4.5. Вектор d

4.5.1 Теорема Гаусса для поля вектора d

а) Так как источником поля E являются все заряды, как сторонние, так и связанные, то, согласно теореме Гаусса для поля E, можно записать так:

= (q′ + q)/ε_ο (4.11)

Появление связанных зарядов в (4.11) сильно усложняет дело нахождения поля E, т. к. E в диэлектрике неизвестно и выражено через q′, который сам зависит от неизвестного поля E. Но если связанный заряд выразить через поляризованность диэлектрика P, согласно теореме Гаусса для поля вектора P ((4.5) = – q′), формула (4.11) преобразуется к виду:

= (– + q)/ε_ο ,

т.к. интегрирование E и P ведется по одной и той же замкнутой поверхности то, объединив два интеграла в один, получим:

= q (4.12)

Величину в скобках в подынтегральном выражении обозначают вектором D

СИ СГСЭ

D = ε_οE + P D = E +4πP (4.13)

Поток, таким образом, определенного вектора D через замкнутую поверхность S равен сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

= q (4.14)

Это теорем Гаусса для вектора D. Отметим, что D есть сумма двух физически различных величин ε_οE и P. Поэтому он является вспомогательным вектором, не имеющим какого-либо глубокого физического смысла! Однако свойство поля D, выражаемое теоремой Гаусса, оправдывает его введение. Во многих случаях он значительно упрощает изучение поля диэлектрика. Вектор D называют электрической индукцией, или электрическим смещением. Отметим, что теорема Гаусса для вектора D справедлива для любого диэлектрика, как изотропного, так и неизотропного! Размерность вектора D та же, что и у вектора Р – (.

б) Дифференциальная форма записи теоремы Гаусса для Д имеет вид:

СИ СГСЭ

Div D = ρ Div D = 4πρ, (4.15)

где ρ – плотность сторонних зарядов в данной точке.

Переход от интегральной формы записи теоремы Гаусса (4.14) к дифференциальной (4.15) аналогичен проведенному нами выше переходу для вектора Р (см. п. 4.4 б).

4.5.2 Связь между D и E

Для изотропных диэлектриков Р= ε_οæE. Подставляя его в выражение для D (4.13), связывающее D с E и Р получим:

СИ СГСЭ

D = ε_ο(1+ æ) E D = (1+ 4πæ) E или (4.16)

D = ε_οεE D = εE. Здесь обозначили

ε = 1 + æ ε = 1 + 4πæ, (4.17)

где ε – безразмерная величина и называется диэлектрической проницаемостью вещества. Она ε, как и æ является основной характеристикой диэлектрика – способностью вещества поляризоваться в электрическом поле. При этом для всех веществ ε > 1, т. к. æ, как мы уже отметили, может быть только больше нуля æ > 0. Для вакуума ε = 1. Величина ε колеблется от единиц (для газов) до нескольких тысяч единиц (некоторые керамики), для воды ε = 81.

Из выражения (4.16) следует, что для изотропных диэлектриков вектор D коллинеарен вектору E, в анизотропных же веществах D не коллинеарен E (не совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля). Так же, как и æ в случае анизотропных веществ, диэлектрическая проницаемость ε имеет вид матрицы: , а соответствующая связь междуD и E имеет вид:

D = ε_ο E , (4.18)

а его проекции в прямоугольной системе координат равны:

D_x = ε_ο (ε₁₁E_x + ε₁₂E_y + ε₁₃E_z),

D_y = ε_ο (ε₂₁E_x + ε₂₂E_y + ε₂₃E_z),

D_z = ε_ο (ε₃₁E_x + ε₃₂E_y + ε₃₃E_z)

Поле вектора D изображается, как и поле вектора Е, с помощью силовых линий, густота которых определяет направление и модуль вектора D. Здесь необходимо отметить! Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах. Линии же поля вектора D только на сторонних зарядах. Через области, где находятся только связанные заряды, линии D проходят не прерываясь!

Замечание! Поле D зависит в общем случае как от сторонних, так и от связанных зарядов, как и поле Е, согласно их связи (4.16), однако в некоторых случаях D определяется только сторонними зарядами. Именно для таких случаев поле D является наиболее полезным. Но! Ошибка думать!, что поле D всегда определяется только сторонними зарядами.

Л.4. 2014г. Часть 2

4.5.3. Условия на границе раздела двух диэлектриков для D и Е

Пусть на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков есть поверхностный сторонний заряд . Искомые условия для векторовD и Е получаем из двух теорем: Гаусса для D и теоремы о циркуляции для Е.

1. Условие для вектора поля Е.

Пусть имеем границу раздела между двумя диэлектриков 1, 2 (рис.6).

Рис.6

Выберем в окрестности интересующей нас точки на границе раздела элемент небольшой длины ℓ. Длина элемента должна быть настолько малой (физически бесконечно малой), чтобы этот элемент можно было считать прямой линией. Теперь окружим этот элемент замкнутым контуром в виде прямоугольника так, чтобы две стороны прямоугольника были перпендикулярны границе раздела, а две других параллельны границе раздела и находились по разные ее стороны. Полувысоту выбранного прямоугольника h (расстояние от линии раздела до параллельных элементу ℓ границ контура) выбираем также маленькой, настолько, что в пределах замкнутого контура, включая его границы, поля Е₁и Е₂ в диэлектриках 1 и 2, соответственно, можно было считать постоянными, т. е. поля внутри выбранного контура однородны. Выберем направление обхода по этому контуру, например, по часовой стрелке. Тогда, устремив h к нулю (h → 0) и учитывая что Е₁ и Е₂ однородные поля (следовательно их тангенциальные составляющие в пределах каждого элемента контура постоянны и, следовательно, их можно вынести за знак интеграла) согласно теореме о циркуляции для вектора поля Е можно записать:

= Е_2τℓ – Е_1τℓ = 0

В этой записи интеграл по замкнутому контуру расписывается как сумма интегралов по каждому отрезку пути замкнутого контура, соблюдая выбранное направление. Интегралы по участкам, перпендикулярным границе раздела, при h → 0, будут равны 0, т. к. после того как мы вынесем в каждом слагаемом за знак интеграла соответствующие тангенциальные составляющие полей Е₁и Е₂ оставшиеся интегралы будут равны длинам соответствующих участков контура. Таким образом, после сокращения на длину ℓ мы приходим к следующему выражению:

Е_2τ = Е_1τ . (4.19)

То есть тангенциальные составляющие электрического поля Е не претерпевают скачка (непрерывны) на границе раздела двух диэлектриков, т. е. равны по величине и одинаково направлены.

2. Условие для вектора D.

Условие для вектора D на границе раздела двух диэлектриков показывается аналогично тому, как мы делали при определении граничных условий для вектора поля P в разделе (4.4. г)). Применяя теорему Гаусса для D, по аналогии получим (для наглядности см. рис.7):

D_2n – D_1n = σ . (4.20)

Здесь σ – поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Доказательство проведите сами.

Рис.7.

Если поверхностный заряд на границе раздела σ = 0, то условие упрощается и имеет вид:

D_2n = D_1n , (4.21)

то есть нормальные составляющие D_n вектора поля D скачка не испытывают, т. е. непрерывны на границе раздела двух диэлектриков (равны по величине и одинаково направлены).

3) Преломление силовых линий поля Е и D на границе двух однородных изотропных диэлектриков при отсутствии на границе сторонних зарядов.

На рис.8 приведен участок элемента границы раздела двух диэлектриков 1 и 2 с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ , соответственно. Пусть в диэлектрике 1 поле Е₁ имеет определенную длину и направление, задаваемое углом α₁ между вектором Е₁ и нормалью к границе раздела в искомой точке О. Согласно условию (4.19) тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна на границе раздела, т.е.Е_2τ = Е_1τ . Тогда опустим из начала вектора Е₁ вертикаль на границу раздела.

Длина отрезка (1,0) будет соответствовать модулю тангенциальной составляющей Е_1τ (│Е_1τ│= Е_1τ) вектора Е₁ , а направление вектора Е_1τ буде от т. 1 к т. О. Отложим отрезок (О,2) от конца вектора Е_1τ (из т. О) вдоль него длиной равной отрезку (О,1) ((О,2) = (О,1)). Отрезок (О,2) будет соответствовать тангенциальной составляющей Е_2τ вектора Е₂ в диэлектрике 2. При этом направление вектора Е_2τ должно совпадать с направлением Е_1τ и, следовательно, Е_2τ направлен от т. О к т. 2.

Теперь от начала вектора Е₁ опустим вертикаль на нормаль к границе раздела. Отрезок (3,0) будет равен длине нормальной составляющей Е_1n поля Е₁ . Воспользуемся граничным условием (4.21) для вектора D и связью (4.17) между Е и D (D = ε_οεE). Тогда, поскольку на поверхности границы раздела сторонние заряды отсутствуют, то D_2n = D_1n (нормальные составляющие (проекции D на нормаль ) векторов индукции электрического поляD₂ и D₁ , соответственно). Тогда, используя формулу связи (4.17), получим, что:

D_2n = ε_οε₂E_2n = ε_οε₁E_1n = D_1n , отсюда следует

E_2n = E_1n .

Предположим, что ε₂ > ε₁ . Тогда отношение ε₁/ ε₂ < 1 и, соответственно, нормальная составляющая E_2n будет меньше чем E_1n (E_2n<E_1n). Следуя этому, отложим отрезок (0,4) от рассматриваемой точки О вдоль нормали длиной, меньшей, чем длина отрезка (0,3). Отрезок (0,4), соответствует вектору нормальной составляющейE_2n , направленному от т. О к т. 4. Теперь построим сам вектор Е₂ , используя построенные нами его проекции E_2n и Е_2τ. Для этого проведем линии из точек 2 и 4, перпендикулярные соответственно границе и нормали. Точка их пересечения будет соответствовать концу вектора Е₂ , а начало вектора точка О.

Обозначим угол между полученным вектором Е₂ и нормалью к границе раздела черезα₂ . Из прямоугольных треугольников, используя известные тригонометрические соотношения, легко получить отношения для тангенсов углов tg α₂ / tg α₁ =

(4.22)

Так как вектор D коллинеарен вектору Е в обоих диэлектриках, то силовые линии вектора индукции будут идти к границе раздела и выходить под теми же направлениями, что и вектора Е₁ и Е₂.

Рис.9

Рис.10

На рис.9 и 10, в окрестности той же точки границы раздела, изображены силовые линии векторных полей D – рис.9 и Е – рис.10. На рисунках плотности силовых линий в диэлектриках 1 и 2 соответствуют амплитудам векторов D₁ , D₂ и Е₁ , Е₂ в них.

Из рис.9 видно, что силовые линии вектора D проходят границу раздела не прерываясь (сторонних зарядов на границе раздела нет). Густота силовых линий больше в диэлектрике 2, что соответствует соотношению амплитуд векторов полей D₁ и D₂ в диэлектрике 1 и 2 при условии ε₂ > ε₁, D₂ > D₁ (т. к. D_2n= D_1n, а D_2τ = ε_οε₂E_2τ= ε_οε₂E_1τ= D_1τ , но > 1 → D_2τ > D_1τ).

Плотность силовых линий поля Е₁ , должна быть, наоборот, больше плотности Е₂, т.к. E₂ < E₁ (это видно и из рис. 8, где E₂ < E₁,), поэтому на рис.10 (для приведения в соответствие с неравенством E₂ < E₁) в диэлектрике 2 часть силовых линий поля E₂ отсутствует (линии прорежены). Последнее соответствует тому, что часть силовых линий поля E₁ (со стороны диэлектрика 1) замыкается на поверхностных связанных зарядах, выступающих на границе раздела диэлектриков при их поляризации.

4.5.4. Условие на границе проводник – диэлектрик.

Пусть проводник граничит с однородным и изотропным диэлектриком. Мы знаем, что в проводнике поле E отсутствует (E = 0), следовательно, поляризованность P там то же равна нулю P = 0 и, согласно (4.13) (D=ε_οE+P), в проводнике D = 0. Тогда применяя стандартным образом теорему Гаусса для вектора D, в соответствии с (4.20) получим (см. рис.7. и положи, что здесь – среда 1 проводник, а среда 2 диэлектрик):

D_n = σ (4.23)

где – внешняя по отношению к проводнику нормаль (направлена от проводника к диэлектрику), а σ поверхностная плотность сторонних зарядов на проводнике.