1.15. Линейные пространства

Остыловский А.Н. Лекция 15.

Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Свойства линейного пространства. Линейная зависимость. Базис. Теорема о равномощности базисов. Размерность. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса.

15.1. Аксиомы линейного пространства. В предложении 1 лекции 10 были отмечены 8 свойств операций над матрицами. Таким же свойствам удовлетворяют операции сложения и умножения на числа векторов. Будем изучать абстрактное множество L с операциями "сложения\и "умножения\на числа, удовлетворяющими упомянутым свойствам 1)–8). О природе этих операций неизвестно ничего, кроме свойств 1)–8), поскольку нам неизвестно устройство множества L. Но если мы докажем какое-либо утверждение для L, то оно будет верно и для матриц, и для геометрических векторов, и для других конкретных структур на которых определены операции со свойствами 1)–8).

Определение 1. Непустое множество L называется линейным пространством над полем действительных чисел R, если на нём определены операции сложения двух элементов (x; y) ! x + y и

умножения (; x) ! x на числа. При этом предполагается, что для любых x; y; z 2 L и любых ; 2 R выполнены аксиомы

1 . x + y = y + x;

2 . (x + y) + z = x + (y + z);

3 . Существует такой элемент o 2 L (называемый нулевым), x + o = x x 2 L;

4 . Для любого x 2 L существует такой элемент ( x) 2 L (называемый противоположным), что x + ( x) = o;

5 . ( + )x = x + x;

1

6 . ( x) = ( )x;

7 . (x + y) = x + y; 8 . 1 x = x.

Элементы линейного пространства называют векторами. Примерами линейных пространств являются, как мы уже отме-

чали, множества геометрических векторов и множество (m n)- матриц. Рассмотрим ещё примеры.

Пример 1. Множество C[a;b] всех непрерывных на отрезке [a; b]

функций является линейным пространством относительно общепринятого сложения функций и умножения их на числа.

Пример 2. Множество всех последовательностей чисел является линейным пространством относительно общепринятого сложения последовательностей и умножения их на числа.

15.2. Свойства линейного пространства.

Теорема 1. В линейном пространстве:

1 существует единственный нулевой вектор o;

2 для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор x.

Доказательство. 1 . Предположим, что кроме o существует ещё один нулевой элемент o0. Тогда, с одной стороны, o + o0 = o; с другой o + o0 = o0. Тогда o = o0.

2 . Предположим, что для некоторого x кроме ( x) существует ещё один противоположный элемент ( x)0. Тогда

2

Теорема 2. Для любого x 2 L

1 0x = o;

2

2 ( 1)x = ( x).

Доказательство. 1 . Используя аксиомы 1–8, имеем:

0x + x = (0 + 1)x = 1 x = x:

Прибавляя к начальной и конечной частям этой цепочки равенств вектор ( x), получим 0x = o.

2 . x + ( 1)x = 1x + ( 1)x = (1 1)x = 0x = o: 2

Теорема 3. Для любых двух векторов a; b 2 L существует единственный вектор x 2 L, являющийся решением уравнения a + x = b и называемый разностью b a.

Доказательство. Проверим, что вектор b + ( a) является решением нашего уравнения. Имеем:

a + b + ( a) = (a + ( a)) + b = b:

Предположим, что уравнение a + x = b имеет два решения u и v, т.е. a + u = b и a + v = b. Тогда a + u = a + v. Прибавляя к обеим частям последнего равенства ( a), получим u = v. 2

Замечание. Теперь в линейном пространстве мы можем производить привычные со школы действия: переносить в другую часть равенства выражения с противоположным знаком, выносит общий числовой множитель за скобку, взаимно уничтожать одинаковые слагаемые в разных частях равенства и т.д.

15.3. Линейная зависимость.

Определение 4. Система векторов x1; x2; : : : ; xk линейного пространства L называется линейно зависимой если найдутся такие числа 1; 2; : : : ; k, не все равные нулю, что

1x1 + 2x2 + + kxk = o:

В противном случае система векторов x1; x2; : : : ; xk называется линейно независимой.

3

Замечание. Все утверждение о линейной зависимости системы векторов в арифметическом пространстве вместе с доказательствами дословно переносятся из лекции 10 на более общий случай линейного пространства.

15.4. Базис.

Определение 5. Упорядоченная система векторов e = (e1; e2; : : : ; en) линейного пространства L называется базисом

этого пространства, если выполнены условия:

1)система e = (e1; e2; : : : ; en) линейно независима;

2)любой вектор x 2 L представим в виде линейной комбинации векторов e1; e2; : : : ; en:

Числа 1; : : : ; n при этом называются координатами вектора x в

базисе e. Столбец

23

1

45

n

называется координатным столбцом вектора x в базисе e.

Из (1), (2) следует компактное представление

2 3

1

x = (e1; e2; : : : ; en) 6 ... 7 = e : (3)

6 7

4 5

n

Теорема 4. Координаты вектора в данном базисе определяют-

ся однозначно.

Доказательство. Пусть e = (e1; e2; : : : ; en) базис в линей-

ном пространстве L и

4

два разложения вектора x. Вычитая (15) из (5), получим

Так как система e = (e1; e2; : : : ; en) линейно независима, то отсюда следует

1 = 1; : : : ; n = n:

2

Следствие. При фиксированном базисе e = (e1; e2; : : : ; en) отображение ' : x ! [x]e есть взаимнооднозначное отображение из L в Rn.

Теорема 5. Соответствие удовлетворяет условиям:

1) (x + y) = (x) + (y); x; y 2 L;

2) ( x) = (x); x 2 L; 2 R:

Иными словами:

1’) [x + y]e = [x]e + [y]e, 2’) [ x]e = [x]e.

Доказательство. Упражняйтесь. 2

Замечание. Указанное в теореме 5 соответствие позволяет не различать при фиксированном базисе пространства L и Rn.

Иллюстрацией этого замечания служит полезная

Лемма. Векторы x1; : : : ; xn 2 L линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы в любом (некотором) базисе.

Доказательство. Упражняйтесь.

Определение 6. Линейное пространство L называется конечномерным, если в нём существует конечный базис.

Мы будем рассматривать только конечномерные пространства.

5

Теорема 6. Любые два базиса конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового количества векторов.

Доказательство. Пусть e = (e1; : : : ; en) и f = (f1; : : : ; fm)

два базиса в L, причём m > n. Разложим векторы базиса f по векторам базиса e:

суть координатные столбцы векторов f1; : : : ; fm в базисе e. Так как m > n, то порядок базисного минора матрицы S не превосходит n

и число m столбцов матрицы S больше порядка базисного минора. Тогда по теореме о базисном миноре столбцы матрицы S линейно зависимы. Тогда (см. упражнение 5) линейно зависимы и векторы f1; : : : ; fm. Противоречие. 2

Теперь мы можем корректно сформулировать

Определение 7. Число векторов в базисе линейного пространства L называется его размерностью и обозначается dim L.

15.5. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса. Пусть e = (e1; : : : ; en) и e0 = (e01; : : : ; e0n) два базиса в линейном пространстве L. Разложим векторы базиса e по базису e0:

;

6

Используя немое суммирование эти соотношения можно переписать так

столбцами которой служат координатные столбцы векторов базиса e0 в базисе e, называется матрицей перехода от базиса e к базису e0.

Соотношения (7), (8) можно записать в матричной форме

где [ ji] = S 1.

Выясним теперь как связаны между собой координаты одного и

Ввиду однозначности разложения вектора x по базису e получаем искомую связь

7

Соотношение (18) называют иногда аналитическим определением вектора. Говорят, что в линейном пространстве задан вектор, если каждому базису поставлена в соответствие упорядоченная n- ка чисел, причём при замене базиса компоненты её преобразуются по закону (18).

Упражнения

1. Пусть U линейное подпространство линейного пространства

L над полем R. Показать:

1)o 2 U;

2)x 2 U для любого x 2 U;

3) 1x1 + + nxn 2 U для любых 1; : : : ; n 2 R и любых x1; : : : ; xn 2 U;

4) U является линейным пространством над R.

2.Докажите, что система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов представим в виде линейной комбинации оставшихся.

3.Докажите, что всякая максимальная линейно независимая система в конечномерном линейном пространстве является базисом.

4.Докажите, что в конечномерном линейном пространстве всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

8