алгебра 2 семестр

92 Глава 11. Квадратичные формы

Определение 11.2.3. Линейное преобразование L неизвестных xi â неизвестные yi с матрицей A называется преобразование вида X = AY .

Определение 11.2.4. Произведением линейного преобразования L : x ! y на линейное преобразование M : y ! z, называется последова-

тельное выполнение сначала преобразования L, а затем преобразования

M.

Это определение означает, что (F )LM = (F L)M.

Предложение 11.2.1. Произведение линейных преобразование неизвестных является линейным преобразованием, матрица которого равна произведению матриц данных преобразований.

Доказательство. Пусть L : x ! y по формуле X = ALY , а M : y ! z по формуле Y = AM Z. Рассмотрим многочлен F (X) и подействуем на него преобразованием LM, получим

(F (X))LM = (F (X)L)M = (F (ALY ))M = F (AL(AM Z)) = F ((ALAM )Z):

Мы видим, что LM : x ! z по формуле X = ALAM Z, тогда по определению 11.2.3 LM является линейным преобразованием неизвестных x ! z

с матрицей ALM = ALAM .

Определение 11.2.5. Тождественным линейным преобразованием неизвестных называется линейное преобразование, матрица которой равна единичной матрице.

Тождественное преобразование будем обозначать через 1L. Èç îïðå-

деления A1L = E, òî åñòü 1L : x1 = y1; x2 = y2; : : : ; xn = yn.

Определение 11.2.6. Линейное преобразование неизвестных L назы-

вается невырожденным (неособенным) если его матрица AL является

неособенной, то есть jALj 6= 0.

С точностью до обозначения неизвестных, между множеством линейных преобразований fLg, рассмотренного вместе с операцией умножения, и множеством (M(n; k); ) можно установить изоморфизм f : L !

AL. Поэтому каждому понятию или свойству, относящемуся к матрицам, соответствует такое же понятие или свойство линейных преобразований. Ввиду этого, можно высказать ряд утверждений.

Утверждение 11.2.1. Умножение линейных преобразований ассоциативно.

Утверждение 11.2.2. Произведение нескольких линейных преобразований невырожденно тогда и только тогда, когда каждое из перемножаемых линейных преобразований является невырожденным.

Утверждение 11.2.3. Линейное преобразование L невырожденно то-

гда и только тогда, когда оно допускает обратное линейное преобразование L 1 такое, что LL 1 = L 1L = 1L.

Утверждение 11.2.4. Матрица обратного линейного преобразования равна обратной матрице для первоначального преобразования, то есть

AL 1 = AL1.

Утверждение 11.2.5. Невырожденные линейные преобразования образуют группу по умножению, изоморфную группе неособенных квадратных матриц.

11.3Квадратичная форма, ее матрица и ранг

Пусть k основное поле. Характеристика k 6= 2, k[x1; x2; : : : ; xn] кольцо многочленов от n неизвестных над полем k.

Определение 11.3.1. Квадратичной формой от n неизвестных x1; x2; : : : ; xn над полем k называется форма второй степени над по-

94 Глава 11. Квадратичные формы

лем k, то есть однородный многочлен второй степени от неизвестных

Придадим записи (11.2) так называемый стандартный вид, для этого обозначим

Формулы (11.3) показывают, что члены многочлена (11.2) примут вид:

nn

=1 j=1

Предложение 11.3.1. Всякую квадратичную форму вида (11.2) можно привести к виду (11.4) с помощью формул (11.3).

Определение 11.3.3. Запись квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn) â

виде (11.4) с условием, что ij = ji, 8i; j = 1; n называется стандартной

формой записи.

Определение 11.3.4. Матрицей квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn)

называется матрица, составленная из коэффициентов при произведениях неизвестных в ее стандартной форме записи.

11.4Влияние линейного преобразования на квадратичную форму

Пусть F квадратичная форма с матрицей A, то есть

Предложение 11.4.1. Квадратичную форму F с матрицей A можно записать в виде F = XT AX.

ТЕОРЕМА 11.4.1 (о влиянии линейного преобразования) . Пусть F квадратичная форма с матрицей A и L линейное преобразование неизвестных L : x ! y с матрицей Q, тогда

1. F L является квадратичной формой с матрицей QT AQ, òî åñòü

AF L = ATLAF AL;

2. D(F L) = D(F )jQj2;

= r(F ), то есть формы F L и F одновременно вырождены или не

вырождены.

Доказательство. 1. По предположению F = XT AX. Далее линейное преобразование L : x ! y происходит по формуле X = QY , тогда

F L = (QY )T AQY = (Y T QT )A(QY ) = Y T (QT AQ)Y;

òî åñòü F L = Y T BY , ãäå B = QT AQ. Покажем, что матрица B является симметрической

BT = (QT AQ)T = QT AT (QT )T = QT AQ = B:

Видно, что F L является квадратичной формой от неизвестных y1; y2; : : : ; yn с матрицей AF L = QT AQ.

2. Подсчитаем D(F L).

D(F L) = jAF Lj = jQT AQj = jQT j jAj jQj = D(F )jQj2:

3. Видно, что матрица AF L = QT AQ получается из матрицы A умножением слева и справа на не особенные матрицы. jQj 6= 0 так как L невырожденное преобразование. По теореме о ранге произведений матриц r(AF L) = r(A), òî åñòü r(F L) = r(F ).

11.5Приведение квадратичной формы к канониче- скому виду

Определение 11.5.1. Квадратичная форма F имеет канонический вид,

если матрица AF этой формы является диагональной, то есть

98 Глава 11. Квадратичные формы

Это означает, что

n

X

F = ix2i :

i=1

Причем среди чисел 1; 2; : : : ; n могут быть и нули.

Следствие. Ранг канонической квадратичной формы равен числу отлич- ных от нуля коэффициентов при квадратах неизвестных.

Доказательство. r(F ) = r(AF ) = количеству неравных нулю элементов

i.

Определение 11.5.2. Квадратичная форма F имеет нормальный вид, если матрица этой формы является единичной, то есть AF = E, òî åñòü

F = x21 + x22 + : : : + x2n.

Определение 11.5.3. Линейное преобразование L : x ! y приводит квадратичную форму F к каноническому виду, если квадратичная форма F L имеет канонический вид. В этом случае, если L является невырожденным линейным преобразованием, то F L называют каноническим видом формы F .

Замечание 11.5.1. Канонический вид квадратичной формы F определяется неоднозначно. Этот вид существенно зависит от применяемого невырожденного преобразования неизвестных.

ТЕОРЕМА 11.5.1 (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по n.

1) Пусть n = 1, тогда F = 11x21 она уже имеет канонический вид

1L : x = y.

2) Предположим, что теорема верна для квадратичных форм, зависящих от n 1 неизвестных. Докажем ее справедливость для квадратичных

форм, зависящих от n неизвестных.

nn

P P

Пусть F = ijxixj. Рассмотрим 2 случая.

i=1 j=1

a) Не все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю. Пусть для определенности nn 6= 0. Запишем выражение для формы

F , выделив в ней члены, содержащие xn, получим

Здесь F1(x1; x2; : : : ; xn 1) является квадратичной формой, зависящей от n 1 неизвестных. Рассмотрим линейное преобразование L1 : y ! x, осуществляемое по формулам yi = xi; 8i = 1; n 1; yn = 1nx1 + : : : + nnxn.

Это преобразование является невырожденным, так как jAL1 j = nn 6= 0, тогда существует обратное линейное преобразование L1 1 : x ! y òàê æå

являющееся невырожденным. Это преобразование L 1

1 переведет форму F к виду F L1 1 = F1(y1; y2; : : : ; yn 1) + nn1yn2, так как форма F1 çàâè- сит от n 1 неизвестных, то к ней можно применить предположение

индукции, а именно, существует M невырожденное линейное преобразование M : y ! z, которое переводит форму F1 в канонический

разование L2 : y ! z по формулам для n 1 переменной L2 = M, ïðè yn = zn. Это преобразование L2 является невырожденным, так как

ратичная форма F с помощью линейного преобразования L = L1 1L2 приводится к каноническому виду, при этом преобразование L является невырожденным, как произведение двух невырожденных линейных преобразований.

b) Все коэффициенты при квадратах неизвестных в форме F равны нулю. В этом случае не все коэффициенты при произведениях xixj

равны нулю, в противном случае F = 0, а это не есть квадратичная форма. Пусть 12 6= 0, значит форма имеет вид F = 2 12x1x2+ слага-

емые, каждый член которых содержит, по крайней мере, одно из неиз- вестных x3; x4; : : : ; xn. Рассмотрим линейное преобразование неизвестных L1 : x ! z по формулам x1 = z1 z2; x2 = z1 +z2; xi = zi; 8 i = 3; n. Это линейное преобразование невырожденное jAL1 j = 2 6= 0, F L1 = = 2 12z12 2 12z22+ слагаемые, каждый член которых содержит, по крайней мере одну из неизвестных z3; z4; : : : ; zn. Видно, что форма F L1, содержит отличные от нуля коэффициенты при двух переменных, и эти два первые члена не могут уничтожаться с последующими слагаемыми. Тогда мы находимся в условиях первого рассмотренного слу- чая. Следовательно, существует невырожденное линейное преобразова-

преобразования L = L1L2 переводится в канонический вид.

Следствие 11.5.1.1. Ранг квадратичной формы F равен количеству не равных нулю коэффициентов при квадратах неизвестных в любом ее