алгебра 2 семестр
.pdf8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве |
31 |
ТЕОРЕМА 8.2.2. При фиксированном базисе e линейного пространства V , dim V = n, отображение : L(V ) ! M(n; k), сопоставляющее линейному оператору f его матрицу относительно базиса e (f ! Afje), является изоморфизмом алгебры линейных операторов L(V ) на алгебру квадратных матриц n-го порядка M(n; k).
Доказательство. Путь e некоторый базис пространства V . Рассмотрим отображение : L(V ) ! M(n; k), (f) = Af , ãäå Af матрица линей- ного оператора f относительно базиса e. Покажем, что это отображение является изоморфизмом.
1) Инъективность .
Пусть (f) = (g), где f; g 2 L(V ). Это означает, что Af = Ag ) ) ATf = ATg ) ATf e = ATg e ) f(e) = g(e). Мы получили, что образы базисных элементов пространства V совпадают. Тогда по следствию из теоремы 8.2.1 следует, что f = g.
2) Сюръективность .
Пусть A 2 M(n; k). Построим n векторов пространства V так, чтобы координатные столбцы этих векторов относительно базиса e совпадали со столбцами матрицы A. Тогда по теореме 8.2.1 существует линейный оператор f 2 L(V ), переводящий базис e в построенные нами векторы. По построению будем иметь f(e) = AT e. Отсюда видно, если сравнивать с определением 8.2.3, что AT = ATf . Таким образом, (f) = Af = A.
3)Сохранение операций.
Пусть f; g 2 L(V ) и Af ; Ag матрицы этих линейных операторов
относительно базиса e. Тогда f(e) = ATf e; g(e) = ATg e.
Рассмотрим действие суммы линейных операторов f + g на базисные
векторы. С одной стороны, (f + g)(e) = ATf+ge.
Ñдругой стороны, (f +g)(e) = f(e)+g(e) = ATf e+ATg e = (ATf +ATg )e =
=(Af + Ag)T e.
Отсюда, ATf+g = (Af + Ag)T ) Af+g = Af + Ag. Таким образом, мат-
32 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
рица суммы линейных операторов равна сумме матриц этих операторов. Следовательно
(f + g) = Af+g = Af + Ag = (f) + (g);
то есть отображение сохраняет внутреннее сложение. |
|
|
Рассмотрим действие произведения линейных операторов |
fg íà áà- |
|
зисные векторы. С одной стороны, (fg)(e) = AT |
e. |
|
fg |
|
|
С другой стороны, (fg)(e) = f(g(e)) = |
f(AgT e) = |
AgT f(e) = |
= ATg (ATf e) = (ATg ATf )e = (Af Ag)T e.
Отсюда, ATfg = (Af Ag)T ) Afg = Af Ag, то есть матрица произведения линейных операторов равна произведению матриц этих операторов. Следовательно
(fg) = Afg = Af Ag = (f) (g);
то есть отображение сохраняет внутреннее умножение.
Наконец, совсем просто доказывается, что A f = Af ) ( f) = = (f), ãäå 2 k.
Предложение 8.2.1. Координатный столбец образа вектора при действии линейным оператором равен координатному столбцу этого вектора, умноженному слева на матрицу этого линейного оператора, то есть
f(a) = Af a:
Доказательство. Действительно, вектор a |
= aT e. С одной стороны, |
||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
e) = a |
T |
f(e) = a |
T |
T |
f(a) = f(a) e. С другой стороны, f(a) = f(a |
|
|
|
(Af e) = |
|||||||||
= (a |
T |
T |
|
T |
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
Af )e = (Af a) |
|
e. Имеем, f(a) |
= (Af a) |
|
) f(a) = Af a. |
|
|
Определение 8.2.4. Матрица B называется подобной матрице A (B A) над полем k, если существует не особенная матрица Q с элементами из поля k такая, что
B = Q 1AQ:
8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве |
33 |
Иногда говорят, что матрица B получена трансформированием матрицы A с помощью матрицы Q, или матрица B преобразована из матрицы A с помощью матрицы Q.
Замечание 8.2.1. Если матрицы B и A подобны, то они должны быть квадратными одинаковой размерности.
Предложение 8.2.2. Отношение подобия является отношением эквивалентности на множестве M(n; k).
Доказательство. 1) Рефлексивность.
Имеем A = E 1AE, тогда A A, роль матрицы Q играет единичная матрица.
2)Симметричность.
Пусть B A. Это означает, что (9 Q; jQj 6= 0) B = Q 1AQ )
) QBQ 1 = Q(Q 1AQ)Q 1 ) QBQ 1 = A ) A = (Q 1) 1BQ 1 )
) |
A |
|
B, роль матрицы Q играет Q 1. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) Транзитивность. |
|
|
A, тогда ( |
R; |
|
R |
= 0) C = R 1BR, è |
|||||||||
|
Пусть C |
|
B; B |
|
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
j 6 |
||||
( |
Q; |
j |
Q |
= 0) |
|
B = Q 1AQ. Следовательно C = R 1(Q 1AQ)R = |
||||||||||
9 |
|
|
|
j 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (QR) 1A(QR) |
) |
C |
|
A, роль матрицы Q играет QR. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 8.2.3. Матрицы одного и того же линейного оператора f в различных базисах подобны. При этом матрица Afjue
матрицы Afje трансформированием при помощи матрицы перехода от базиса e к базису ue, то есть
Afjue = Q 1AfjeQ;
где Q матрица перехода от e к ue.
Доказательство. Пусть dim V = n; e и u два базиса пространства |
|||||||
V , f |
2 |
L(V ), A |
fje è |
A |
fju матрицы |
e |
f относительно e и u |
|
|
|
|
|
e |
|
e |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
||||||||||
соответственно. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(e) = AfTjee; f(u) = AfTjuu: |
|
u = Q e |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
T . Ñ |
||
Пусть, наконец, Q матрица перехода от e к u, то есть |
|
||||||||||||||||||||
одной стороны, f(u) = f(QT e) = QT f(e) = Q e(Afjee) = (eQT Afje)e = |
|||||||||||||||||||||
= (AfjeQ) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
T T |
|
|
T |
|
|
||||
|
e. Ñ |
|
|
|
|
|
f(u) = Afjuu = Afju(Q e) = |
||||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
другой стороны, |
|
T |
|
T |
T |
|
|
||||||
= ( fju |
|
) |
|
|
|
|
e |
(Afje e) |
= ( |
fju) |
|
) |
|||||||||
|
|
|
= ( |
fju) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
AT |
QT |
e |
|
|
QA |
e |
T e. Таким образом, |
eQ T |
|
QAe |
e |
T |
|
|||||||
) |
QA |
e |
|
= A |
fje |
Q |
) |
A |
= Q 1A |
fje |
Q. |
|
|
|
|
|
|||||
|
fju |
|
|
|
|
|
fju |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 8.2.3.1. Если Af матрица линейного оператора f относительно базиса e и B Af , то матрицу B можно рассматривать как матрицу линейного оператора f относительно некоторого другого базиса.
Доказательство. Действительно, так как B Af , òî (9 Q; jQj 6=
6= 0) B = Q 1Af Q. Рассмотрим новый базис ue = QT e. Так как Q не особенная матрица, то ue будет новым базисом. По теореме 8.2.3 имеем Afjue = Q 1Af Q = B.
8.3Ранг и дефект линейного оператора
Пусть V и V 0 два линейных пространства над полем k, пусть f |
2 |
||
2 |
L(V; V 0). |
||
|
|||
|
|
Определение 8.3.1. Образом линейного оператора f (Im f) называется множество образов всех элементов пространства V . Ядром линейного оператора f (Ker f) называется множество тех векторов пространства V , которые при отображении f переводятся в ноль пространства V 0.
Из этого определения видно, что
Im f = ff(a)j a 2 V g ; Ker f = fa 2 V j f(a) = 0g :
8.3. Ранг и дефект линейного оператора |
|
35 |
Предложение 8.3.1. Ядро и образ линейного оператора f |
2 |
L(V; V 0) |
|
|
|
являются линейными подпространствами пространств V и V 0 ñîîò- |
ветственно.
Доказательство. Действительно, (8 ; 2 k; a; b 2 Ker f) имеем
f( a + b) = f(a) + f(b) = 0 + 0 = 0 ) a + b 2 Ker f:
Это означает, что Ker f является устойчивым подмножеством пространства V , следовательно, является его линейным подпространством.
Пусть a0; b0 2 Imf. Это означает, что (9 a; b 2 V ) f(a) = a0; f(b) = b0. Тогда (8 ; 2 k; a0; b0 2 Im f) имеем
a0 + b0 = f(a) + f(b) = f( a + b) 2 Im f:
Отсюда Im f является устойчивым подмножеством пространства V 0, следовательно, является его линейным подпространством.
Предложение 8.3.2. Если V конечномерное линейное пространство и f 2 L(V; V 0), то ядро и образ линейного оператора f являются конечномерными линейными пространствами.
Доказательство. В самом деле, так как V конечномерное линейное пространство, то и любое его подпространство, в частности Ker f, так же является конечномерным.
Перейдем к образу Im f. Пусть e1; e2; : : : ; en базис пространства V .
Тогда V = |
i=1 iei |
i 2 k . Тогда |
||
|
n |
|
|
|
|
P |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Im f = f(V ) = ( |
if(ei)) = L(ff(e1); : : : ; f(en)g): |
|||
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
=1 |
Но линейная оболочка, порожденная конечным числом векторов, является конечномерной и при этом
dim L(ff(e1); : : : ; f(en)g) = rang ff(e1); : : : ; f(en)g :
36 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве
Следовательно, Im f является конечномерным линейным пространством.
Определение 8.3.2. Если V конечномерное линейное пространство
è f 2 L(V; V 0), то рангом линейного оператора f r(f) называется раз-
мерность его образа, а дефектом линейного оператора f d(f) называется размерность его ядра.
Из этого определения видно, что r(f) = dim Im f, а d(f) = = dim Ker f.
Следствие. r(f) = r ff(e1); : : : ; f(en)g :
Следствие. Если f 2 L(V ), то ранг линейного оператора f равен рангу матрицы этого линейного оператора относительно любого базиса, то есть r(f) = r(Af ).
Доказательство. Действительно, по предыдущему следствию имеем r(f) = r ff(e1); : : : ; f(en)g. Рассмотрим стандартный изоморфизм : V ! kn относительно базиса e. Тогда (8 a 2 V ) (a) = aje. Ïðè èçî- морфизме ранг системы векторов не изменяется, поэтому
r ff(e1); : : : ; f(en)g = r f(e1)je; : : : ; f(en)je = r Afje :
ТЕОРЕМА 8.3.1 (о ранге и дефекте линейного оператора) . Если V конечномерное линейное пространство, dim V = n, f 2 L(V; V 0), то сумма ранга и дефекта линейного оператора f равна размерности пространства V , то есть r(f) + d(f) = n.
Доказательство. Введем обозначение d = d(f) = dim Ker f. Пусть e1; e2; : : : ; ed базис Ker f. Дополним этот базис до базиса пространства V , получим e1; e2; : : : ; ed; ed+1; : : : ; en базис V . По следствию к предложению 8.3.2 имеем
r(f) = r ff(e1); f(e2); : : : ; f(ed); f(ed+1); : : : ; f(en)g = r ff(ed+1); : : : ; f(en)g :
8.4. Обратимость линейного оператора |
37 |
Покажем, что векторы f(ed+1); : : : ; f(en) являются линейно независимы-
ми. Пусть
d+1f(ed+1) + : : : + nf(en) = 0;
f( d+1ed+1 + : : : + nen) = 0 ) d+1ed+1 + : : : + nen 2 Ker f:
Разложим этот элемент по базису Ker f. Имеем
d+1ed+1 + : : : + nen = 1e1 + : : : + ded;
1e1 : : : ded + d+1ed+1 + : : : + nen = 0:
Òàê êàê e1; e2; : : : ; en базис пространства V , то 1 = : : : = d = d+1 = = : : : = n = 0. Таким образом, векторы f(ed+1); : : : ; f(en) являются линейно независимыми. Тогда r(f) = r ff(ed+1); : : : ; f(en)g = n d )
) r(f) + d(f) = n d + d = n.
8.4Обратимость линейного оператора
Пусть V линейное пространство над полем k. Рассмотрим алгебру
L(V ). В этой алгебре есть единица, роль единицы выполняет тождественный оператор 1V . Напомним, что (8 a 2 V ) 1V (a) = a.
Определение 8.4.1. Линейный оператор f 2 L(V ) называется обра-
тимым, если он обратим как элемент мультипликативной полугруппы кольца L(V ), то есть (9 f 1 2 L(V )) ff 1 = f 1f = 1V .
ТЕОРЕМА 8.4.1 (критерий обратимости линейного оператора) . Для того, чтобы линейный оператор f 2 L(V ) был обратимым необходимо и достаточно, чтобы он как отображение был биективным. Другими словами, f обратим тогда и только тогда, когда f изоморфизм из V в V .
Доказательство. 1) Необходимость.
38 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
Пусть f 2 L(V ) является обратимым. По определению 8.4.1 (9 f 1 2 L(V )) ff 1 = f 1f = 1V . Надо показать, что f является биекцией. Пусть f(a) = f(b). Применим к этому равенству отображение f 1, ïîëó- ÷èì f 1(f(a)) = f 1(f(b)) ) (f 1f)(a) = (f 1f)(b) ) 1V (a) = 1V (b) )
) a = b.
Пусть b 2 V . Надо показать, что (9 a 2 V ) f(a) = b. Построим по данному вектору b вектор a = f 1(b). Тогда f(a) = f(f 1(b)) =
= (ff 1)(b) = 1V (b) = b, то есть f является биекцией. 2) Достаточность.
Пусть a 2 L(V ) и f является биекцией. Тогда (9 f 1 : V ! V )
ff 1 = ff 1 = 1V . Это отображение f 1 также является биекцией. Надо показать, что f 1 2 L(V ), òî åñòü f 1 удовлетворяет условиям линейности. Пусть a0; b0 2 V 0, тогда (9 a; b 2 V ) f(a) = a0; f(b) = b0. Отсюда
f 1(a0) = a; f 1(b0) = b. Возьмем произвольные ; 2 k, сосчитаем
f( a + b) = f(a) + f(b) = a0 + b0 )
) f 1( a0 + b0) = a + b = f 1(a0) + f 1(b0):
Отображение f 1 удовлетворяет условиям линейности, следовательно
f 1 2 L(V ).
8.5Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора
Пусть k основное поле и k[ ] кольцо многочленов от неизвестного .
Определение 8.5.1. -матрицей (многочленной матрицей) над полем k называется матрица, элементами которой являются элементы кольца k[ ], то есть многочлены от с коэффициентами из поля k.
-матрицы можно складывать, умножать, умножать на скаляры
8.5. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора |
39 |
по тем же правилам, что и скалярные матрицы. Пусть теперь A =
= ( ij); ij 2 k; i; j = 1; n. Такие матрицы будем называть скалярными.
Определение 8.5.2. Характеристической матрицей для квадратной скалярной матрицы A называется -матрица вида E A, то есть
0 11 |
12 |
: : : 1n |
|||||
E A = B |
: : :21 |
: : : 22 |
:: :: :: |
: : 2:n |
|||
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
n1 |
|
n2 |
: : : |
|
nn |
|
B |
|
|
|
|
|
||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
1
C
C
C:
C
C
A
Определение 8.5.3. Характеристическим многочленом для скалярной матрицы A называется определитель, порожденный характеристической
матрицей для матрицы A.
Характеристический многочлен матрицы A обозначается через
A( ) = j E Aj.
Определение 8.5.4. Следом квадратной скалярной матрицы A (T r(A))
называется сумма элементов ее главной диагонали. Нормой матрицы A
(N(A)) называется ее определитель.
Это определение означает, что
T r(A) = 11 + 22 + : : : + nn; N(A) = jAj:
ßñíî, ÷òî T r( A + B) = T r(A) + T r(B); N(AB) = N(A) N(B).
ТЕОРЕМА 8.5.1 (о строении характеристического многочлена) . Характеристический многочлен для скалярной матрицы A является нор-
мированным многочленом от степени n, имеющим следующий вид:
A( ) = n T r(A) n 1 + : : : + ( 1)nN(A).
40 |
|
Глава 8. |
Линейные операторы в линейном пространстве |
||||||||||
Доказательство. Имеем, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
11 |
12 |
: : : |
1n |
|
|||||||
A( ) = |
|
21 |
|
|
22 |
: : : |
|
2n |
|
= |
|||
|
: : : : : : |
|
|
: : : : : : |
: : : : : : |
|
|||||||
|
|
: : : : : : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
: : : |
|
|
nn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 11)( 22) : : : ( nn) + еще (n! 1) слагаемых:
 |
| |
|
(n! |
|
{z |
1) |
|
} |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
оставшихся |
|
|
слагаемых отсутствует по крайней мере два |
элемента главной диагонали. Поэтому оставшиеся слагаемые могут дать степень у не выше, чем n 2. Слагаемые с n è ñ n 1 получаются за
счет произведения ( ). В произведение ( ) n входит с коэффициентом 1. Коэффициент при n 1 равен 11 22 : : : nn = T r(A). Получаем
A( ) = n T r(A) n 1 + n 2 n 2 + : : : + 1 + 0, ãäå 0 = A(0) = = j0 E Aj = j Aj = ( 1)njAj = ( 1)nN(A).
Определение 8.5.5. Характеристическими корнями (числами) матрицы A называются все n корней ее характеристического многочлена, ле-
жащие, вообще говоря, в алгебраическом замыкании основного поля k.
Замечание 8.5.1. В самом основном поле k может вообще не быть харак-
теристических корней, или их может быть меньше, чем n.
Пример: k = R,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
1 |
1 !; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( ) = |
|
|
11 |
|
2 |
|
= 2 1 + 2 = 2 + 1: |
|
|
|||||
|
|
+ 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( ) = 0 |
|
|
2 |
|
|
= 0 |
|
1 |
|
i; 2 |
= i |
. Видно, что |
1; 2 |
= |
|
) |
|
+ 1 |
) |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2= R; 1; 2 2 R = C. В дальнейшем характеристические корни матрицы
A будем обозначать 1; 2; : : : ; n.