4.7.2. Расчет сил

В общем случае эти силы определить сложно (особенно когда мы имеем комбинацию разных материалов – проводников и диэлектриков). Однако эти силы, во многих случаях, можно вычислить достаточно просто (без детального анализа их происхождения) с помощью закона сохранения энергии.

4.7.3. Энергетический метод определения сил

Этот метод позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические), и это приводит к правильному результату.

Для простоты пусть заряженные проводники отключены от источников напряжения. Это означает, что заряды на проводниках остаются неизменными. И пусть нет (точнее пренебрежимо малы) преобразования электрической энергии (при перемещениях зарядов, проводников и т. д.) в другие виды энергии (например, в тепло).

В этом случае работа A любых внутренних сил по перемещению проводников и диэлектриков может совершаться только за счет внутренней энергии электрического поля W. Тогда для бесконечно малых перемещений можно записать

δA = – dW|_q , (4.36)

где символ |_q , означает, что убыль энергии системы dW вычисляется при постоянных зарядах на проводниках. Выражение (4.36) и является исходным уравнением для определения сил.

Далее, например, пусть надо определить силу, действующую на данное тело (проводник, диэлектрик) в направлении X. Теперь совершим бесконечно малое поступательное перемещение dx этого тела в интересующем нас направлении X. Тогда работа искомой силы F на перемещении dx будет

δA = F_xdx , где F_x – проекция силы F на положительное направление оси X.

Подставив последнее выражение для δA в (4.36) и поделив на dx , получим:

F_x = – ∂W/∂x|_q . (4.37)

Заметим, вычисляемая сила зависит только от положения тел и распределения зарядов в данный момент времени. Сам же процесс определения силы, есть чисто математическая операция. Поэтому при вычислении силы F_x по формуле (4.37), нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды на проводниках оставались бы постоянными (q = const).

Если перемещения делать при постоянном потенциале (φ = const) на проводниках, то соответствующий расчет приводит к следующей формуле для F_x :

F_x = ∂W/∂x|_φ .

Расчеты F_x по этой формуле и по (4.37) дают одинаковый результаты, как и должно, быть.

4.7.4. Силы в жидком и газообразном диэлектрике

Пусть все пространство между заряженными проводниками, где есть электрическое поле, заполнено жидким или газообразным диэлектриком. Тогда, т.к. электрическое поле E везде в ε раз меньше поля E₀ в отсутствии диэлектрика то силы взаимодействия F между заряженными проводниками и точечными сторонними зарядами будут в ε раз меньше соответствующих сил F₀ , без диэлектрика.

В таком случае закон Кулона для точечных зарядов будет иметь вид:

F = . (4.38)

Необходимо заметить, что формула (4.38) справедлива, лишь когда выполнены все следующие условия – диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие заряды (заряженные тела) точечными в макроскопическом смысле.

Кроме того сила F, действующая на точечный заряд q со стороны поля E будет:

F = qE , (4.39)

т.е. вид записи формулы остался прежним, как и в вакууме.

4.7.5. Поверхностная плотность сил, действующая на поверхность заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике

Для простоты возьмем плоский конденсатор, в жидком или газообразном диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения. При этом заряд конденсатора и поле E внутри него не меняются при раздвигании обкладок (смотри рис.12).

Рис. 13

Энергия конденсатора – это энергия поля внутри него. Согласно (4.31) она равна W = EDSx , где S – площадь каждой обкладки, x – расстояние между ними, соответственно Sx объем, занимаемый полем. Тогда, согласно (4.37), сила, действующая на верхнюю обкладку будет равна

F_x = – ∂W/∂x|_q = – EDS ,

а поверхностная плотность сил F_ед = F_x / S

F_ед = . (4.40)

Таким образом, поверхностная плотность силы, действующей на проводник, находящийся в жидком или газообразном диэлектрике равна объемной плотности электрической энергии вблизи поверхности проводника. Направлена эта сила всегда по нормали к поверхности наружу от проводника, стремясь растянуть проводник, независимо от знака поверхностного заряда.

Известно, что, в соответствии законом Гука, величина деформации в веществе пропорциональна действующей на него силе. Как видно из последнего выражения (4.40), величина силы F_ед пропорциональна квадрату поля ~E² и, следовательно, величина деформации под действием такой силы будет также пропорциональна ~E². Как мы отметили ранее в п. (4.7.1.) это соответствует электрострикции.