ТФКП - методичка
.pdfГлава 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной
Пусть f (ξ) – непрерывная функция в области D комплексной плоскости; L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D с началом в точке z0 и концом в точке z .
Разобьем кривую L произвольным образом на n элементарных час-
тей γ0 , γ1,..., γn−1 |
точками z0 , z1,..., zn |
= z . Составим сумму |
n∑−1 f (ξk ) zk , где |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
ξk γk , |
zk = zk+1 − zk , |
|
k = 0,1,..., n −1. Пусть lk , k = 0,1,..., n −1 – длина ду- |
|||||||||||||||
ги кривой γk , a λ = max{lk }. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k |
|
lim n∑−1 f (ξk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
zk = ∫ f (ξ)dξ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
λ→0 k=0 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||
называется интегралом от функции |
f (ξ) по кривой L . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если кривая L задается уравнением z = z(t), t [α,β], то вычисление |
||||||||||||||||||
интеграла от функции |
f (z) по кривой L (в порядке возрастания парамет- |
|||||||||||||||||
ра t ) сводится к вычислению определенного интеграла по формуле |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ f (z)dz = β∫ f (z(t))z'(t)dt . |
|
(14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
α |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если f (z)=u(x, y) + iv(x, y), то интеграл (19) сводится к вычислению |
||||||||||||||||||
криволинейных интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ f (z)dz = ∫u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫v(x, y)dx + u(x, y)dy . |
(15) |
||||||||||||||||
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
||
26. |
Вычислить |
|
∫ |
|
|
|
z |
|
z dz , где |
L – часть окружности |
|
|
z |
|
=1, |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 ≤ arg(z)≤ π, выбрав за начало L точку z =1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Запишем уравнение кривой L в виде |
z = eit , |
0 ≤t ≤ π. |
||||||||||||||||
Тогда z = e−it , dz = ieit dt . Используя формулу (14), имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
z |
|
z dz = ∫e−itieit dt = i∫dt = πi . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
L |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
27. Вычислить ∫(z2 + zz )dz , где L – дуга параболы |
y = x2 , |
0 ≤ x ≤1, |
L
z = 0 – начало кривой.
Решение. Выпишем действительную и мнимую части подинтегральной функции:
31
z2 + zz = (x + iy)2 + (x + iy)(x − iy)= 2x2 + i2xy u = 2x2 ,v = 2xy.
Воспользовавшись формулой (15), имеем (y = x2 , dy = 2xdx)
ках 1,
-1
C
∫(z2 + zz )dz = ∫2x2dx − 2xydy + i∫2xydx + 2x2dy =
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 21∫ |
|
(x2 − 2x4 )dx + 6i1∫x3dx = − |
2 |
+ |
3i . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
15 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. Вычислить ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, где L |
– квадрат с вершинами в точ- |
||||||||||||||||||||
|
|
Im(z) |
|
+ |
|
Re(z) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
i , |
−1, −i |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(рис. 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Решение. Поскольку на сторонах квадрата ABCD выполняется ра- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венство |Re(z)|+|Im(z)|=|x|+|y|=1, получаем |
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dz |
= ∫dz . |
||||||
|
|
i |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im(z) |
|
+ |
|
Re(z) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Подсчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y=1-x, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
x 0≤x≤1, dy = – dx, Dz = dx + idy = (1– i)dx, откуда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-i |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫dz = ∫(1 − x)dx = −1 + i . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
1 |
|
|
|
||
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∫dz = −1 − i , |
∫dz =1 − i , ∫dz =1 + i . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
BC |
|
|
CD |
|
|
|
DA |
|||||
Окончательно, |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Im(z) |
|
+ |
|
Re(z) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Интегральная теорема Коши
ТЕОРЕМА (Интегральная теорема Коши). Если функция f (z) – ана-
литическая в односвязной области D, то интеграл от нее по произвольному замкнутому жордановому кусочно-гладкому контуру L, целиком лежащему в области D, равен нулю:
∫ f (z) d z = 0. |
(16) |
L
Из этой теоремы вытекает: а) если f (z) аналитична в области D, то
интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если γ1 D и γ2 D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то
∫ f (z) dz = ∫ f (z) dz ;
b) если функции f (z) |
γ1 |
γ2 |
и g(z) |
вместе со своими производными пер- |
|
|
|
32 |
вого порядка аналитические в односвязной области D, то справедлива формула
z |
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ f (ξ) g′(ξ) d ξ = f (ξ) g (ξ) |
|
|
− ∫ f ′(ξ) g (ξ) d ξ; z 0 , z D ; |
||||||||||||||||||||
z 0 |
|
|
|
|
|
z 0 |
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29. Определить, когда для интеграла ∫ |
|
dz |
можно применить ин- |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
тегральную теорему Коши, если L: |
L z |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a) | z | = |
1 |
; b) | z - |
1 |
| = |
1 |
; c) | z - 1| = 4; d) | z | = 3. |
|||||||||||||||||
2 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
Решение. |
Подинтегральная функция |
f |
(z)= |
|
|
имеет осо- |
|||||||||||||||||
z2 |
− |
4 |
|||||||||||||||||||||
бенности в точках z = ± 2,∞. Следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a) круг |
|
z |
|
≤ |
1 |
полностью входит в область аналитичности f (z) и |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) имеет место;
b) рассуждая аналогично п. а), имеем (16);
c) в круге с центром z = 1 и радиуса 4 функция f (z) имеет особенно-
сти и не является аналитической, следовательно, теорема Коши не применима;
d) рассуждая аналогично п. с), получаем, что теорема Коши также не применима.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
π |
||
30. Доказать, что ∫e − x 2 |
cos( 2b x) dx = |
|||||||||
2 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Функция f (z)= e − z 2 |
|
|
|
|||||||
– аналитична на всей комплексной |
|
|
|
|||||||
плоскости. |
Проинтегрируем |
f (z) |
по |
|
|
|
||||
контуру |
прямоугольника |
|
x |
|
≤ R , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
0 ≤ y ≤ b (рис. 10). Из (16) следует, что |
|
|
||||||||
-R |
||||||||||
∫e − z 2 dz = 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e −b 2 .
y
|
|
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
R |
x |
|||||
Рис. 10 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
b |
−R |
|
0 |
0 = ∫e −z 2 dz = ∫e −x 2 dx + ∫e− (R +i y) 2 idy + ∫ e− |
(x +i b) 2 dx + ∫e− (−R+iy)2 idy = |
||||
γ |
R |
0 |
R |
|
b |
|
−R |
b |
−R |
|
|
|
= ∫ e −x 2 dx +i ∫e −R 2 |
+ y 2 e −2i R ydy + ∫ e −x 2 |
+b 2 e −2bi xdx + |
||
|
R |
0 |
R |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
0
+ i ∫e −R 2 + y 2 e2R i ydy .
b
Если объединить второй и четвертый интегралы, разбить третий интеграл на два и воспользоваться формулами Эйлера
|
sin (x) = |
|
e i x − e −i x |
|
, cos (x) = |
e i x+ e |
−i x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
||||||
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то полученную сумму интегралов можно будет записать в виде |
|||||||||||||||||
R |
b |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫e−x 2 dx + i ∫e −R 2 + y 2 |
sin (2Ry) dy + ∫e |
− x 2 +b 2 |
e−2bi xdx + |
||||||||||||||
− R |
0 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
+i ∫ e − x 2 |
+b 2 e−2bi xdx = ∫e − x 2 dx + i ∫e − R 2 |
+ y 2 sin (2R y) dy − |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
− R |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 2 ∫ e − x 2 +b 2 |
cos( 2b x) dx = 0. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При R→ ∞ lim |
|
∫e − R 2 + y 2 |
sin(2Ry) dy = 0 . |
|
|
|
|||||||||||
|
R →∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∫ e −x 2 dx = 2 ∫e −x 2 +b 2 cos(2b x) dx = 2e b 2 |
∫e −x 2 cos(2b x) dx. |
||||||||||||||||
− ∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зная, что |
∫e −x |
π (интеграл |
|
Эйлера – Пуассона), оконча- |
|||||||||||||
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно имеем |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
− x 2 |
cos( 2b x) dx = |
|
|
π |
e |
−b |
2 |
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Интегральная формула Коши
Пусть функция f (z) аналитическая в ограниченной замкнутой одно-
связной области D с кусочно-гладкой жордановой границей L. Тогда для любой точки z0 D справедлива формула
f (z0 ) = |
|
1 |
|
f (z) d z |
. |
(17) |
2 |
πi L∫ |
|
||||
|
z − z0 |
|
Формула (17) называется интегральной формулой Коши. Для производной n-го порядка справедливо обобщение (17):
f ( n ) (z0 ) = |
n! |
|
f (z) |
dz . |
(18) |
|
2πi L∫ |
(z − z0 ) n +1 |
|||||
|
|
|
||||
|
34 |
|
|
|
Примеры
31. Вычислить ∫ |
|
|
|
|
|
|
zez |
dz , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (z |
|
|
+1)(z −1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) L={z, |
|
z −1 |
|
=1}; |
|
|
b) L={z, |
|
|
|
z |
|
= |
}; |
|
|
|
c) L={z, |
|
z −1+i |
|
= |
2 }. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: а) перепишем интеграл в виде |
|
|
z e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dz = |
∫ |
|
|
|
|
( z |
2 +1) |
|
|
dz |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=1 ( z 2 |
+1) ( z −1) |
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=1 |
( z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция |
|
f (z)= |
|
|
z e z |
|
|
– |
аналитическая |
|
в области |
|
z −1 |
|
<1, |
а |
точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( z 2 +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 =1 { |
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
<1} , тогда из (25) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
z e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 = πei ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=1 ( z 2 +1)( z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b) |
|
в области | z | = |
|
1 |
подынтегральная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
( z |
2 +1)( z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1) |
||||||||||||
аналитическая, поэтому из интегральной теоремы Коши (16) имеем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
z e z |
|
dz = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
( z 2 +1)( z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) в области | z – 1 – i | < 2 лежат две точки, в которых знаменатель обращается в ноль: z1 =1, z2 = i , поэтому воспользоваться непосредственно
формулой (17) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
= − |
z −1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
( z 2 +1)( z −1) |
2 ( z 2 +1) |
2 ( z −1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда, применяя (25) к каждому из интегралов, имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
z e z |
|
|
|
|
dz = − |
1 |
∫ |
( z −1)e z |
dz + |
1 |
∫ |
|
e z |
|
dz = |
||||||||||||||
( z 2 +1)( z |
|
|
|
|
|
z 2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
L |
−1) |
|
|
|
|
|
2 |
L |
|
|
|
|
|
2 |
L ( z − |
1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( z − i )e z |
|
|
1 |
|
|
e |
z |
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
z + i |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= − |
|
|
|
|
dz + |
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
L |
|
|
|
z − i |
|
2 |
L z − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( z −1)e z |
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||||
|
= −πi |
|
|
|
+ πi e z |
|
= |
(1 − i )e i+πei . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z + i |
|
|
|
z =i |
|
|
z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
d ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
32. Доказать, что ∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
( a >1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a + cos ( ϕ) |
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
||||
Решение. Заменой z = eiϕ сведем интеграл ∫ |
|
|
к инте- |
||||||||||||||||||||||||||
|
a + cos(ϕ) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
d z |
|
|||||||
гралу по контуру от функции комплексной переменной. Так как d ϕ = |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
i z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
воспользовавшись формулой cos(ϕ) = |
|
1 |
(e t ϕ + e−t ϕ) = |
1 |
( z + |
|
1 |
) , имеем |
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
2π |
dϕ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 a + cos(ϕ) |
|
i |
|
|
z |
|
=1 z 2 + 2a z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Разложим знаменатель на множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( z 2 + 2a z +1) = ( z + a + a 2 −1)( z + a − a 2 −1) = ( z − z ) ( z − z |
2 |
) . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Точка z2 = −a + a2 −1 { z <1}, точка z1 = −a − a2 −1 { z >1}, таким образом, функция (z + a + a 2 −1)−1 – аналитическая в { z <1}, и из формулы (17) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z∫ |
|
|
|
|
|
dz |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
=1 |
|
z 2 + 2a z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
2 |
|
∫ |
|
z + a + a 2 −1 |
|
dz = |
|
2 |
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
= |
2π |
. |
|||||||||
i |
|
|
z + a − a 2 −1 |
|
i z + a + a 2 −1 |
|
|
|
a 2 |
−1 |
||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
z =−a + |
a |
2 |
−1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
33. Вычислить |
∫ |
z sin (z) |
dz . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
=3 |
|
(z − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользовавшись (17), имеем
|
|
|
z sin (z) |
|
2π i |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
2! (z sin ( z ) ) |
|
= π i ( 2 cos ( z ) |
||
∫ (z − 2) 3 |
|
z =2 |
||||||||
|
|
|||||||||
z |
|
=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi (cos( 2) = sin ( 2)) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
34. Вычислить |
∫sin 6 (x) dx . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− z sin ( z ) ) |
= |
z =2
36
|
Решение. Сделав замену z = e i x и используя формулу |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin(x)= |
1 |
( z − |
1 ) , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
6 (x) dx = − |
1 |
|
∫ ( z |
2 |
− |
1) |
6 |
|
|
|
2π |
[( z 2 −1) 6 ]( 6 ) |
|
5π . |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫sin |
|
|
|
dz |
= − |
|
= |
|||||||||||
64i |
z 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
64 6! |
|
z =0 |
8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
5.1. Понятие степенного ряда
Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд
вида
∞
∑ c n ( z − z 0 ) n , (18)
n =0
где z0 , cn C, n = 0,1,2,... – фиксированные числа.
Определение 10. Радиусом сходимости степенного ряда называется число R, 0 < R < + ∞, обладающее тем свойством, что при любом z, для
которого z − z 0 < R , этот ряд сходится, а при любом z, для которого z − z 0 > R , ряд расходится. Круг {z, z − z 0 < R }, где R – радиус сходи-
мости степенного ряда, называется его кругом сходимости. Если ряд сходится только при z = z0 , то по определению полагают R = 0, если же ряд
сходится при всех z C, то считают что R = +∞. Для радиуса сходимости степенного ряда (18) справедлива формула Коши – Адамара
|
|
|
1 |
= |
|
|
n |
|
c n |
|
. |
(19) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
||||||
35. Найти радиусы сходимости рядов: |
|
||||||||||||
∞ |
n n |
z n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1) ∑ |
n! |
|
|
|
|
|
|
4) ∑ z n ! ; |
|||||
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0 |
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2) ∑ 3 n z n 3 ; |
|
|
|
|
|
5) ∑ 2 n z n ! ; |
|||||||
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0 |
||
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3) ∑ |
z n |
; |
|
|
|
|
|
|
6) ∑ z 2 n . |
||||
2 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
n |
|
|
|
Решение: 1) по формуле (19) имеем |
= |
|
lim n |
|
= |
lim |
|
, |
||||||||||||||||
|
R |
|
|
n! |
|
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ |
|
|
n →∞ n |
|
|||||||
для вычисления последнего предела воспользуемся формулой Стирлинга |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n!= |
2πn n |
n |
e |
−n +θ n / 12n |
, θ n (0,1) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−θ n |
/ 12n |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
e |
|
|
|
= e , |
|
|
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
−n +θ |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n → ∞ n |
2πn n n e |
n |
/ 12n |
n |
→ ∞ |
2π n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда R = e−1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
∑ 3 n z n 3 |
– степенной ряд, у которого многие коэффициенты |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны нулю. Прежде, чем воспользоваться формулой Коши – Адамара, за-
пишем выражения коэффициентов c k |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
этого ряда |
|
∑ c k z k |
через но- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0 |
|
||
мер коэффициента c k (здесь c k |
|
|
– коэффициент при k-й степени z): |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ck = |
|
3 n, |
k =n3, |
|
n = 0,1,...; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
k ≠ n3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Так как требуется найти верхний предел неотрицательной последо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вательности, можно не рассматривать ее нулевые члены. Поэтому |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
k |
|
ck |
|
|
= |
|
|
|
n3 |
|
c |
|
|
= lim (3n ) |
n3 |
=1. |
|
|||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
n |
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k →∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Ряд Тейлора |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пусть f (z) однозначна и аналитична в области D, точка z0 D и R |
|||||||||||||||||||||||||||||||
– кратчайшее |
расстояние от |
точки |
z0 |
|
до |
границы |
|
области D. Тогда в |
||||||||||||||||||||||||
круге |
|
|
z − z 0 |
< R |
функция |
разлагается |
|
в |
степенной ряд по |
степеням |
||||||||||||||||||||||
z − z 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = ∑ c n ( z − z 0 ) n , |
|
|
(20) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где коэффициент cn вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
c n |
= |
f ( n ) ( z 0 ) |
|
или c n = |
|
1 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
dz, r < R, |
n Z0 . |
|||||||||||
n! |
|
|
|
2 |
πi |
|
|
|
|
|
|
( z − z 0 ) n +1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−z 0 |
|
|
=r |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определение 11. Степенной ряд (20) называется рядом |
Тейлора |
||||||||||||||||||||||||||||||
функции f (z) в окрестности точки z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как правило, прямое вычисление коэффициентов рядов Тейлора через вышеприведенные формулы затруднительно и приходится прибегать к различным искусственным приемам. При этом важную роль играет теорема единственности разложения функций в степенной ряд: если функция f
представима в круге z − z 0 < R как сумма степенного ряда, то коэффици-
енты этого ряда определяются однозначно.
Приведем разложение некоторых элементарных z 0 = 0 :
∞ |
|
z n |
|
|
|
|
e z = ∑ |
|
( |
z |
< +∞) , |
||
n! |
||||||
n = |
0 |
|
|
|
функций в точке
(21)
∞ |
|
( −1) n −1 z 2 n −1 |
( |
|
z |
|
< +∞) , |
(22) |
||
sin ( z ) = ∑ |
|
( 2n −1)! |
|
|
||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
( −1) n z |
2 n |
( |
|
z |
|
|
< +∞) , |
(23) |
|
|
|
|
|
|||||||
cos ( z ) = ∑ |
|
( 2n )! |
|
|
|
|
||||
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
z |
2 n −1 |
|
||||
sh ( z ) = ∑ |
|
|
|
|
( |
|||
( 2n −1)! |
||||||||
|
n = 1 |
|
||||||
|
∞ |
|
z |
2 n |
|
|||
ch ( z ) = ∑ |
|
|
|
|
( |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
n = |
0 ( 2n )! |
|
|||||
ln (1 + |
∞ |
( −1) n −1 z n |
||||||
z ) = ∑ |
|
|
n |
|
||||
|
n =1 |
|
|
|
z < +∞) ,
z < +∞) ,
( z <1 )
(24)
(25)
(26)
(здесь ln (z) – главная ветвь логарифма),
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 + z ) α = |
∑ C αn z n |
|
( |
|
z |
|
<1 ) , |
(27) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
α(α−1)...(α−n+1) |
, |
|
если |
|
n =1,2,..., |
|
|||||||
|
|
n! |
|
|
|
|||||||||
C α = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(здесь zα – главная ветвь степенной функции). |
|
|
|
|||||||||||
В частности из формулы (27) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
∑ z n ( |
|
z |
|
<1 ) . |
|
|
(28) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1− z |
|
|
|||||||||||
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем примеры разложения функций в ряды с использованием формул (21) – (28).
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
36. Разложить в степенной ряд функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
1 |
|
, |
|
|
z 0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Из формулы (28) для |
|
z |
|
|
<1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ (−z |
2 ) n |
|
= ∑ ( −1) n z 2n . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 − ( − z 2 ) |
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
z 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
− z ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. Из теоремы о почленном дифференцировании степен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных рядов имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
1 |
|
|
d |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
d |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
∑ z n |
= |
|
∑ |
|
|
|
|
|
( z n ) = |
|||||||||||||
|
|
|
|
(1 − z ) |
2 |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
dz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − z |
|
|
n = 0 |
|
n = |
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ n z n −1 |
= ∑ ( n |
+1) z n , |
|
z |
|
<1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
z 0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 − z + z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Записав данную функцию в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
= |
|
|
|
|
|
z ( z +1) |
|
|
= |
z ( z +1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − z + z 2 |
|
( z |
+1)( z 2 − z +1) |
|
|
|
1 + z 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и воспользовавшись формулой (28), для всех |
|
z |
|
|
<1 имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z ( z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= z ( z +1) ∑ ( −1) n z 3 n = z ( z +1)(1 − z 3 + z 6 − z 9 +... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + z 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+( −1) z 3 n +...) = z + z 2 − z 4 − z 5 + z 7 + z 8 − z 10 − z 11 +...
+ ( −1) n z 3n +1 + ( −1) n z 3n + 2 +...
4) |
|
z −1 |
|
|
, z |
0 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2z 2 + 5z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. Воспользовавшись методом неопределенных коэффици- |
|||||||||||||||||||||
ентов, разложим функцию на простейшие дроби: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
z −1 |
|
= |
|
z −1 |
|
= |
|
A |
|
+ |
|
B |
|
= |
|
A( 2z +1) + B( z +1) |
; |
||||
|
2z 2 + 5z + 2 |
( z + 2)( 2z +1) |
|
z + 2 |
2z +1 |
|
( z +1)( 2z +1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
: 2A+B |
=1 |
|
|
|
A =1, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
B = −1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
: A |
+2B |
= − |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем
40