, составьте свой пример. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика», в которой было положено начало введению буквенной символики. В этой книге Диофант вводит символы для первых шести степеней. Древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета: «тысяща» = 103, «тьма» = 106, «легион» = 1012, «леодр» = 1024, «ворон» = 1048, «колода» = 1049.
Ответьте на вопросы.
1.Как из «тысящи» получить «тьму»?
2.На какое число надо умножить 1048 , чтобы получить 1049?
3.Определите закономерность получения каждой из степеней.
4.Какие свойства степени с натуральным показателем при этом вы применили?...»
Разработайте (по аналогии) содержание уроков по любой теме числовой линии ШКМ.
III. Внеаудиторные задания.
(1)Разработайте проблемные ситуации к каждому разделу темы «Степень
снатуральным показателем» (7 класс).
(2)Разработать презентацию «Введение чисел новой природы» / десятичные дроби, обыкновенные дроби, отрицательные числа, иррациональные (радикалы), иррациональные (тригонометрические), иррациональные (логарифмы) по схеме: (а) Предваряющая проблемная задача, приводящая к необходимости введения чисел новой природы, (б) Историкоматематический материал по теме, (в) Упражнения на выделение и распознавание новых чисел.
(3)Как можно расширить / углубить знания учащихся по теме «Расширение понятия «число»»? Составьте библиографический перечень по данной теме. Результаты оформите в таблицу
Я узнаю |
если прочитаю |
1) Что такое комплексное число |
Статью «Комплексные числа» в |
|
ВикиУчебнике – http://ru.wikibooks.org/wiki/ |
2) |
|
6
Тема 2. Методика изучения тождественных преобразований
I. Предваряющее задание. (1) Проведите логико-дидактический анализ темы. (2) Классифицируйте задачи Раздела II.1 Выражения и их преобразования из Сборника итоговой аттестации в 9 классе. (3) Решите по одной задаче каждого класса, оцененной в 6 баллов. Какие методические трудности возможны при использовании подобных задач в учебном процессе? Перечислите.
II. |
Практическая работа – 25 минут. |
|
|||
|
|
|
|
Задание 1. Оцените |
возможность |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
самостоятельного изучения материала темы по |
|
|
|
|
|
учебнику: основные требования к изложению |
|
|
|
|
|
материала. |
|
|
|
|
|
Задание 2. Разработайте |
план-конспект |
|
|
|
|
урока, основное содержание которого – |
|
|
|
|
|
дедуктивное доказательство свойств степени с |
|
|
|
|
|
натуральным показателем. |
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Разработка и создание опорного сигнала (Систематизация знаний и умений: основные результаты) по теме «Свойства степени с натуральным показателем». Ниже приведена часть параграфа из учебника А.Г. Мордковича «Алгебра-7»
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Здесь собраны основные определения, свойства, теоремы, формулы, правила,
которые мы с вами изучали в § 4-8. Всё это записано на сухом математическом языке без всяких комментариев, поскольку комментарии, обоснования были приведены ранее.
а1 = а;
ап = а · а · … · а;
п множителей |
|
|
а0 = 1, |
а 0; |
|
1п = 1; |
0п = 0; |
|
(–1) 2п = 1; |
(–1) 2п – 1 = –1; |
|
10п = 100…00; |
|
|
п нулей |
|
|
ап · ак = а п + к; |
а п + к + т = ап · ак · ат |
|
ап : ак = а п – к, где п к; |
||
(ап)к = а п к; |
|
|
ап · вп = (а · в) п; (а · в · с) п = а п · вп · с п; |
ап / вп = (а / в) п , где в 0. |
Знание этих формул – ключ к успеху в работе с любыми алгебраическими выражениями. К этой работе мы приступаем постепенно, начиная со следующей главы.
В заключение – одно предостережение. Мы знаем, что
если основания одинаковы, то |
если показатели одинаковы, то |
ап · ак = а п + к; |
ап · вп = (а · в) п |
ап : ак = а п – к, где п к |
ап : вп = (а : в) п , где в 0. |
Если же умножение и деление выполняется над степенями с различными основаниями и разными показателями, то ничего сделать нельзя. Так, 35 · 24 можно вычислить только «в лоб»: сначала вычислить 35, затем 24 и, наконец, выполнить умножение. Будьте внимательны!
7
III. Семинар «Изучение темы Тождественные преобразования алгебраических выражений» – 20 минут – обсуждение вопросов:
1. |
Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся по теме |
|
Многочлены. Преобразование многочленов. |
||
2. |
Основные аспекты изучения |
темы Многочлены. Преобразование |
многочленов. |
к изучению темы Многочлены. |
|
3. |
Методические рекомендации |
Арифметические операции над одночленами.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Как обычно, закончим главу перечислением основных полученных в ней
результатов.
В этой главе мы с вами изучили следующие понятия: многочлен, в частности, двучлен, трёхчлен; приведение подобных членов многочлена, взаимное уничтожение членов многочлена; стандартный вид многочлена; алгебраическая сумма многочленов.
Мы с вами изучили следующие правила: правило составления алгебраической суммы многочленов, правило умножения многочлена на одночлен, правило умножения многочлена на многочлен; правило деления многочлена на одночлен.
Мы с вами изучили следующие формулы:
(а + в)2 = а2 + 2ав + в2 |
(квадрат суммы); |
(а – в)2 = а2 – 2ав + в2 |
(квадрат разности); |
(а + в)(а – в) = а2 – в2 |
(разность квадратов); |
(а – в)( а2 + ав + в2) = а3 – в3 |
(разность кубов); |
(а + в)( а2 – ав + в2) = а2 + в2 |
(сумма кубов). |
В написанном виде это – формулы сокращённого умножения; если же их читать справа налево (например, а2 – в2 =(а + в)(а – в)), то это – формулы разложения многочлена на множители (то есть формулы, позволяющие многочлен, записанный в правой части равенства, представить в виде произведения более простых многочленов, которые записаны в левой части равенства).
4. Методические рекомендации к изучению темы Разложение многочленов на множители.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе мы ввели новые (для вас) понятия математического языка: разложение многочлена на множители; алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби; тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения.
Вы познакомились со следующими приёмами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата.
IV. Лабораторная работа – 35 минут.
Задание 1. Выявить основные типы иррациональных выражений (Сборник итоговой аттестации в 9 классе) и сформулировать в виде правил методы и способы преобразований иррациональных выражений.
Задание 2. Разработать образец ответа по преобразованию иррациональных выражений. Результат оформить в таблицу.
Этап |
Выражение |
Обоснование |
1 |
|
условие |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8
Задание 3. Составить по теме «Преобразование иррациональных выражений»
Вариант 1: долгосрочную индивидуальную работу, Вариант 2: рабочую карту (см. Приложение 2).
Задание 4. Разработать проект урока повторения и обобщения материала по теме «Преобразование иррациональных выражений»
V. Самостоятельное изучение нового материала – 10 минут – Изучить материал статьи Михайлева А.А. Возможность применения теории поэтапного формирования умственных действий в школьном курсе математики при изучении темы «Алгебраические выражения».
Тема «Алгебраические выражения» изучается в течение двух лет и используется на протяжении всего курса математики.
Традиционно изучение этой темы начинается в седьмом классе, и строится следующим образом: учитель формулирует определение одночлена и приводит примеры выполнения заданий. Далее на нескольких уроках учащиеся решают множество однотипных задач по образцу. Так же репродуктивно вводится определение многочлена, и только через год – понятие целого и дробного выражения.
В результате такого «обучения» ни один из студентов первого курса не может вспомнить, что же называется многочленом, степенью многочлена и т. д.
Мы предлагаем для изучения темы: «Алгебраические выражения» в восьмом классе строить ориентировочную основу действия по третьему типу ориентировки, что позволяет реализовать далее и все последующие этапы [1, с. 120-128].
Разделите предложенные выражения на классы в соответствии с выбранным признаком:
х10; |
54х 8а4 (– 2)r; |
5 |
|
х10 – 7h; |
5 |
|
|
3zx |
|
||||||
18 – |
|
а; |
– |
|
; |
|
|
; |
h; |
||||||
|
|
4 |
|||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
||||
zx ; |
; |
а2 – 1; |
(а + 1) (а – 1); |
18. |
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
3z 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получится следующая схема
9
Для мотивации введения понятия одночлен необходимо рассмотреть задачу классификации всех алгебраических выражений, для чего нужно выбрать существенный признак – последнее действие, связывающее переменные.
Для составления схемы ориентировочной основы действия учащимся предлагается следующее задание: Необходимо обратить внимание, что в классах «Сложение» и «Умножение» есть тождественно равные выражения: а2 – 1 и (а + 1) (а – 1). а в классах
|
3zx |
3 |
zx . |
|
«Умножение» и «Деление» – тождественно равные выражения: |
|
и |
|
|
4 |
4 |
|
Учащимся необходимо предложить подумать, как избежать таких недоразумений.
Врезультате они должны прийти к следующим выводам:
–необходимо ввести договоренность о стандартном виде алгебраического выражения.
–проводить классификацию можно только после раскрытия всех скобок и приведения алгебраических выражений к стандартному виду, иначе два тождественных выражения могут попасть в разные классы.
Далее следует обратить внимание на то, что элементы классов «Сложение» и «Деление» строятся из элементов двух классов «Умножение» и «Числа и переменные». Поэтому элементы этих классов (как «мельчайшие») называют одночленами, а элементы класса «Сложение» – многочленами. Получается следующее определение: «Одночлен – это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней».
Аналогично, используя классификацию можно сформулировать и определение алгебраической дроби (дробного выражения) как элемента класса «Частное». Также необходимо поставить вопрос: «Любое ли алгебраическое выражение можно отнести однозначно к одному из четырех выделенных классов?» Результатом работы учащихся должен стать вывод, что классификация алгебраических выражений аналогична классификации чисел:
Литература
1. Талызина, Н.Ф. Практикум по педагогической психологии. – М.: Академия, 2002.
VI. Внеаудиторное задание.
(1)Провести сравнительный анализ презентаций «Тождественные преобразования многочленов» (http://festival.1september.ru/articles/504843/) и «Одночлены и многочлены» (http://festival.1september.ru/articles/415021/).
(2)Изучите содержание и структуру исследовательской работы (Приложение 3), разработайте текст исследовательской работы аналогичной структуры по теме «Преобразование логарифмических выражений (11 класс)».
(3)Описать возможности применения ресурса «Сложение многочленов» – (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/67ada755-57ad-4fe2-adc1- b9f413a8f55f/D203.swf).
10