47+77 тау / тау кр1 77
.pdf
12
Решение:
Найдем выражение для логарифмической АЧХ и ФЧХ, для чего сначала определим АФЧХ системы по ее передаточной функцииW(р), заменяя в ней оператор Лапласа р на комплексную переменную jω:
W( jω) = |
=K×(T1× jω +1) |
H(ω) ×ejφ(ω) , |
|
jω ×(T2 × jω +1) ×(T3× jω +1) |
|
K×(
1 + (T1×ω)2 )
H(ω) = ω ×(
1 + (T2 ×ω)2 )×(
1 + (T3 ×ω)2 ),
φ(ω) = -90° + arctg(T1× ω) - arctg(T2 ×ω) - arctg(T3 ×ω) ,
где: Н(ω) – амплитудно-частотная характеристику (АЧХ) системы
φ(ω) – аргумент частотной передаточной функции, представляющий фазочастотную характеристику (ФЧХ) системы САУ.
По известной АЧХ определим выражение для ЛАЧХ L(ω):
(1.26)
(1.27)
(1.28)
САУ;
собой
L(ω) = 20 ×lg(H(ω=)) 20 ×lg(K) - 20 ×lg(ω) +
+20 × lg ( |
|
)- 20 ×lg ( |
|
)- 20 ×lg ( |
|
). |
(1.29) |
1 + (T1×ω)2 |
1 + (T2 ×ω)2 |
1 + (T3 ×ω)2 |
Асимптотическую ЛАЧХ строим путем замены непрерывной крив ЛАЧХ несколькими прямыми отрезками, которые сопрягаются между собой в точках, соответствующих круговым частотам с ω(сопрягающим частотам),
численно равным обратной величине от постоянных времени, входящих в выражение (1.29). В нашем случае имеем три сопрягающие частоты: ωс1=1/Т1,
рад/с; ωс2=1/Т2, рад/с; ωс3=1/Т3, рад/с.
13
Расположим сопрягающие частоты в порядке возрастания при следующих исходных данных нашего случая: К=1,0; T1=0,80с; T2=5,00с; T3=0,20с.
Учитывая, что чем больше значение постоянной времени, тем меньше значение сопрягающей частоты, можем написать следующее неравенство:
ωс2=0,2<ωс1=1,25<ωс3=5,0рад/с. |
(1.30) |
Выбираем масштаб для одной декады частот так, чтобы в этом масштабе
на оси абсцисс (частот) разместить три декады логарифмической шкалы. Если
значения всех сопрягающих частот больше или равно ω≥1рад/с, то в качестве
с
границ декад выбираем круговые частоты1, 10, 100 и 1000рад/с. В том случае,
когда значение хотя бы одной из сопрягающих частот находится в диапазоне
0,1≤ωс<1, то границы декад необходимо сместить влево на одну декаду, т.е.
выбрать 0,1, 1, 10 и 100рад/с.
В пределах каждой декады можно выделить промежуточные значения
частот, используя для этих целей логарифмическую . шкЗатемлу на
логарифмической оси частот отмечаем точки, соответствующие сопрягающим частотам ωс1, ωс2, ωс3, и проводим через них вертикальные линии. Ось ординат
проводим через |
частотную отметку1рад/с и |
выбираем |
соответствующий |
масштаб, исходя |
из значения величины20·lgK, |
так, чтобы |
можно было |
отложить значения 20·lgK+20 и 20·lgK-40дБ. В нашем случае откладываем на оси ординат следующие точки: 20·lgK; 20·lgK+20; 20·lgK-40.
С целью удобства построения асимптотической ЛАЧХ выбираем масштаб
1см на 10дБ. Проводим через точку20·lgK вправо от оси ординат прямую
линию с наклоном-20дБ на декаду, для чего соединяем эту точку с точкой
20·lgK-20, расположенной на частотной отметке10рад/с. Так как в нашем
примере первая по порядку следования сопрягающая |
<1, тоω |
|
частота2 |
продолжим эту прямую влево от оси ординат до пересечения с вертикальной сплошной линией, исходящей из точки 0,1рад/с на оси частот. Очевидно, что ордината точки пересечения равна 20·lgK+20.
14
На отрезке логарифмической оси частот 0,1≤ω≤ωс2 асимптотическая ЛАЧХ описывается выражением:
L(ω)=20·lgK-20·lgω, дБ |
(1.31) |
и представляет собой отрезок проведенной ранее |
прямой с наклоном- |
20дБ/дек, соединяющий точки ее пересечения с вертикальными прямым
линиями, проведенными из точек0,1 и |
ωс2 и имеющими ординаты, |
соответственно: |
|
L(0,1)=20·lg1,0-20·lg0,1=20,00дБ, |
(1.32) |
L(ωс2)=L(0,2)=20·lg1,0-20·lg0,2=13,98дБ. |
(1.33) |
Первая сопрягающая частота ω принадлежит апериодическому звену,
с2
поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси
ωс2≤ω≤ωс1 описывается выражением:
L(ω)=20·lgK-20·lgω-20·lg(ω·Т2), дБ |
(1.34) |
и, следовательно, ее наклон увеличивается на-20дБ/дек и становится равным -40дБ/дек. Соединяя ординаты (1.33) в точке ωс2=0,2рад/с с ординатой
(1.35) в точке ω=10·ωс2=2,0рад/с сплошной линией получим отрезок прямой с наклоном -40дБ/дек, который пересекает вертикальную прямую линию,
соответствующую круговой частоте ωс1=1,25рад/с, в точке с ординатой:
L(ωс1)=L(1,25)=20·lg1,0-20·lg1,25-20·lg(1,25·5,00)=
=-17,85дБ. |
(1.35) |
15
Соединяя ординату (1.33) сплошной прямой линией с ординатой(1.35),
соответствующей точке пересечения наклонной прямой линии с вертикальной
сплошной линией), получим на отрезке логарифмической оси частот ω ≤ω≤ω
с2 с1
очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -40дБ/дек.
Вторая сопрягающая частота ωс1 принадлежит дифференцирующему звену,
поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси
ωс1≤ω≤ωс3 описывается выражением:
L(ω)=20·lgK-20·lgω-20·lg(ω·Т2)+20·lg(ω·Т1), дБ |
(1.36) |
и, следовательно, ее наклон уменьшается на20дБ/дек и становится вновь равным -20дБ/дек. Соединяя сплошной линией ординаты(1.35) в точке
ωс1=1,25рад/с с ординатой(1.37) в точке ω=10·ωс1=12,5рад/с получим отрезок прямой с наклоном-20дБ/дек. Продолжим эту наклонную прямую д пересечения с вертикальной сплошной линией, соответствующей круговой частоте ωс3=5,0рад/с, в точке с ординатой:
L(ωс3)=L(5,0)=20·lg1,0-20·lg5,0-20·lg(5,0·5,00)+20·lg(5,0·0,80)=
=-29,90дБ. |
(1.37) |
Соединяя ординату (1.35) сплошной прямой линией с ординатой(1.37),
соответствующей точке пересечения наклонной прямой линии с вертикальной прямой линией, получим на отрезке логарифмической оси частотс1≤ω≤ωс3
очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек.
Третья сопрягающая частота ω принадлежит интегрирующему звену,
с3
поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси
ω≥ωс3 описывается выражением:
16
L(ω)=20·lgK-20·lgω-20·lg(ω·Т2)+20·lg(ω·Т1)-20·lg(ω·Т3)=
= L(1000,0)=-121,94дБ. |
(1.38) |
и, следовательно, ее наклон вновь увеличивается на -20дБ/дек и становится равным -40дБ/дек. Соединяя сплошной линией ординаты(1.37) в точке
ωс3=20,0рад/с с ординатой(1.38) в точке =10·ω ωс3=200,0рад/с получим асимптоту ЛАЧХ с наклоном-40дБ/дек. На рисунке 1.4 показан график асимптотической ЛАЧХ, построенный в соответствии с вышеприведенным алгоритмом.
|
Рис. 1.4 – АЧХ линейной системы САУ |
|
|
|||
Для построения логарифмической ФЧХ воспользуемся выражением (1.28). |
|
|||||
Задаваясь |
численными значениями круговой частоты от0,1 до 100рад/с (при |
|
||||
ωс2<1) или от 1 до 1000рад/с (при ωс2≥1), заполняем соответствующий столбец |
|
|||||
таблицы 1.4 значениями частотной функции φ(ω) и выполняем ее построение. |
|
|||||
Для |
построения |
годографа |
АФЧХ |
необходимо |
также |
зап |
соответствующие столбцы таблицы 1.4, для чего необходимо произвести расчет |
|
|||||
модуля |
Н(ω) частотной |
передаточной |
функцииW(jω) и его |
проекций |
на |
|
мнимую и действительную, а также использовать данные выполненного ранее расчета фазочастотной характеристики:
|
17 |
M(ω) = H(ω) ×sin(φ(ω)) , |
(1.39) |
N(ω) = H(ω) ×cos(φ(ω)) . |
(1.40) |
Рис. 1.5 – ФЧХ линейной системы САУ
Так как значение модуля Н(ω) АФЧХ обратно пропорционально круговой
частоте, то для построения годографа следует брать более высокие частоты с наиболее близкими относительно малыми значениями модуля. Откладываем на
отрицательной действительной полуоси комплексной плоскости значени проекции N(ω) модуля Н(ω), а на отрицательной полуоси – значения проекции
М(ω) этого модуля, выбрав предварительно наиболее удобный масштаб. Затем через отложенные точки проводим вертикальные или горизонтальные линии
параллельно противоположным координатным . осямСоединив точки
пересечения этих линий с началом координат, получим векторы АФЧХ,
соответствующие частотам, при которых вычислялись проекции их модуля на координатные оси. Соединив точки пересечения этих линий между собой и с началом координат, получим фрагмент годографа АФЧХ, представляющего собой кривую, которую описывает конец вектора W(jω) при изменении частоты
в выбранном диапазоне частот. Фрагмент годографа АФЧХ, построенного на основании данных таблицы 1.4, показан на рисунке 1.6.
18
Рис. 1.6 – Годограф АФЧХ заданной САУ
Другой способ построения годографа АФЧХ основан на использовании полярных координат, для чего на комплексной плоскости через начало ее координат проводят ряд линий под углами, взятыми из таблицы1.4 для соответствующих частот, и на этих линиях откладывают в произволь выбранном масштабе значения модуля Н)(ωАФЧХ. Соединяя затем концы векторов между собой и с началом координат, получим искомый фрагмент годографа АФЧХ. Фрагмент годографа АФЧХ, построенного на основании данных таблицы 1.4, показан на рисунке 1.7.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
Расчетные значения системы автоматического управления |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ω, рад/с |
|
φ(ω), град |
H(ω) |
M(ω) |
|
N(ω) |
0.0000 |
|
-90.00000 |
- |
- |
|
- |
50.000 |
|
-175.4923 |
3.1851e-004 |
1.3476e-004 |
|
2.8859e-004 |
100.00 |
|
-177.7392 |
7.9906e-005 |
-7.7632e-005 |
|
-1.8930e-005 |
150.00 |
|
-178.4919 |
3.5537e-005 |
-1.9442e-005 |
|
-2.9747e-005 |
200.00 |
|
-178.8687 |
1.9994e-005 |
-4.0130e-006 |
|
-1.9587e-005 |
250.00 |
|
-179.0949 |
1.2798e-005 |
3.0834e-007 |
|
-1.2794e-005 |
300.00 |
|
-179.2457 |
8.8877e-006 |
1.5467e-006 |
|
-8.7521e-006 |
350.00 |
|
-179.3534 |
6.5300e-006 |
1.8212e-006 |
|
-6.2709e-006 |
400.00 |
|
-179.4342 |
4.9996e-006 |
1.7774e-006 |
|
-4.6730e-006 |
450.00 |
|
-179.4971 |
3.9504e-006 |
1.6336e-006 |
|
-3.5968e-006 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
500.00 |
-179.5474 |
3.1998e-006 |
1.4680e-006 |
-2.8433e-006 |
550.00 |
-179.5885 |
2.6445e-006 |
1.3088e-006 |
-2.2979e-006 |
600.00 |
-179.6228 |
2.2221e-006 |
1.1653e-006 |
-1.8921e-006 |
650.00 |
-179.6518 |
1.8934e-006 |
1.0393e-006 |
-1.5827e-006 |
700.00 |
-179.6767 |
1.6326e-006 |
9.2980e-007 |
-1.3420e-006 |
750.00 |
-179.6982 |
1.4222e-006 |
8.3496e-007 |
-1.1513e-006 |
800.00 |
-179.7171 |
1.2500e-006 |
7.5281e-007 |
-9.9786e-007 |
850.00 |
-179.7337 |
1.1072e-006 |
6.8146e-007 |
-8.7270e-007 |
900.00 |
-179.7485 |
9.8764e-007 |
6.1930e-007 |
-7.6935e-007 |
950.00 |
-179.7618 |
8.8642e-007 |
5.6491e-007 |
-6.8308e-007 |
1000.0 |
-179.7737 |
7.9999e-007 |
5.1714e-007 |
-6.1037e-007 |
Рис. 1.7 – Годограф Найквиста заданной САУ
20
Список использованных источников
1. Справочник по теории автоматического управления/ под ред. А. А.
Красовского. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 712 с.
2. Выгодский, М. Я. Справочник по элементарной математике/ М. Я.
Выгодский. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 335 с.
3.Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
4.Дьяконов В. П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник / В. П. Дьяконов, Круглов В. В. – СПб.:
Питер. 2001. – 448 с.
5. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник / В. П. Дьяконов. –
СПб.: Питер. 2002. – 528 с.
6. Дьяконов В. П. Математические пакеты расширенияMATLAB.
Специальный справочник / В. П. Дьяконов, Круглов В. В. – СПб.: Питер. 2001.
–480 с.
7.Зельдин, Е. А. Децибелы / Е. А. Зельдин. 2-е изд., доп. – М.: Энергия. 1977. – 64 с. (Массовая радиобиблиотека; вып. 949).