mp1

5Ы: 1

Ь2 : 2

ЬЗ: 4

Ь4: 8

Ь5: 16

Варифметической и в геометрической профессиях каждый член последова­ тельности зависит только от одного предыдущего значения. Более сложная зависи­

мость представлена в последовательности Фибоначчи: а , = а 7 = 1, а„ =<v, +а„_2. В

этом случае каждый член последовательности зависит от значений двух предыду­ щих членов. Рассмотрим пример программы, в которой вычисляются первые п чле­ нов последовательности Фибоначчи.

#include <iostream> using namespace std; int main()

{int a1=1, a2=1 ,a,n; //задали первый и второй члены последовательности Фибоначчи cout <<"n="; cin»n; //ввели количество членов последовательности

cout<<"a1= "« a 1« en d l « " a 2=”« a 2«endl; //вывели известные члены

Г Организуем цикл для вычисления членов последовательности с номерами 3, 4,..., п. При этом в переменной а1 будет храниться значение члена последовательности с номером i-2, в переменной а2 - члена с номером И , переменная а будет использо­ ваться для вычисления члена с номером */

for (int i=3; i<=n; i++)

{ a=a1+a2; //no рекуррентному соотношению вычисляем член последовательности

5al: 1

а2 : 1

аЗ: 2

а4: 3 а5: 5

Врассмотренных случаях мы выводили на экран значения первых п элементов рекуррентной последовательности. Иногда нам бывает необходимо найти только значение n-ного элемента последовательности. Для этого в программе нужно ис­ ключить вывод значения на каждом шаге цикла. В качестве примера рассмотрим

int n; cout <<"n="; cin»n; //ввел и количество элементов последовательности

51

/*Организуем цикл для вычисления элементов с номерами 3, 4,..., п. При этом в пере­ менной Ы будет храниться значение элемента последовательности с номером i-2, в переменной Ь2 - элемента с номером И , переменная b будет использоваться для вычисления элемента с номером i. V

for (int i=3; i<=n; i++)

{ lino рекуррентному соотношению вычисляем i-ый элемент последовательностиi b=(b1-b2)/pow(i-1.0,2);

Ы=Ь2; Ь2=Ь;} //выполняем рекуррентный пересчет для следующего шага цикла cout<<"b"«n<<"="«b<<endl; //выводим значение Ь на экран

return 0;}

4.2. Упражнения

Написать программу, вычисляющую первые п элементов заданной последователь­

52

5. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ К О Н ЕЧН Ы Х И Б Е С К О Н Е Ч Н Ы Х СУММ И ПРОИ ЗВЕДЕН И Й

5.1. Вычисление конечны х сумм и произведений

Решение многих задач связано с нахождением суммы или произведения эле­ ментов заданной последовательности. В данном разделе мы рассмотрим основные приемы вычисления конечных сумм и произведений.

Пусть щ (х),и2(х ),.. .,и„(х) - произвольная последовательность п функций. Бу­

;=|

В дальнейшем будем также использовать сокращенную запись для конечного произведения данной последовательности, которая выглядит следующим образом:

И

и, (х) ■и2(х) ■... ■и„(х) = / 7 и,;(*).

ы\

1.Написать программу, которая подсчитывает сумму натуральных чисел от 1 до п

(п>1).

Указания по решению задачи. Пусть s„ • сумма натуральных чисел от 1 до п. Тогда s„=l+2+...+(n-])+n=(l+2’-...+(n-l))+n=sn.i+n, so=0. Мы пришли к рекуррентному .соотношению so=0, s„=sn-i+n, которым мы можем воспользоваться для подсчета суммы. Соотношение s„=sn.i+n говорит о том, что сумма на n-ном шаге равна сумме, полученной на предыдущем шаге, плюс оче­ редное слагаемое.

#include <iostream> using namespace std; int main()

{int n, s=0;

cout <<"n="; cin»n;

for (int i=1; i<=n; i++) //выполняем n шагов и на каждом i-том ш аге

s+=i; //используем полученное рекуррентное соотношение cout«"s=”« s« e n d l;

return 0;}

2. Написать программу, которая считает х" для вещественного х и натурального п. Указание по решению задачи. Из свойства степенной функции (х°=1, х|’=х"',*х) следует,

что ее можно вычислять, используя рекуррентное соотношение b0=l, b„=b„.|*x.

#include <iostream> using namespace std; int main()

{ int n;

float x, b=1;

53

3. Написать программу для подсчета суммы: -sirur+sinA'-sini^+...-(-1 )nsin«x (п>1).

Указания по решению зайачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с номера 1. то мы увидим закономерность: знак минус ставится перед слагаемыми с нечетными номерами, а знак плюс - с четными, при этом сумму можно выразить рекуррентным соотношением: s<f=0 . s„=sn.|+ (-l)" sirnn’ x). Введем вспомогательную переменную singl, которая будет использоваться для хранения знака очередного слагаемого. Т.к. первое слагаемое отрицательно, то начальное зна­ чение переменной singl равно -1 . а затем после каждой итерации цикла значение переменной singl будем заменять на противоположное с помощью унарного минуса. В этом случае рекуррентное соотношение можно преобразовать к виду so=0 . single = -1 , s„=s„.i+singl*sin(n’l'x), singl„=-singl„.i.

ственное число, п - натуральное число.

Указания по решению задачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с 1, то мы увидим, что номер слагаемого совпадает со значением знаменателя. Рассмотрим каждый числитель от­ дельно: й] = c o sx , t>2 = cosx -г cos 2л:, ij = cosx + cos2.r + cos3x ... Эту последовательность можно

представить рекуррентным соотношением bo=0, bn=tVi+cosnx (1). Теперь сумму можно предста­

54

#inctude <iostream> #include <cmath> using nam espace std; int main()

{int n;

float x, s= 0 , b=0 ; cout <<"x="; c in » x ; cout <<"n="; c in » n ;

for (int i=1 ; i<=n; i++) {b+=cos(i*x); s+=b/j;} c o u t« " s = “« s « e n c ll;

return 0 ;}

число, п - натуральное число.

Указания по решению задачи. Перейдем от сокращенной формы записи к развернутой, по-

Чтобы не вводить несколько рекуррентных соотношений (отдельно для числителя, отдель­ но для знаменателя), выразим последовательность слагаемых рекуррентным соотношением вида

щими примерами, можно представить рекуррентным соотношением: So=0, S„ =S„_i + а„ (4). Та­ ким образом, при составлении программы будем пользоваться формулами (3-4).

55

cout <<"x="; c in » x ; cout «"n= "; cin>=>n;

for (int i=1; i<=n; i++) {b*=x; p*=(1+b'(b+1)/i);} cout«"p="«p«endl;

return 0;}

Рассмотрим пошаговое выполнение программы:

56

5.2. Вычисление бесконечных сумм

и}(х) + и2(*) + ... + ип(х) + ... = ^иДдг). Это выражение называется функциональным

/ = 1

рядом. При различных значениях х из функционального ряда получаются различные

СО

числовые ряды д, + а2 + ... + ап + ... = '^ а ! . Числовой ряд может быть сходящимся

/ = 1

или расходящимся. Совокупность значений х, при которой функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член ряда а, при

неограниченном увеличении его номера стремится к нулю: lim а„ = 0. Это необхо- W-»00

димый признак сходимости для всякого ряда.

В случае бесконечной суммы будем вычислять ее с заданной точностью е. Считается, что требуемая точность достигается, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чем е.

нулю, следовательно, данную сумму будем вычислять с определенной точностью е. Заметим так­ же, что последовательность слагаемых можно выразить с помощью рекуррентного соотношения

а|=-1, а, = 'И , а всю сумму - с помощью рекуррентного соотношения So=0, S„=S„.|+a„ (Данные

/

рекуррентные соотношения выведите самостоятельно.)

#include <iostream> #ir>clude <cmath> using namespace std;

57

int main() {int n,i=1;

float e, s=0, a=-1; cout <<"e="; cin»e;

while (fabs(a)>=e) //д о тех пор, пока очередное слагаемое больше е {s+=a; / / добавляем его к сумме

i++; a/=-i;} //вычисляем номер очередного слагаемого и его значение cout«"s="«s<<endl;

return О,}

После выполнения программы на экране будет выведено следующие сообщение «Сумма с

отрезке [a,b] с шагом h=0.J и точностью е. Результат работы программы предста­ вить в виде таблицы, которая содержит номер аргумента, значение аргумента, зна­ чение функции и количество просуммированных слагаемых.

Указания по решению задачи. Разработаем вспомогательную функцию Fun(x,e,n), которая по заданным значениям х а е вычисляет значение функции и количество слагаемых и, при сумми­ ровании которых была достигнута заданная степень точности. Для этого перейдем от развернутой

мом. рассмотренным в примере 5 раздела 5.1. Получим, что слагаемые данной функции определя-

ются с помощью рекуррентного соотношения О] = - -—1 — , а, = — —-----—— .

#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> using namespace std;

int main() //главная функция

{float a, b, е, h, f, х;

cout <<"а="; cin»a; //вводим необходимые значения

58

cout <<"b="; cin>>b; cout <<"h="; cin»h; cout <<"e="; ciji»e; int n, i;

cout<<setprecision(3); //устанавливаем количество цифр после запятой для вещ.чисел cout «"i\t x\t f(x) \t n\n"; //ввыводим заголовок таблицы

for (x=a, i=1; x<=b; x+=h, i++) //строим таблицу на отрезке [а, b] { f=fun(x,e,n); //вызываем вспомогательную функцию

cout « i« " \t" « х «"\t" « f <<"\t" <<n « e n d l;} //выводим полученные данные на экран return 0;}

5.3.Упражнения

I.Для заданного натурального п и действительного л- подсчитать следующие сум­ мы:

n раз

II. Для заданного натурального к и действительного х подсчитать следующие выра­ жения:

59

IV. Вычислить и вывести на экран значение функции F(x) на отрезке [а,Ь] с шагом h=0.1 и точностью s. Результат работы программы представить в виде следующей таблицы:

№ Значение х Значение функции F(x) Количество просуммированных слагаемых п

1

2

Замечание. При решении задачи использовать вспомогательную функцию.