алгебра 2 семестр
.pdf11.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду |
101 |
каноническом виде.
Доказательство. Пусть r(F ) = r. Переведем форму F с помощью невырожденного линейного преобразования L в канонический вид, получим
F L = 1y12 + : : : + nyn2. По теореме 11.4.1 r(F L) = r(F ), поэтому
r(F ) = r(AF L) = r. Последнее равенство равносильно тому, что среди элементов 1; 2; : : : ; n ровно r штук отличных от нуля.
Следствие 11.5.1.2. Любую квадратичную форму F ранга r над полем комплексных чисел C с помощью невырожденных линейных преобразований можно привести к сумме r квадратов.
Доказательство. Квадратичную форму F ранга r по следствию 11.5.1.1
с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к виду F L1 = 1y12 + : : : + ryr2, ãäå âñå i 6= 0. Так как в поле комплексных чисел C можно извлечь корень из любого числа, то рассмотрим преобразование
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L2 : y1 = |
p |
|
1 |
z1; : : : ; yr = |
p |
|
r |
zr |
; yi = zi; 8 i = r + 1; n: |
||||||
|
|
||||||||||||||
Это преобразование является невырожденным, потому что |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
jAL2 j = |
p |
|
: |
||||||||
|
|
|
|
1 2 : : : r |
|||||||||||
Это преобразование L2 приведет форму F L1 ê âèäó |
|||||||||||||||
|
|
|
(F L1)L2 = z2 |
+ z2 |
+ : : : + z2: |
||||||||||
1 |
2 |
|
r |
Форма F с помощью линейного преобразования L = L1L2 переводится к сумме r квадратов.
102 |
Глава 11. Квадратичные формы |
11.6Действительные квадратичные формы
Основное поле k в этом параграфе это поле действительных чисел R. Рассмотрим квадратичные формы
nn
Xi |
X |
F = |
ijxixj |
=1 j=1
с коэффициентами ij 2 R. Линейное преобразование неизвестных также будем рассматривать с действительными коэффициентами.
Квадратичная форма F ранга r с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к каноническому виду
F L = 1y12 + 2y22 + : : : + ryr2;
ãäå i 6= 0. Пусть p число положительных коэффициентов, а q число отрицательных коэффициентов. Ясно, что p + q = r. Квадратичная форма F различными линейными невырожденными действительными преобразованиями приводится к различным каноническим видам. Возникает вопрос ¾Что общего у этих канонических видов?¿.
ТЕОРЕМА 11.6.1 (Закон инерции действительных квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах неизвестных в каноническом виде, к которому приводится действительная квадратичная форма F с помощью невырожденного действительного преобразования неизвестных, не зависит от выбора линейного преобразования.
Доказательство. Допустим противное, то есть квадратичная форма F
с помощью двух линейных действительных преобразований L и M приводится к каноническим видам с различным числом положительных коэффициентов. Допустим, что квадратичная форма F ранга r с помощью преобразования L : x ! y и с помощью M : x ! z приводится к виду
F L = 1y12 + 2y22 + : : : + pyp2 p+1yp2+1 : : : ryr2; |
(11.5) |
11.6. Действительные квадратичные формы |
103 |
F M = 1z12 + 2z22 + : : : + p0zp20 p0+1zp20+1 : : : rzr2; |
(11.6) |
ãäå 1; : : : ; r; 1; : : : ; r > 0.
Предположим для определенности, что p < p0. Так как преобразова- ние L : x ! y является невырожденным, то невырожденным будет и преобразование L 1 : y ! x. Заметим, что
y1 = 11x1 + : : : + 1nxn |
|
L 1 : : : : |
: |
yn = n1x1 + : : : + nnxn |
|
Точно так же и M. Так как M : x ! z является невырожденным преобразованием, то M 1
z1 = 11x1 + : : : + 1nxn |
|
M 1 : : : : |
: |
zn = n1x1 + : : : + nnxn
Теперь рассмотрим однородную систему линейных уравнений с n- неизвестными x1; : : : ; xn следующего вида:
8 |
: :11: x1 + : : : + 1nxn = 0 |
|
|||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
p1x1 |
+ : : : + pnxn = 0 |
(11.7) |
||
> |
|
|
|
: |
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
p |
+1;1x1 + : : : + p |
+1;nxn = 0 |
|
|
> |
|
||||
> |
0 |
|
0 |
|
|
< |
|
|
|
|
|
> |
: : : |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> n1x1 + : : : + nnxn = 0 |
|
>
>
>
>
>
>
:
Число уравнений в системе (11.7) равно p+(n p0) = n (p0 p) < n. Òàê
как в однородной системе (11.7) число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевое действительное решение x(0)1 ; : : : ; x(0)n .
Подставим в формулы (11.5), (11.6) вместо y и z их выражения через x1; : : : ; xn и затем, полагая x1 = x(0)1 ; : : : ; xn = x(0)n
n |
|
|
n |
y(0) = |
ijx(0); |
z(0) = |
ijx(0): |
X |
j |
i |
Xj |
i |
j |
||
j=1 |
|
|
=1 |
104 |
|
|
|
Глава 11. Квадратичные формы |
|||
Заметим что в силу системы (11.7) |
|
|
|
|
|
|
|
y1(0) = : : : = yp(0) = 0 è |
zp(0)0+1 = : : : = zn(0) = 0: |
|
|||||
В результате равенства (11.5) и (11.6) |
примут вид: |
|
|
|
|||
F (x1(0); : : : ; xn(0)) = p+1yp(0)+1 |
2 |
: : : ryr(0)2; |
(11.8) |
||||
F (x1(0); : : : ; xn(0)) = 1z1(0)2 |
+ : : : + p0zp(0)0 |
2 |
: |
(11.9) |
Так как все коэффициенты системы (11.7) действительны, то квадраты
чисел, входящих в (11.8) и (11.9) неотрицательны. Из (11.8) видно, что F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) 6 0, à èç (11.9), ÷òî F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) > 0. Это означает, что F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) = 0. Подставим полученный результат в равенство (11.9), получаем, что z1(0) = : : : = zp(0) = 0.
Объединяя последние равенства получим z1(0) = : : : = zn(0) = 0. Эти равенства указывают на то, что система линейных уравнений
8
> 11x1 + : : : + 1nxn = 0
>
<
: : :
>
>
: n1x1 + : : : + nnxn = 0
имеет не нулевое решение x1 = x(0)1 ; : : : ; xn = x(0)n . Но эта система со- держит n линейных уравнений с n неизвестными. Тогда из критерия наличия не нулевого решения однородно системы линейных уравнений определитель этой системы должен быть равен нулю, то есть определитель этой системы jAM 1 j = 0. А это протеворечит тому, что M является невырожденным линейным преоброзованием.
Аналогично, если предположить, что p > p0 мы получаем противоре- чие с невырожденным преобразованием L 1.
Определение 11.6.1. Положительным (отрицательным) индексом инерции действительной квадратичной формы называется число положительных (отрицательным) коэффициентов при квадратах неизвестных в любом каноническом виде этой квадратичной формы.
11.6. Действительные квадратичные формы |
105 |
Мы уже отмечали, что p + q = r, где p положительный индекс, q отрицательный индекс. Обозначим S = p q. Ясно, что при заданном ранге r, задание одного из чисел p, q или S вполне определяет два других числа.
Определение 11.6.2. Линейное преобразование неизвестных L называется ортогональным, если его матрица ортогональна, то есть
AL 1 = ALT :
Предложение 11.6.1. Линейное преобразование неизвестных L ортогонально тогда и только тогда, когда оно нормальную квадратичную форму переводит в нормальную квадратичную форму.
Доказательство. 1) Пусть форма F имеет нормальный вид и L ор-
тогональное линейное преобразование AF = E. Рассмотрим F L. Имеем, что матрица этой формы AF L = ATLAF AL = AL 1EAL = AL 1AL = E, следовательно форма F L имеет нормальный вид.
2) Пусть F и F L имеют нормальный вид. Это означает что AF =
= AF L = E. С другой стороны AF L = ATLAF AL ) ATLEAL = E ) ) ATLAL = E ) AL 1 = ATL, òî åñòü L является ортогональным преобразованием.
ТЕОРЕМА 11.6.2 (о приведении к главным осям). Любую действительную квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду, при этом коэффициентами при квадратах неизвестных необходимо будут являться характеристические корни матрицы этой квадратичной формы.
Доказательство. Пусть F квадратичная форма от x1; : : : ; xn ñ ìàò-
рицей A. Известно, что матрица A является симметрической. По теоре-
106 |
|
|
Глава 11. Квадратичные формы |
||
ме 10.7.2 существует ортогональная матрица Q такая, что |
|||||
Q 1AQ = |
0 |
: :1: : |
0: : :: :: :: :0: : |
1 |
; |
|
B |
|
|
C |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
0 : : : n |
A |
|
|
|
|
|
ãäå 1; : : : ; n характеристические корни матрицы A.
Пользуясь этим фактом, к форме F применим преобразование
L : x ! y с матрицей Q, то есть X = QY . Тогда матрица формы примет вид
AF L = QT AQ = Q 1AQ = |
0 |
: :1: :0: : :: :: :: |
:0: : |
1 |
: |
|
B |
0 0 : : : |
n |
C |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
A |
|
Таким образом форма F L примет вид F L = 1y12 + : : : + nyn2. Видно, что форма F с помощью ортогонального преобразования L приведена к каноническому виду, где коэффициенты при квадратах неизвестных являются характеристическими корнями матрицы A.
Определение 11.6.3. Приведение действительной квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования неизвестных называется приведение этой формы к главным осям.
Следствие 11.6.2.1. Положительный (отрицательный) индекс инерции действительной квадратичной формы равен числу положительных (отрицательных) характеристических корней матрицы этой формы. Ранг равен сумме положительных и отрицательных характеристических корней матрицы.
Доказательство. По теореме 11.6.1 число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования неизвестных. С другой стороны по теореме 11.6.2 число положительных и отрицательных коэффициентов совпадают с числом
11.6. Действительные квадратичные формы |
107 |
положительных и отрицательных характеристических корней матрицы этой формы.
Предложение 11.6.2. Любую действительную квадратичную форму F ранга r с положительным индексом p, можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к виду
F L = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2:
Доказательство. Применим к форме F ортогональное линейное преобразование L1 : x ! z. Получим
F L1 = 1z12 + : : : + pzp2 p+1zp2+1 : : : rzr2:
Применим теперь преобразование L2 : z ! y:
z1 = p1 1 y1
: : :
zr = p1 r yr
zi = yi 8i = r + 1; n:
Преобразование L2 является невырожденным. После этого преобразования форма F L примет вид: (F L1)L2 = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2. Преобразование L = L1L2 является невырожденным.
Определение 11.6.4. Две квадратичные формы от n неизвестных называются эквивалентными над полем k, если они переходят друг в друга с помощью невырожденного линейного преобразования с коэффициентами из поля k.
Предложение 11.6.3. Две действительные квадратичные формы от n неизвестных являются эквивалентными над полем R тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы инерции (ранги и сигнатуры).
108 |
Глава 11. Квадратичные формы |
Доказательство. 1) Пусть квадратичные формы F и G эквивалентны |
|
над полем R, тогда F = GL, где L невырожденное линейное преобра- |
|
зование с коэффициентами из R. Приведем эти формы к каноническому |
âèäó F L1 è GL2. Эти канонические виды должны совпадать. Допустим противное, то есть F L1 è GL2 имеют различный канонический вид, тогда форма G будет иметь два канонических вида: с одной стороны GL2, à ñ другой (GL)L1, которые различны. А это противоречит теореме 11.6.1, следовательно F L1 è GL2 имеют одинаковый канонический вид и индексы инерции форм F и G совпадают.
2) Пусть F и G имеют одинаковые индексы инерции. Это означает, что по предложению 11.6.2 существуют такие линейные преобразования L1 è L2, что формы принимают вид:
F L1 = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2 = GL2: |
|
|
Таким образом, из того, что F L1 = GL2 следует, что (F L1)L2 |
1 = |
|
= F (L1L2 1) = G, òî åñòü F L = G, ãäå L = L1L2 |
1 невырожденное ли- |
нейное преобразование. Следовательно формы F и G эквивалентны.
11.7Классификация типов квадратичных форм
Пусть |
n |
n |
|
||
|
Xi |
X |
|
F = |
ijxixj |
=1 j=1
действительная квадратичная форма с матрицей A. В этом пункте будем рассматривать форму F как действительную функцию от n действительных переменных. Как известно форма
F = XT AX = XT AT X = (AX)T X = hAX; Xi :
Заметим, что hAX; Xi всегда является действительным числом, даже если AF эрмитова матрица и x 2 Cn. Квадратичную форму F можно
11.7. Классификация типов квадратичных форм |
109 |
рассматривать, как функцию от X, которая принимает вид:
F (X) = hAX; Xi :
Определение 11.7.1 (классификация типов). Действительная квадратичная форма F называется:
1. |
положительно определенной, если: 8 X 6= 0; |
F (X) > 0; |
2. |
отрицательно определенной, если: 8 X 6= 0; |
F (X) < 0; |
3. |
положительно полуопределенной, если: |
|
|
8 X; F (X) > 0; è 9 X 6= 0; F (X) = 0; |
|
4. |
отрицательно полуопределенной, если: |
|
|
8 X; F (X) 6 0; è 9 X 6= 0; F (X) = 0; |
|
5. |
неопределенной, если: 9 X 6= 0; Y 6= 0; F (X) > 0; F (Y ) < 0. |
Предложение 11.7.1. Невырожденное линейное преобразование неизвестных не меняют классификационного типа квадратичной формы.
Доказательство. Пусть L : x ! y невырожденное линейное преобразо-
вание с матрицей Q, то есть X = QY . Тогда F L(Y ) = F (QY ), видно,
что функции F и F L имеют одно и тоже множество значений, причем
одновременно столбцы Y и X = QY либо нулевые, либо ненулевые.
Следствие. Действительные квадратичные формы можно классифицировать по их каноническому виду.
ТЕОРЕМА 11.7.1 (о характеристиках классификационных типов) .
Следующие группы утверждений равносильны:
1.(a) Квадратичная форма F является положительно определенной;
110 |
Глава 11. Квадратичные формы |
(b)Квадратичная форма F является невырожденной и q = 0;
(c)p = n;
(d)Все характеристические корни матрицы AF являются поло- жительными.
2.(a) Квадратичная форма F является отрицательно определенной;
(b)Квадратичная форма F является невырожденной и p = 0;
(c)q = n;
(d)Все характеристические корни матрицы AF являются отри- цательными.
3.(a) Квадратичная форма F является положительно полуопределенной;
(b)Квадратичная форма F является вырожденной и q = 0;
(c)p < n, q = 0;
(d)Характеристические корни матрицы AF > 0 и есть характеристические корни равные нулю.
4.(a) Квадратичная форма F является отрицательно полуопределенной;
(b)Квадратичная форма F является вырожденной и p = 0;
(c)q < n, p = 0;
(d)Характеристические корни матрицы AF 6 0 и есть характеристические корни равные нулю.
5.(a) Квадратичная форма F является неопределенной;
(b)p 6= 0, q 6= 0;
(c)Существуют как положительные так и отрицательные характеристические корни матрицы AF .