Работа №3. Изучение динамики вращательного движения и измерение осевых моментов инерции твердых тел на маховике Обербека.

Ц

1

2

3

4

5

ель работы.Усвоить основной закон динамики вращательного движения. Косвенно измерить момент инерции цилиндрических тел. Установить зависимость осевых моментов инерции вращающихся на маховике грузов от расстояния до оси вращения.

Приборы и принадлежности. Маховик Обербека, автоматический счётчик времени, четыре цилиндрических тела с одинаковой массой, масштабная линейка.

Вращательным движением тела назывется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, плоскости которых параллельны друг другу, а центры лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Для измерения осевого момента инерции, в работе используется крестообразный маховик Обербека.

М

Рис. 3

аховик Обербека (рис. 3) представляет собой свободно вращающуюся относительно неподвижной горизонтальной оси крестовину, выполненную в виде четырёх взаимно перпендикулярных металлических стержней. Ось крестовины закреплена на вертикальной стойке, установленной на массивном основании. На стержни одеты цилиндрические муфты (2) известной массы, которые закрепляются на заданном расстоянииrот оси вращения с помощью стопорных винтов.

Перемещая муфты вдоль стержней на то или иное расстояние r, можно изменять осевой момент инерции системы. Считая, что масса однородного цилиндра сосредоточена в его геометрическом центре, где размещён стопорный винт, выразим осевой момент инерции муфт по формуле

(17).

На оси маховика жёстко укреплены два соосных шкива различных диаметров d₁иd₂, на которые в один ряд наматывается нить (нить считаем нерастяжимой и невесомой). Один конец нити прикрепляется к шкиву, к другому концу нити, переброшенной через вспомогательный блок 1, подвешивается груз массойm(4).

Изменением массы груза m, путём наложения перегрузков с массойm₁, можно изменять силу натяжения нити Т, под действием которой маховик совершает равномерно-ускоренное вращательное движение с угловым ускорением, которое согласно основному закону динамики вращательного движения (6) прямо пропорционально моменту силы натяжения нити. Поскольку сила натяжения направлена вертикально, её плечо в соответствии с (3) равноили.

Одновременно под действием силы тяжести груз mсовершает равноускоренное поступательное движение вниз. При этом считаем, что момент сил трения относительно оси вращения маховика мал по сравнению с моментом силы натяжения нити.

На вертикальной стойке прибора укреплены два кронштейна: нижний (5) – неподвижный, верхний (3) – подвижный. Верхний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в любом положении, задавая тем самым длину пути hвертикального перемещения грузаm.

Для измерения длины пути на стойке нанесена миллиметровая шкала.

Прибор снабжён счётчиком времени – миллисекундомером, не ведущим отсчёт времени при нажатых кнопках «сеть» или «сброс».

Измерения времени движения груза mосуществляется с использованием двух фотоэлектрических датчиков, вмонтированных в верхний и нижний кронштейны и подключенных к секундомеру. Расстояние между световыми лучами обоих датчиков равно длине пути вертикального перемещения грузаh. Датчики включаются в работу при нажатии клавиши «сеть».

Нажатие клавиши «пуск» включает секундомер и одновременно выключает электромагнит, удерживающий крестовину, после чего начинается вращение крестовины и движение груза mвниз.

При пересечении грузом верхнего светового луча секундомер начинает отсчёт времени. При пересечении нижнего светового луча секундомер автоматически выключается. Время движения груза от одного светового луча до другого высвечивается на индикаторе секундомера с абсолютной ошибкой , что намного меньше точности измерения времени человеком-оператором.

Расстояние между центрами масс, противоположно закреплённых грузов, измеряются мерной линейкой. Диаметры шкивов измеряются штангенциркулем. Массы грузов 4 заданы с абсолютной погрешностью.

Перед выполнением опытов на маховике Обербека необходимо добиться симметричного распределения грузов на крестовине. Это делается путём перемещения грузов 2 на противоположных стержнях так, чтобы при ненатянутой нити грузы оставались в состоянии безразличного равновесия.

Для проведения опытов маховик приводят в равноускоренное вращательное движение, опуская груз m₁с заданной высоты и измеряя при этом время его движенияtна путиh. Линейное ускорение движения груза можно вычислить по формуле

(18).

Так как при движении груза нить сматывается со шкива без проскальзывания, то линейное ускорение груза равно касательному ускорению точек, лежащих на цилиндрической поверхности шкива. Следовательно, угловое ускорение маховика

(19)

(где - радиус шкива).

С другой стороны согласно основному закону динамики вращательного движения (6) угловое ускорение пропорционально моменту силы натяжения нитии обратно пропорционально моменту инерцииIвсей системы (блок, крестовина, грузы) -. Момент силы

(где Т – сила натяжения нити, d/2 - плечо силы).

Согласно второму закону Ньютона действующая на нить сила

(20),

(где g– ускорение свободного падения,- линейное ускорение поступательного движения груза).

Поскольку нить не растяжима сила F, уравновешивается силойT. Следовательно, момент силы

(21).

Выразив из уравнения (6) и подставив в эту формулуииз (18) и (20) получим:

(22).

Как видно из (22), чтобы косвенно измерить момент инерции, надо прямыми измерениями найти массу груза,

создающего натяжение нити, диаметр блока, по которому движется точка приложения силы, высота с которой опускается груз, и время опускания.

Вычисленное по формуле (22) значение момента инерции маховика включает в себя момент инерции крестовины с блокоми момент инерции четырёх грузовс массойm (2):

(23).

Искомый момент инерции грузов

(24),

где - осевой момент инерции вращающихся грузов 2;

- осевой момент инерции маховика без грузов;

- осевой момент инерции маховика с грузами.

Осевой момент инерции маховика без грузов измеряется так же, как и момент инерции. В формулу подставляются значенияи, измеренные при вращении крестовины со снятыми с неё грузами.

Считая грузы материальными точками, можно рассчитать теоретическое значение осевого момента инерции по формуле (16):

(25),

(где m– масса одного вращающегося груза 2,r– расстояние центра масс груза от оси вращения).

Сопоставление значений моментов инерции четырёх вращающихся грузов, рассчитанных по формулам (23) и (24) позволяет судить о качестве проделанной работы.

Проделав косвенные измерения момента инерции груза при разных значениях расстоянияих центров от оси вращения (поочерёдно размещая грузы 2 на концах стержней, на их середине и вблизи оси крестовины), можно опытным путём установить характер зависимости момента инерции от распределения массы относительно оси вращения. По определению момента инерции, как меры инертности тела при вращательном движении, эта зависимость является квадратичной (5). Графиком такой зависимости является парабола. Откладывая на осизначения моментов инерции, рассчитанных по формулам (23) и (24), а по осиквадрат расстояния, можно построить экспериментальные и теоретические параболы. При этом принимать коэффициентравным массе 4-х грузов (). Совмещение точек таких парабол служит подтверждением качества выполнения эксперимента и правомерности применения модели материальных точек к однородным цилиндрам равной длины.