ТФКП - методичка

2. ∫

z3

dz

(D :

z −1

<1.5)

2. ∫

z cos

z

dz (D :

z

> 2)

z +1

4 −1

∂D z

∂D

∞ xsin 2x

+∞

(x3 + 5x)sin x dx

3. a) 0∫

dx;

3. a)

−∞∫

x4 + 4x2 +8

;

x2 + 4

1

dx

1

dx

б) ∫

б)

∫

(a

2

+1)

2

(4 + x) 1 − x2

1 − x

-1

-1

Контрольная работа 3

Вариант 1

1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:

1) D ={z : x > 0, y > 0}, w =

z-i

;

z + i

1

1

2) D ={z :

z

> 3/ 2, x > 0, y > 0}, w =

2

z +

z

;

3) D ={z :

< π/ 2}, w = ez ;

Im z

4) D ={z :

z

< 9, Re z < 0}, w = z, w(-1)= i (ϕ0 = 0);

5) D ={z :

z

[0;∞)}, w = ln z;

z

01

= −1 − 3i

, w =10πi ,

z

02

= i,

w = 5πi .

2

01

3

02

2

D

0

•

•

h Re z

1) D ={z : 0 < Re z <1}, w =

z −1

;

z + 2

1

1

2) D ={z :

z

<1/ 2, 0 < arg z < π/4},

w =

z +

;

2

z

3) D ={z : z [0;+∞)}, w = ln z,

71

z

01

=1, w

= 4πi; z

02

= −i, w

=

3πi

;

01

02

2

4) D ={z :1 < Re z < 2}, w = z2 +1;

5) D =

z :

x2

+

y2

<1, y > 0 , a >1, w(+ i0)= i, w = z + z2

−1 .

a2

a2 −1

1)

D ={z : 0 < arg z < π/ 4 }, w =

z

;

z-1

1

1

2)

D ={z :

z

<1, π/4 < arg z < π/ 2 },

w =

z +

;

2

z

3)

D ={z : −π/ 2 < Re z < π/ 2, 0 < Im z < 2 }, w = sin z ;

4)

D ={z :

z

<1, z [0;1]}, w = ln z, w(−1 + 0)= −πi ;

5)

D ={z :

z

= 2, 0 < arg z < π/8 },

w = z3 −1.

1) D ={z :

z +1

< 2, Re z > 0}, w =

z −1

;

z + 3

2)

1

<

z

1

w =

1

1

D = z :

<1, z

;1 ,

z +

;

4

4

2

z

3)

z

>

1

,0

< argz

<

р

w =

1

;

D = z :

4

4

,

z

72

4) D = z :

x2

+

y2

<1, z [−1;1] , a >1,

a2

a2 −1

w(+i0) = −i , w = z + z2 −1 ;

5) D ={z : Im z > 0}, w = 3 z, z

0

= i, w = −

3

+

i

.

0

2

2

− sh 2y

1 + i

2. Доказать: Im ctg z =

. Вычислить: arccos(−3)

; ln

.

ch 2y − cos 2x

1 −i

Вариант 5

1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:

1) D ={z : 0 < Re z <1}, w =

z-1

;

z-2

2) D ={z : 0 < Im z < π}, w = ch z ;

3) D ={z :

z

< 9, x < y}, w = z2 ;

4) D = z :

z

>1, 3π < arg z < 5π , w = z, w(−1)= i ;

4

4

(z)

y

•2i

•

•D •2

x

•

Вариант 6

1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:

1) D ={z :

z

> 2, π/4 < arg z < 3π/ 4},

w =

1

1

z +

;

2

z

3) D ={z : 0 < Re z <1}, w =

z −1

;

z

73

i

1 + i

4) D ={z :

z

<1, Im z > 0}, w = z, w

=

;

2

2

5) D ={z : 2 <

z

< 4, z [− 4;−2]}, w = ln z, w(1)= −2πi .

y

2. Доказать:

D

arcsin z = −ilni (z + z2 −1).

•

•1

2•

x

Найти все значения функций:

i •

arcctg 2i; ln(cosϕ + isin ϕ), (-π < ϕ≤ π).

-2i•

f

=?

3. D →G ={w : Im w > 0}.

Вариант 7

1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:

3

1

1)

D = z :

z

< 2, π < arg z <

π ,

w =

;

2

z − 2

2)

D = {z :Im z > 0}, w(+ i∞)= 0 ,

w = z +

z2 −1 ;

π

2

i

1

1

3)

D = z

:

z

<1,

< arg z <

π, z 0;

,

w =

z +

;

3

3

2

2

z

1

1

4)

D = z :−

< Re z <

, Im z > 0 ,

2

2

w = sin πz ;

5) D = {z :a1 < Im z < a2 , a2 − a1 < 2π},

y

(z)

w = ez .

D

2. Доказать:

0 1

2

Re tg z =

sin 2x

;

cos 2x + ch 2 y

-i

x

Решить уравнение:

-2i

sin z = i .

1) D ={z :

z

>1, z [− i,− 2i]},

w =

1

1

z +

;

2

z

2)

< Re z <

π

, −

π

, w = sin z ;

D = z :0

2

2

< Im z < 0

74

1) D ={z :

z − i

> 2, Im z < 0}, w

1

;

z

D ={z : − 2 < Im z < −1},

2)

w = z2 ;

3)

D ={z :

z

> 2, z [2,+ ∞)},

w =

1

1

2

z +

z

;

4)

π

,

w = 3

z ;

D = z :Arg ≠

4

5)

−1 < Re z <

0,

π

< Im z <

π

, w = ez .

D = z :

3

2

2. Вычислить: ii ; Ln1; Arcctg 2i . Решить уравнение: Ln(z + i)=1.

3. D ={z :

< 2}

f

=?

z − i

→ G ={w : Re w > 2}, w(−i)= 2, w(0)= 3.

Вариант 12

1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:

1) D ={z : Im z = 2Re z}, w =

z − 3

;

z + 3

π

2

1

1

2)

< arg z <

,

w =

D = z :

3

3

π, z [0; i]

z +

;

2

z

3)

π

,

w

= cos z ;

D = z : 0 < Re z < π, 0 < Im z <

2

4)

D = {z : (Im z)2 > 2Re z +1},

w = z ,

w(−1)= −i ;

5)

z

<1,

π

< arg z <

3

,

w =

1

+

1

D = z :

8

8

π

2

z

z

.

2. Вычислить: Arcth(1 + 2i), Ln

1(1 + i) . Решить уравнение: ln(i − z)= 0 .

i