Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Н а д е ж н о с т ь / diagnost.pdf

Скачиваний:

119

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Рис.1.29. Примеры структурных схем нагруженного и ненагруженного резервирования.

Кратность резервирования

Обозначим:n – число однотипных элементов в системе;

r – число элементов, необходимых для функционирования системы.

Кратность резервирования – это соотношение между общим числом однотипных элементов и элементов, необходимых для работы системы:

k = n −r r

Кратность резервирования может быть целой, если r = 1, или дробной, если r > 1. Например (рис.1.30):

n = 3, r =1, k = 31−1 = 2 .

Рис.1.30. Пример двойного резервирования

1.6.2.1. Надежность систем с нагруженным резервированием

Когда мы рассматривали надежность основной системы (последовательное соединение элементов), мы выяснили, что работоспособность ОС обеспечивается при условии, когда все n элементов системы находятся в работоспособном состоянии.

Рассмотрим систему [16], состоящую из одного основного (на рис.1.31 - 1-й элемент) и n −1 резервных элементов.

Структура систем с нагруженным резервированием - имеет вид параллельного соединения элементов надежности.

Рассмотрим пример системы с нагруженным резервированием, состоящей из двух элементов. Обозначим ВБР первого элемента P1 , а второго - P2 .Система будет работоспособна в двух случаях:

• когда оба элемента работоспособны: PI = P1 P2 ;

• когда первый работоспособен, а второй – нет, или наоборот:

PII = P1 (1− P2 )+ P2 (1− P1 ).

Найдем ВБР системы:

PC (t)= PI + PII = P1 P2 + P1 (1− P2 )+ P2 (1− P1 )= P1 + P2 − P1 P2 .

Рис.1.31. Структура системы с нагруженным резервированием.

Отказ такой системы наступит, если откажут оба элемента:

QC (t)= Q1 Q2 = (1− P1 )(1− P2 ).

В этом случае ВБР системы

PC (t)=1−(1− P1 )(1− P2 )= P1 + P2 − P1 P2 .

Теперь рассмотрим пример системы, состоящей из трех элементов. Система будет работоспособна в трех случаях:

•когда все три элемента работоспособны: PI = P1 P2 P3 ;

•когда работоспособны любые два элемента из трех:

PII = P1 P2 (1− P3 )+ P2 P3 (1− P1 )+ P3 P1 (1− P2 ).

• когда работоспособен один из трех элементов:

PIII = P1 (1− P2 ) (1− P3 )+ P2 (1− P1 ) (1− P3 )+ P3 (1− P1 ) (1− P3 )

Найдем ВБР системы:

PC (t)= PI + PII + PIII				= P1 P2 P3 − P1 P2 − P1 P3 − P2 P3 + P1 + P2 + P3 .
или
P	(t)=		Cn3		−		Cn2		+	n
P	(t)=		P P	P	−		P P		+	P .
C		∑	∏ i j	k		∑	∏ i	j		∑ i
			1				1			i=1

Отказ такой системы наступит, если откажут три элемента:

QC (t)= Q1 Q2 Q3 = (1− P1 )(1− P2 )(1− P3 ).

В этом случае ВБР системы

PC (t)=1−(1− P1 )(1− P2 )(1− P3 )= P1 P2 P3 − P1 P2 − P1 P3 − P2 P3 + P1 + P2 + P3 .

Итак, переходя к системам с нагруженным резервированием, когда резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу), удобнее переходить от работоспособности системы к ее отказу.

А отказ системы с нагруженным резервировании происходит только при отказе всех n элементов (при условии, что отказы элементов независимы).

Тогда вероятность отказа (ВО) и вероятность безотказной работы (ВБР) системы равны соответственно

n
Qc (t) = ∏Qi (t),	(1.80)

i=1

						62
		n
	Pc (t) =1−Qc (t) =1−∏Qi (t) ,					(1.81)
		i=1
	Так как	Qi (t) =1− Pi (t),				(1.82)
		n
то	Pc (t) =1−∏[1− Pi (t)] .					(1.83)
		i=1
	Средняя наработка на отказ (математическое ожидание				наработки до отказа):
	∞	∞		n
	Tcр = ∫Pc (t)dt = ∫		1	−∏[1− Pi (t)] dt .		(1.84)
	0	0		i=1
	При идентичных элементах системы, т. е.
	P1(t) = P2 (t) = ... = Pn (t) = P(t) ,			Q1(t) = Q2 (t) =... = Qn (t) = Q(t)

ВБР и ВО системы примут вид соответственно:

n		1−[1− P(t)]n ;
Pc (t) =1−∏[1− Pi (t)] =		1−[1− P(t)]n ;	(1.85)
i=1
n	(t) = Qn (t).
Qc (t) = ∏Qi	(t) = Qn (t).		(1.86)
i=1
Средняя наработка на отказ Tcp = ∞∫{1−[1− P(t)]n }dt .			(1.87)
	0

Для системы с экспоненциальным законом распределения наработки

каждого из n элементов:

Pi (t) = e−λit ,

где λi = const , найдем показатели безотказности.

до отказа

(1.88)

1.Неидентичные элементы λ1 ≠ λ2 ≠ ... ≠ λn

		n
ВБР:	Подставим (1.88) в (1.83):	Pc (t) =1−∏(1− e−λit ).		(1.89)
		i=1
		n	−λit ) .
ВО:	Подставим (1.88) в (1.80) и (1.82): Qc (t) = ∏(1− e		−λit ) .	(1.90)
		i=1
Средняя наработка на отказ для систем с экспоненциальной наработкой
	Tcp = ∞∫ 1−∏n (1− e−λit )dt .
	0 i=1
	n	(1− e−λ1t )(1− e−λ2t )...(1− e−λnt ) =
Рассмотрим отдельно ∏(1− e−λit ) =		(1− e−λ1t )(1− e−λ2t )...(1− e−λnt ) =
	i=1
=1− e−λ1t − e−λ2t −... − e−λnt + e−(λ1 +λ2 )t +... + e−(λn−1 +λn )t −
		n	.
		−(∑λi ) t
− e−(λ1 +λ2 +λ3 )t −... − e−(λn−2 +λn−1 +λn )t + (−1)n e i=1

Теперь

∞

+... + e−λnt − e−(λ1 +λ2 )t

−... − e−(λn−1 +λn )t +

Tcp

= ∫[1−1+ e−λ1t + e−λ2t

+ e

−(λ

+λ

... + e

−(λ

n−2

+λ

n−1

+λ

+ (−1)

−(∑

λi ) t

i=1

]dt =

−λ t

∞

−λ

∞

−λ

∞

= −

−

−... −

e−(λ1 +λ2 )t |0∞ +... +

e−(λn−1 +λn )t |0∞ −

λ1

λn−1 + λn

+ λ2

−

e−(λ1 +λ2 +λ3 )t

|0∞ −... −

e−(λn−2 +λn−1 +λn )t |0∞ +

λ1

+ λ2 + λ3

λn−2

+ λn−1 + λn

+ (−1)n n1 e−(i∑=1λi ) t |∞0 .

∑λi

i=1

После подстановки пределов интегрирования получим

+...

−

−...

−

λ + λ

n−1

... +

(−1)

n+1

λ1 + λ2 + λ3

λn−2 + λn−1 + λn

∑λi

i=1

2. Идентичные элементыλ1 = λ2 =... = λn = λ

ВБР:

Подставим (1.88) в (1.85):

P (t) =

1− (1− e−λt )n .

(1.91)

ВО:

Подставим (1.88) в (1.86): Q

(t) = (1− e−λt )n .

(1.92)

Результаты (1.89)-(1.92) занесем в таблицу табл.1.4.

Табл. 1.4. ВБР и ВО для системы с нагруженным резервированием

Неидентичные

Идентичные

элементы

λ1 ≠ λ2 ≠ ... ≠ λn

λ1 = λ2 =... = λn = λ

ВБР:

Pc (t) =1

Pc (t) =1− (1− e

−λt

)

−∏(1− e−λit )

i=1

ВО:

−λit )

Qc (t) = (1

− e

−λt

)

Qc (t) = ∏(1− e

i=1

При идентичных n элементах системы найдем среднюю наработку до отказа:

Tcp = ∞∫[1− (1− e−λ t )n ]dt =

Введем замену переменных: x =1− e−λ t .

Тогда e−λ t =1− x

. После логарифмирования

ln e−λt = ln(1− x) .

Или − λt = ln(1− x) . Отсюда

t = −

ln(1− x) .

Теперь вычислим дифференциал

dt =

(1− x)

Замена переменной привела к изменению пределов интегрирования:

t = 0 → x =1−1 = 0 ;

t = ∞ → x =1− e−∞ =1.

1 1

− x

∫(1

)

1− x

∫

− x

−

∫

− x

dx .

0 1

Известны следующие табличные интегралы:

xndx

(−1)i−1bi−1xi

(−1)n bn

ax + b

;

∑

ax + b

∫ax + b

an+1

i=1

Для наших интегралов имеем a = −1,b =1.

Подставим наши значения a и b.Теперь вычислим отдельно

= −ln1− x

|10 ;

∫

1− x

xndx

(−1)i−1 xi

(−1)n

= ∑

ln1− x

= −∑

− ln1− x

0∫1− x

i (−1)i

(−1)n+1

i=1

Вычислим значение круглой скобки в :

(...) = −ln1− x

+∑

∑

|0 +ln1− x

|0 .

i=1

Подставляя пределы интегрирования, получим

1 n

Tcp =

∑

(1+

+... +

(1.93)

λ i=1

λ i=1 i

При большом n (n → ∞), гармонический ряд

∞

=1+

+... +

≈ ln n + C ,

∑

i=1 i

где С = 0,5772...

Тогда

≈

(ln n +C).

(1.94)

Таким образом, при нагруженном резервировании средняя наработка до отказа прямо пропорциональна натуральному логарифму числа элементов. Для сравнения, для

систем без резервирования (ОС) Tcp = n1λ .

Напомним, что кратность резервирования k =								n − r		,

где n – число однотипных элементов в системе;									r

r – число элементов, необходимых для функционирования системы.
При r =1, выразим		n = k +1.
Подставим полученное значение n в формулу средней наработки до отказа систе-
мы при идентичных элементах (1.93):
	1	k +1		1			1
Tc =		∑1	=		(1+	1 +... +			) .	(1.95)

	λ i=1 i			λ		2	k +1
Поскольку λ = const , то			средняя наработка Tc						повышается по мере увеличения
кратности резервирования.

Обозначим T0 = λ1 - средняя наработка основного элемента.

Тогда выражение (1.95) примет вид

k +1

Tc =T0 ∑

=T0 (1+

... +

k +1

i=1 i

Например,

при

k =1 (однократное резервирование)

=T (1+

1) =

3 T

=1,5T

- увеличение T

на 50%;

k = 2

при

(двукратное резервирование)

=T (1+

+ 1) =

11T

=1,83T

- увеличение T

на 83%;

при

k = 3

(трехкратное резервирование)

=T (1+ 1 + 1 +

1) =

25T = 2,08T - увеличение T

на 108%.

Таким образом, динамика роста Tcp

составляет: 50, 33 и 25%, т. е.

с увеличением

кратности системы с нагруженным резервированием динамика роста средней наработки на отказ системы уменьшается.

1.6.2.2. Надежность систем с ненагруженным резервированием

Рассмотрим систему [16], состоящую из основного элемента (ОЭ), одного резервного (РЭ) и переключающего устройства (ПУ) подключения резервного элемента вместо отказавшего основного (рис.1.32). ОЭ и РЭ являются невосстанавливаемыми объектами.

Примем следующие допущения:

1.Время замены отказавшего элемента резервным равно нулю (tз = 0 ).

2.Переключающее устройство – абсолютно надежно PПУ (t) =1.

3.При ненагруженном резервировании резервный элемент не может отказать, находясь в отключенном состоянии PРЭ(t) =1, и его показатели надежности не изменяются.

Рис. 1.32. Структура системы с ненагруженным резервированием

Безотказная работа системы состоит из безотказной работы ОЭ или отказа ОЭ, включения РЭ и безотказной работы РЭ.

События, соответствующие работоспособности системы за наработку (0,t ): A = {безотказная работа (БР) системы за наработку (0,t )};

A1 = {БР ОЭ за наработку (0,t )}; A2 = {отказ ОЭ в момент t >τ , включение (tз = 0 ) РЭ и

БР РЭ на интервале (t −τ )}.

Событие A состоит в появлении хотя бы одного из событий A1 и A2 , поэтому

A = A1 A2

Здесь - оператор дизъюнкции – логическое «ИЛИ», а согласно теореме о сложении вероятностей:

P(A) = P(A1) + P(A2 ),

где P(A) = Pc (t) - ВБР системы к наработке t (за наработку (0,t )); P(A1) = P1(t) – ВБР ОЭ к наработке t ;

P(A2 ) – вероятность отказа ОЭ и БР РЭ после отказа ОЭ.

При известном законе распределения наработки до отказа ОЭ вычисление P1(t) не представляет сложности.

Событие A2 является «сложным» событием, включающим в себя простые: A21 = {отказ ОЭ при τ < t (вблизи рассматриваемого момента τ )};

A22 = {БР РЭ с момента τ до t , т. е. в интервале (t −τ )}.

Событие A2 осуществляется при одновременном выполнении событий A21 и A22 : A2 = A21 A22 - логическое «И» - оператор конъюнкции.

События A21 и A22 являются зависимыми, поэтому вероятность события A2 согласно теореме об умножении вероятностей

P(A2 ) = P(A21) P(A22 | A21) .

Соответствующие вероятности:

1) P(A22 | A21) = P2 (t −τ) – ВБР РЭ в интервале (t −τ ), где P2 (t) – ВБР РЭ к наработке t .

2) P(A21) - ВО ОЭ. Для определения P(A21) рассмотрен малый интервал (τ,τ + dτ ), для которого вероятность отказа ОЭ равна:

dQ1(τ) = a1(τ)dτ ,

где a1(τ)- частота отказа (ПРО) ОЭ к моменту τ . Вероятность события A2 за малый интервал (τ,τ + dτ ):

dP(A2 ) = P(A21) P(A22 | A21) = a1(τ)dτ P2 (t −τ).

Интегрируем полученное выражение по τ от 0 до t :

t	t
P(A2 )= ∫a1(τ)dτ P2 (t −τ) = ∫P2 (t −τ) a1(τ)dτ
0	0

Тогда ВБР рассмотренной системы с ненагруженным резервом равна:

t
Pc (t) = P1(t) + ∫P2 (t −τ)a1(τ)dτ .	(1.96)
0
Аналогично, для системы с одним ОЭ и (n −1) РЭ, получает ся рекуррентное вы-
ражение:
t
Pc (t) = Pn−1(t) + ∫Pn (t −τ)an−1(τ)dτ ,	(1.97)
0

где индекс (n −1) означает, что соответствующие характеристики (ВБР и ПРО) относятся к системе, в которой включается в работу последний n - й элемент.

Выражение (1.97) приведено для состояния, когда к моменту τ отказал предпо-

следний ( n −1)	элемент системы и остался лишь один (последний) работоспособный
элемент.
Выражение (1.97) можно представить по-другому:
Так как	Pn (t −τ) =1−Qn (t −τ) , то формулу (1.97) запишем в виде
	Pc (t) = Pn−1(t) + ∫t [1−Qn (t −τ)]an−1(τ)dτ =
	0
	t	t
	= Pn−1(t) + ∫an−1(τ)dτ + ∫Qn (t −τ)an−1(τ)dτ =
	0	0
По определению an−1(τ) = dQn−1(τ)		t
По определению an−1(τ) = dQn−1(τ)		, следовательно ∫an−1(τ)dτ = Qn−1(t) .
	dτ	0
		0

		68
	t	t
Тогда = Pn−1(t) +Qn−1(t) − ∫Qn (t −τ)an−1(τ)dτ =1− ∫Qn (t −τ)an−1(τ)dτ.
	0	0
	t
Таким образом	Pc (t) =1− ∫Qn (t −τ)an−1(τ)dτ.	(1.98)
	0
t
Qc (t) = ∫Qn (t −τ)an−1(τ)dτ.		(1.99)
0

Пример 1. Пусть n = 2 . Примем для рассматриваемой системы, что наработки до отказа ОЭ и РЭ подчиняются экспоненциальному распределению с параметрами λ1 и λ2 :

P (t) = e−λ1t ;			P (t) = e−λ2t .
1			2
Найти: Pc (t).
В интервале (t −τ ) будем иметь P				(t −τ) = e−λ2 (t−τ ) .
			2
Кроме того, a	(τ) = −	dP1(τ)	= λ e−λ1τ .
Кроме того, a	(τ) = −		= λ e−λ1τ .
1		dτ	1
		dτ

Полученные выражения, подставим в формулу (1.96) для ВБР системы:

Pc (t) = e

−λ t

+ ∫e

−λ

(t−τ )

λ1 e

−λτ

−λ t

+ λ1 ∫e

−λ

(t−τ )

−λτ

dτ =

1 dτ = e

= e−λ1t + λ1 ∫t

e−λ2t e(λ2 −λ1 )τ dτ = e−λ1t + λ1e−λ2t

e(λ2 −λ1 )τ

λ2 −λ1

−λ1t

λ1

−λ2t

(λ2 −λ1 )t

−λ1t

λ1

−λ1t

−λ2t

= e

−1 = e

−e

λ2 −λ1

(λ2e−λ1t −λ1e−λ2t ).

−λ

Итак, выражение (1.96) после интегрирования имеет вид:

Pc (t) = λ2 1− λ1 (λ2e−λ1t − λ1e−λ2t ).

Плотность распределения наработки до отказа системы, равна:

ac (t) = − dPc (t)	=	λ1λ2	(e−λ1t − e−λ2t ).

dt		λ2 − λ1

Пример 2. Рассмотрим случай идентичных элементов

P1(t) = P2 (t) = e−λt .

Найти: Pc (t).

Подставить λ1 = λ2 = λ в формулу (1.100) нельзя.

В интервале (t −τ ) будем иметь P2 (t −τ) = e−λ(t−τ ) .

(1.100)

(1.101)

Кроме того, a (τ) = −

dP1(τ)

= λe−λτ .

dτ

Полученные выражения, подставим в формулу (1.96) для ВБР системы:

Pc (t) = e−λt + ∫e

−λ(t−τ ) λ e−λτ dτ = e−λt + λ∫e−λt+λτ −λτ dτ =

λe−λtτ

t = e−λt (1+ λt).

= e−λt + λe−λt ∫dτ = e−λt +

Итак, для n = 2 и идентичных элементов, имеем

(t) = e−λt

(1+ λt).

(1.102)

Пример 3. Пусть n = 3(рис.1.33). Формула (1.97) теперь примет вид

Pc (t) = P2 (t) + ∫P3 (t −τ)a2 (τ)dτ .

(1.103)

Используя результат предыдущего случая, имеем

P (t) = e−λt (1+ λt).

P (t −τ) = e−λ(t−τ ) .

a2 (τ) = −

dP2 (τ)

= −[(−λ) e−λτ (1+

λτ )+ λ e−λτ ]= λ2τ e−λτ .

dτ

РЭ

Рис. 1.33. Пример системы с ненагруженным резервированием при n = 3.

Подставляя последние выражения в формулу (1.103), получим

Pc (t) = e−λt (1+ λt)+ ∫t e−λ(t−τ ) λ2τ e−λτ dτ =

= e−λt (1+ λt)+ λ2e−λt t τdτ = e−λt (1+ λt)+ λ2e−λt t2				= e−λt 1	+ λt +	(λt)2 .
	∫		2			2
	0		2			2
Итак, для n = 3 и идентичных элементов, имеем
P	(t) = e−λt 1+ λt + (λt)2		.			(1.104)
c		2
		2
Аналогично получим ВБР для n = 4 и идентичных элементов:
P	(t) = e−λt 1	+ λt + (λt)2	+ (λt)3 .			(1.105)
c		2	6
		2	6

Проанализируем, как изменяется ВБР системы при различной кратности резервирования:

1. k = 0; n =1;

P (t) = e−λt ;

2. k =1; n = 2;

P (t) = e−λt (1+ λt);

3. k = 2; n = 3;

(t) = e

(λt)2

;

−λt 1+ λt +

4. k = 3; n = 4;

(t) = e−λt 1

+ λt + (λt)2 +

(λt)3 .

В общем случае для идентичных ОЭ и (n −1) РЭ и экспоненциальном распределе-

нии наработки элементов для ВБР системы с ненагруженным резервом и целой кратно-

стью резервирования k =

n − r

, где r = 1:

P (t)

= e−λt

+ λt

(λt)2

+... +

(λt)n−1

(n −1)!

или

Pc (t)

n−1

(λt)i

= e−λt

(λt)i

(1.106)

= e−λt ∑

∑

i=0

где n – число элементов системы;

k = n −1 - кратность резервирования, при r = 1 .

ПРО системы:

n−1

a (t) = −dPc (t)

= −

(e−λt )

∑

(λt)

+ e−λt

∑

(λt) =

i=0

dt i=0

n−1

(λt)λ

n−2

(λt)

... +

(λt)

+ e−λt

λ +

... +

(n −1)(λt)

− −λe−λt 1+ λt +

(n −1)!

(λt)

−λt

n−1

n−2

= λe

1+ λt +

+... +

−

1+ λt

+... +

(n −1)!

(n − 2)!

= λe

−λt

(λt)n−1

(n −1)!

Итак,

ac (t) = λe

−λt (λt)n−1 .

(1.107)

(n −1)!

ИО системы:

(t)

λ (λt)n−1

(1.108)

λc (t)

Pc (t)

(n −1)!

n−1(λt)i

∑

i=0 i!

Сравнение ненагруженного и нагруженного резервирований представлено на рис.1.34 и проведено по графику Pc(t) для системы с идентичными элементами (λi = λ )

и кратностью резервирования k = 2.

Рис.1.34. Сравнение ВБР систем с ненагруженным и нагруженным резервом

Кривая 1 (сплошная) для системы с ненагруженным резервированием и

P		(λt)2
P	(t) = e−λt 1+ λt +		.
c		2
		2

Кривая 2 (прерывистая) для системы с нагруженным резервированием и

Pc (t) =1− (1− e−λt )3 .

Наибольшая эффективность от использования системы с ненагруженным резервом будет при продолжительности работы РЭ не менее 1.5 T0 .

1.6.2.3. Надежность систем с облегченным резервом

Итак, ненагруженный резерв более эффективен, чем нагруженный.

Однако, ненагруженный резерв в рамках принятых допущений не всегда осуще-

ствим.

Во-первых, в авиа- и судовых системах как основные, так и резервные элементы подвержены вибрации, ударам, повторно-статическим нагрузкам, перепадам температур и т. п. Поэтому не включенные в работу резервные элементы будут иметь некоторую λ ≠ 0, то есть они также изнашиваются, но менее интенсивно.

Во-вторых, на практике трудно обеспечить абсолютно надежное и мгновенное подключение резервных элементов, особенно это касается таких инерционных элементов, как гироскопы (время готовности, прогрев и т.д.).

Поэтому, в ряде практических случаев, уместно применять облегченный резерв, при котором:

•резервные элементы (РЭ) подключены к цепям питания для прогрева и удержания требуемых значений параметров;

•внешние нагрузки и воздействия приводят к изменению свойств материалов, рабочих параметров и т. п. РЭ.

При этом, РЭ будут иметь некоторую интенсивность отказов λ ≠ 0.

Согласно ГОСТ 27.002-89 облегченный резерв – резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент.

Рассмотрим систему, состоящую из равнонадежных основного (ОЭ) и резервного (РЭ) элементов (рис.1.35). Элементы невосстанавливаемые.

События, обеспечивающие безотказную работу (БР) системы за наработку (0,t ): A = {БР системы за наработку (0,t )};

A1 = {БР ОЭ за наработку ( 0,t )};

A2 = {отказ ОЭ в момент τ < t , включение РЭ и БР его на интервале (t −τ )}. Событие A представляет сумму событий A1 и A2

A = A1 A2

Рис.1.35. Структура системы с облегченным резервом

ВБР системы за наработку ( 0,t ), т.е. к наработке t равна сумме вероятностей со-

бытий A1 и A2 :

P(A) = P(A1) + P(A2 ),

где P(A) = Pc (t) – ВБР системы к наработке t ;

P(A1) = P0 (t) – ВБР ОЭ к наработке t за интервал ( 0,t );

P(A2 ) = Pp (t) – ВБР РЭ к наработке t , при условии, что ОЭ отказал.

При известном законе распределения наработки ОЭ вычисление P0 (t) не состав-

ляет

труда, подробнее рассмотрим определение P(A2 ).

Для этого событие A2 раскладывается на три составляющие:

•A21 = {отказ ОЭ при наработке t >τ };

•A22 = {БР РЭ до наработки τ – момента включения его в работу};

•A23 = {БР РЭ от τ до t , т.е. за интервал (t −τ )}.

Очевидно, событие A2 выполнится при одновременном выполнении всех собы-

тий:

A2 = A21 A22 A23 .

События A21, A22 , A23являются зависимыми, но поскольку они представляют ВБР или ВО элементов, наработки до отказа которых описываются своими законами распределения, то вероятность события A2 равна произведению вероятностей событий:

P(A2 ) = P(A21) P(A22 ) P(A23 ) .

Соответствующие вероятности определяются через:

•	Частоту отказа (ПРО) ОЭ: a	0	(τ) = dQ0 (τ) ,		dQ (τ) = a	0	(τ)dτ ,
		0		dτ	0	0
	P(A21) = dQ0 (τ) .			dτ
	P(A21) = dQ0 (τ) .
•	ВБР РЭ до момента τ отказа ОЭ:			P(A22 ) = Pp (τ) .
•	ВБР РЭ от момента τ включения в работу до t :				P(A23 ) = Pp (t −τ) .
Тогда вероятность события A2 за малый интервал dτ					при условии,	что ОЭ отка-
зал, будет равна:
dP(A2 ) = a0 (τ)dτ Pp (τ) Pp (t −τ) .
Интегрируя по τ , получим:
	t
P(A2 ) = Pp (t) = ∫Pp (τ) Pp (t −τ) a0 (τ)dτ .
	0
Тогда ВБР резервируемой системы с облегченным резервом:
	t
Pc (t) = P0 (t) + ∫Pp (τ) Pp (t −τ) a0 (τ)dτ .							(1.109)
	0
Аналогично, ВБР системы, состоящей из n равнонадежных элементов:
	t
	Pc (t) = P(n−1)c (t) + ∫Pp (τ) Pp (t −τ) a(n−1)c (τ)dτ ,						(1.110)
	0
где индекс	(n −1)c означает, что ВБР и ПРО относятся к системе, при отказе которой

включается рассматриваемый n – й элемент.

При экспоненциальном распределении наработки до отказа элементов составляю-

щие расчетного выражения принимают вид:

P (t) = e−λраб t

;

(τ) = −

dP0 (τ)

(τ) = λ

раб

e−λраб τ

;

dτ

P (τ) = e−λр τ

;

P (t −τ) = e−λраб (t−τ ) ,

где λраб – ИО элементов в рабочем режиме; λр – ИО РЭ в режиме резерва.

Следует обратить внимание на последнее выражение – после подключения РЭ его ИО будет равна λраб .

При наличии одного ОЭ и одного РЭ (n = 2 ), ВБР определяется по формуле

(1.109):

−τ) a0 (τ)dτ = e

−λ

−λ τ

−λ

(t−τ )

λрабe

−λ τ

dτ =

Pc (t) = P0 (t) + ∫Pp (τ) Pp (t

раб

+ ∫e

раб

= e

−λ

λрабe

−λ

−λ τ

dτ = e

−λ

+ λрабe

−λ

−λ τ

раб

∫e

раб

(−

λр )

= e−λрабt

−

λраб

e−λрабt (e−λрt

−1)= e−λрабt 1−

λраб

(e−λрt

−1)

= e−λрабt 1+

λраб

(1− e−λрt )

λр

Тогда ВБР резервируемой системы с облегченным резервом:

Pc (t)

= e−λрабt 1+

λраб

(1−e−λpt ) .

(1.111)

λр

Найдем среднюю наработку на отказ для n = 2 :

∞

раб

Tcр

= ∫Pc (t)dt = ∫e−λрабt

− e−λpt )dt =

∞

−λ

λраб

∞

−λ

λраб

∞

−(λ

+λ

= ∫e

раб

∫e

раб

dt −

∫e

раб

dt =

λраб

2λраб

+ λ

−

λр (λраб

+ λр )

λрабλр (λ

+ λр )

λраб

λр

раб

λраб

раб

При наличии одного ОЭ и двух РЭ ( n = 3), ВБР системы теперь определяется по формуле (1.110), при этом из предыдущего примера имеем:

P2c (t) = e

−λрабt 1

λраб

(1−e−λpt )

λр

P (τ) = e−λр τ ;

P (t −τ) = e−λраб (t−τ ) .

Вначале найдем частоту отказов

a2c (τ) = −

dP (τ)

−λрабτ

λраб

(1−e

−λpτ

+ e

−λрабτ

λраб d

−λрτ

dτ

= − dτ

) 1+ λ

)

λ dτ

−λ τ

раб

1−e

−λ τ

−e

−λ τ λ

раб

−λ τ

= λ

раб

λр

раб

(

)

−λрабτ

λраб

−e

−λpτ

)

−e

−λpτ

= λ

λр

раб

(

λраб

= λрабe−λрабτ 1+

−

e−λpτ

−e−λpτ

λр

−λрабτ

λраб

1−e

−λpτ

)

= λ

раб

(

Подставим полученное выражение в (1.110):

Pc (t)

=P2c

t	λ	раб
= P2c (t) + ∫e−λрτ e−λраб (t−τ )λрабe−λрабτ 1+				(1− e−λpτ )dτ =

0	λ		р

раб

−λ

(t) + λ

раб

рабt ∫e−λрτ (1− e−λpτ )dτ =

λраб

−λ

t t

−λ τ

−2λ τ

(t) + λ

раб

∫e

dτ −

∫e

dτ

λраб

−λ

−λ τ

−2λ τ

(t) + λ

раб

−

λр

(−

λр )

(−

2λр )

(t) + λ

λраб

−λ

)

−λ

−1)−

)(e

−2λ

раб 1+

(−

(− 2λ

−1)

раб

1 (1− e

−λрt )

(t) +

e−λрабt 1− e−λрt

−

λр

раб

λраб

−λ

−2λ

(t) +

раб 1− e

−

λр

	1	λ	раб			λ	раб
= P2c (t) +					1+				e−λрабt (1− 2e−λрt + e−2λрt )=
	2
		λ		р		λ		р

	1	λ	раб			λ	раб			2
= P2c (t) +					1+				e−λрабt (1	− e−λpt ).
	2
		λ		р		λ		р

Итак, после вычисления интеграла получим:

	1	λ	раб			λ	раб			2
Pc (t) = P2c (t) +					1+				e−λрабt (1	−e−λpt ) .	(1.112)
	2
		λ		р		λ		р

Проводя аналогичные вычисления при n > 3, методом индукции получим общее выражение для системы из n элементов с экспоненциальной наработкой до отказа

n−2

раб

n−1

Pc (t) = P(n−1)c (t) +

∏

j +

e−λрабt (1

−e−λpt )

(n −1)

j=0

Средняя наработка до отказа системы из n элементов:

n−1

Tc =

∑

раб

j=01

+ j

λр

λраб

Для практических расчетов систем с облегченным резервированием в случае, если ОЭ имеет P0 (t) = e−λраб t и идентичные резервные элементы (РЭ)

Pp (τ) = e−λр τ – для n −1 резервных элементов,

ВБР системы может быть приближенно определена по выражению:

		t ∏n [λраб + (i −1)λр ]
P (t) ≈1−		i=1

c		n!

где n – общее число элементов системы.
Например, при n = 2 ( k =1, m =1)
P (t) ≈1−	t λраб (λраб + λр )		;

c		2!

при n = 3		( k = 2, m =1)

Pc (t) ≈1− t λраб (λраб + λр )(λраб + 2λр ).

Облегченное резервирование используют при большой инерционности переходных процессов при переходе из резервного в основной режим.

1.6.2.4. Надежность систем со скользящим резервированием

Для резервирования систем, которые состоят из одинаковых элементов, можно использовать небольшое число резервных элементов, подключающихся взамен отказавших основных [16]. Отказ системы наступает лишь в случае, когда число отказавших основных элементов превысит число резервных.

Такое резервирование называется скользящим, потому что резервный элемент может быть включен взамен любого из отказавших элементов основной системы.

Примером скользящего резервирования является одна резервная линия связи на три основных.

Скользящее резервирование является активным тогда, когда есть переключающее устройство, определяющее наличие отказа и включающее резервный элемент.

Структура системы со скользящим резервированием представлена на рис.1.36.

Рис.1.36. Структура системы со скользящим резервированием

Здесь основная система состоит из n элементов, а резервная группа – m элемен-

тов.

Обычно m < n , т. е. число резервных элементов (РЭ) меньше числа основных (ОЭ), поэтому скользящее резервирование считается активным с дробной кратностью.

Рассмотрим случай определения ВБР системы с одним РЭ (m =1) на n элементов

основной системы (рис.1.37).

Допущение: пусть РЭ и все элементы основной системы равнонадежны и РЭ не может отказать до момента его включения в работу.

Рис.1.37. Структура системы со скользящим резервированием (с одним РЭ)

Соответствующие вероятности:

1. Выделяется бесконечно малый интервал [τ,τ + dτ] и определяется ВО ОЭ в ин-

тервале [τ,τ + dτ]:
a(τ) = dQ(τ)	dQ(τ) = a(τ)dτ .
dτ

2.ВБР ПУ до момента τ отказа одного из элементов ОС равна Pп(τ);

3.ВБР РЭ с момента τ его включения, т. е. за интервал (t −τ ): Pp (t −τ) .

Тогда ВБР системы в течение наработки [τ,τ + dτ] при отказе первого элемента

ОС, равна:

a(τ)dτ Pп(τ) Pp (t −τ)

Интегрируя по всем τ от 0 до t , определяется ВБР системы при условии, что первый из элементов ОС отказал:

P(A21 ) = ∫a(τ) Pп(τ)Pp (t −τ)dτ .

Мы получили вероятность события A2 при отказе 1-го элемента ОС. Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из n элементов ОС. По-

сле отказа одного из элементов, n −1 элементов должны остаться работоспособными:

Pn−1(t) P(A21 ) = Pn−1(t) ∫a(τ) Pп(τ)Pp (t −τ)dτ

Поскольку событие A2 , заключающееся в БР системы, подразумевает БР при отказе любого из n элементов ОС, то его можно рассматривать, как

A2 = A21 A22 A23 ... A2n

Поэтому ВБР системы при отказе i =1,n элемента ОС выражается:

P(A2 )= P(A21 )+ P(A22 )+ P(A23 )+... + P(A2n )=

= n Pn−1(t) ∫a(τ) Pп(τ) Pp (t −τ)dτ.

Тогда ВБР системы со скользящим резервом определяется:

P (t)= P(A ) + P(A ) = Pn−1(t)

P(t) + n

a(τ) P

(τ) P (t −τ)dτ

∫

Рассмотрим случай экспоненциального распределения наработки до отказа основ-

ных

P(t) = e−λ0t

(и,

следовательно

a(τ) = λ0e−λ0τ )

резервных

элементов

P (t −τ) = e−λ0 (t−τ ) , а также переключающего устройства (ПУ)

P (t) = e−λпt .

Вначале вычислим интеграл:

∫a(τ) Pп(τ)Pp (t −τ)dτ = λ0 ∫e−λ0τ e−λпτ e−λ0 (t−τ )dτ =

= λ0 ∫e−λ0τ e−λпτ e−λ0t e+λ0τ dτ = λ0e−λ0t

∫e−λпτ dτ =

= −

λ0 e−λ0t e−λпτ

= − λ0 e−λ0t (e−λпt −1)=

λ0 e−λ0t (1− e−λпt ).

λп

Теперь вычислим ВБР системы:

(t)= e−nλ0t 1+ n λ0

(1−e−λпt ).

λп

При большем числе резервных элементов (m >1) при определении Pc (t) рассмат-

риваются четыре несовместных события (для m = 2 ), при которых возможна БР системы и т. п.

1.6.2.5. Мажоритарные системы (резервирование с дробной кратностью)

Надо отметить, что исторически первыми появились системы, резервированные по методу голосования – мажоритарные системы [11]. Такие системы содержат n одинако-

вых элементов, объединенных схемой голосования «k из	k
	n »	.
	n

В основу мажоритарной системы положен логический анализ результатов всевозможных попарных сравнений выходных сигналов элементов. На выход мажоритарной системы (рис.1.38) передается информация y , совпадающая с выходной информацией, по

крайней мере, в k из n элементов.

Рис.1.38. Структура мажоритарной системы резервирования

Формула для ВБР мажоритарной системы с одинаковыми элементами имеет вид

[20]:

					n−k
					Pc (t) = ∑Cni pen−i qei ,	(1.113)
					i=0
где Ci	=	n!	; p	,q	- надежность (ВБР) и вероятность отказа одного элемента со-
где Ci	=	(n −i)! i!	; p	,q	- надежность (ВБР) и вероятность отказа одного элемента со-
n		(n −i)! i!	e	e

ответственно.

Получим выражение для средней наработки на отказ.

Для системы из двух одинаковых элементов (при n = 2и k =1) получим выражение для ВБР:

Pc (t) = pe2 + 2 pe qe .

Для системы из трех одинаковых элементов (при n = 3и k = 2 ) и правиле голосования 2/3, выражение для ВБР будет иметь вид

Pc (t) = pe3 +3pe2 qe .

Для системы из четырех одинаковых элементов (при n = 4и k = 3) и правиле голосования 3/4 получим выражение для ВБР

P (t) = p4		+ 4 p3		q .
c	e		e		e
Предположим,			что		p = e−λt ,	q =1−e−λt . Используя формулу (1.15), получим
					e	e

выражения для средней наработки на отказ для рассмотренных примеров:

p0 (t)


при n = 2	и k =1:	Tcp =	3		=		1		1		+		1			;

				2λ			λ		1				2

при n = 3и k = 2 :		Tcp =	5		=		1		1		+		1
															;
				6λ			λ		2				3

при n = 4	и k = 3:	Tcp =	7			=	1			1		+		1			;

			12λ					λ		3				4

………………………………………………….

Для общего случая системы из n и k	элементов: Tcp =	1		1	+	1

		λ				k +1
			k

Тогда среднюю наработку на отказ можно выразить рекуррентной формулой

Tcp = 1 ∑n−k k 1 i .

λ i=0 +

Сравним надежность мажоритарной системы и системы с нагруженным резерви-

рованием. Так для системы из трех одинаковых элементов Tcp = 65λ . Напомним, что для систем с нагруженным двукратным резервированием (при n = 3и k = 2 ) мы раньше по-

лучили Tcp = 611λ . ВБР для таких двух систем имеет практически одинаковое значение.

Таким образом, мажоритарная система менее надежна, чем система с нагруженным резервированием.

Кроме того, недостатком такого способа резервирования является неполное использование аппаратурных ресурсов, поскольку отказ системы наступает при k −1 исправных элементах.

1.6.2.6. Надежность резервированных систем с восстановлением

До сих пор предполагалось, что отказавшие элементы не подлежат восстановлению. Рассмотрим надежность систем, у которых происходит восстановление отказавших элементов [11]. Алгоритм функционирования системы, у которой кроме отказа может еще возникнуть сбой, изображен на рис.1.39.

При обнаружении сбоя система переходит к восстановлению процесса измерения и обработки информации, а при возникновении отказа к этим действиям добавляются поиск

места отказа и включение резервного элемента. Получим для этого случая ВБР .

Восстановление процесса измерения и обработки информации

Сбой

Начало

Безотказная

работа

Отказ или сбой

Отказ

Поиск отказа и включение резервного элемента

Рис.1.39. Алгоритм функционирования системы с восстановлением

Вначале рассмотрим систему, состоящую из одного восстанавливаемого элемента ( n =1), поведение которой описывается графом состояний на рис.1.40.

		λ
	S0	λ	S1



		µ

Рис.1.40. Пример системы с восстановлением
Система находится в одном из двух состояний:
S0 - безотказная работа (БР) системы; такому состоянию соответствует ВБР				p0 (t);
S1- отказ и восстановление системы; такому состоянию соответствует				p1(t) ,
причем
p0 (t) + p1(t) =1.				(1.114)

Будем предполагать, что вероятность безотказной работы и вероятность восстановления распределены по экспоненциальному закону, при этом интенсивность отказов элемента равна λ , а интенсивность восстановления равна µ .

Придадим t малое приращение ∆t и найдем p0 (t + ∆t) - вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 . Данное событие ( A), причем

P(A)= p0 (t + ∆t) ,

					82
может произойти двумя способами:
1.	Событие A1 : в момент t				система была в состоянии S0 – подсобытие A11 =
{БР системы за время t }, вероятность					P(A11 )= p0 (t) и за ∆t не вышла из него – под-
событие A12 ={БР системы за время∆t },
	P(A	)= p	бр	(∆t) = e−λ∆t ≈1− λ∆t
	12

A1 = A11 A12 P(A1 )= P(A11 ) P(A12 )

Вероятность этого случая есть произведение вероятностей: p0 (t)(1− λ∆t).

2.Событие A2 : в момент t система была в состоянии S1 - подсобытие A21 =

{отказ системы за время t }, P(A21 )= p1(t) и за ∆t перешла из него в S0 - подсобытие A22 ={вероятность восстановления системы за время∆t }.

P(A	)= p	в	(∆t) =1− e−µ∆t ≈ µ∆t
22
A2 = A21 A22 P(A2 )= P(A21 ) P(A22 )
Вероятность этого случая есть произведение вероятностей p1(t)µ∆t .
A = A1 A2	P(A)= P(A1 )+ P(A2 )
Применяя правило сложения вероятностей, получим

p0 (t + ∆t) = p0 (t)(1−λ∆t) + p1(t)µ∆t .

Раскроем скобки в правой части, перенесем p0 (t)в левую и разделим обе части на

∆t :

p0 (t + ∆∆tt) − p0 (t) = −λp0 (t) + µp1(t) .

Переходя к пределу при ∆t → 0, в левой части получим

dp0 (t) = −λp0 (t) + µp1(t). dt

С учетом выражения (1.114), подставим в левую часть p0 (t) =1− p1(t) и получим

второе уравнение

dp1(t) = λp0 (t) − µp1(t) . dt

Такие дифференциальные уравнения называют уравнениями Колмогорова (или Колмогорова - Чепмена).

На практике при составлении уравнений Колмогорова пользуются мнемоническим правилом:

• в левой части – производная по времени t от pi (t);

•число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

•каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

•знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием)

врассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

Подставляя p1(t) =1− p0 (t) в первое уравнение, получаем

dp0 (t) = −(λ + µ) p0 (t) + µ . dt

Решая это уравнение при начальных условиях p0 (0) =1, будем иметь p0 (t) = λ µ+ µ + λ λ+ µ e−(λ+µ)t .

Последнее выражение определяет нестационарный коэффициент готовности, т.е.

вероятность того, что в произвольный момент времени система будет работоспособна.

При t → ∞ в этом выражении сохраняется только слагаемое	µ	, которое определяет
	λ + µ

стационарный коэффициент готовности системы.

Рассмотрим случай резервированной системы, состоящей из двух одинаковых элементов – основного и резервного.

В случае нагруженного резервирования система может находиться в одном из трех состояний:

S0 - безотказная работа (БР) системы; такому состоянию соответствует ВБР p0 (t);

S1- один элемент отказал	λ1 и восстанавливается µ1, второй элемент работает.
Такому состоянию соответствует	p1(t) ,

S2 - отказали оба элемента λ1 + λ2 и восстанавливаются µ1 + µ2 . Такому состоянию соответствует вероятность p2 (t).

Рассматриваемому случаю соответствует граф состояний на рис.1.41.

	2 λ		λ
S0		S1		S2

µ 2µ

Рис.1.41. Пример системы с восстановлением, состоящей из двух одинаковых элементов

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова, пользуясь мнемоническим правилом:

p0 (t) = −2λp0 (t) + µp1(t);

p1(t) = 2λp0 (t) − (λ + µ) p1(t) + 2µp2 (t); p2 (t) = λp1(t) − 2µp2 (t).

Сюда еще следует добавить одно уравнение p0 (t) + p1(t) + p2 (t) =1, из которого выражаем p2 (t) =1− p0 (t) − p1(t) и, подставляя во второе уравнение системы, получим

p1(t) = 2(λ − µ) p0 (t) −(λ +3µ) p1(t) + 2µ .

Выразим p1(t) из первого уравнения системы дифференциальных уравнений Колмогорова и вычисляя производную p1(t) , подставим полученные выражения p1(t) и p1(t) в последнее уравнение. В результате получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

p0 (t) +3(λ + µ)p0 (t) + 2(λ + µ)2 p0 (t) = 2µ2 ,

общее решение которого будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

p0 (t) = P0 (t) + ~p0 (t) .

Корни характеристического уравнения имеют значения r1 = −(λ + µ)и r2 = −2(λ + µ), следовательно, решение однородного уравнения получим в виде:

P0 (t) = C1e−(λ+µ)t + C2e−2(λ+µ)t .

Находя частное решение неоднородного уравнения, получим общее решение

p		(t) =	µ2	+C e−(λ+µ)t +C		e−2(λ+µ)t .
			(µ +λ)2
	0			1	2

Подставляя полученное выражение p0 (t)и вычисляемую по нему производную p0 (t)в первое уравнение системы дифференциальных уравнений Колмогорова, получим

выражение для p1(t) :

(t) =

2λµ

λ − µ

C e−(λ+µ)t −2C

e−2(λ+µ)t .

(µ +λ)2

Учитывая начальные условия

p0 (0) =1 и p1(0) = 0 , найдем произвольные по-

стоянные

C =

2λµ

и C

λ2

(λ + µ)2

В итоге имеем

[µ2 + 2λµe−(λ+µ)t +λ2e−2(λ+µ)t ];

(t) =

(µ

+λ)2

[λµ +(λ − µ)λe−(λ+µ)t −λ2e−2(λ+µ)t ].

(t) =

(µ

+λ)2

Функцию готовности найдем как сумму p0 (t)и p1(t) :

Г1

(t) =

[µ2 + 2λµ + 2λ2e−(λ+µ)t −λ2e−2(λ+µ)t ].

(µ

+λ)2

Если принять функцию готовности в качестве нестационарного коэффициента готовности, то входящие в нее постоянные слагаемые являются стационарным коэффициен-

том готовности. На рис.1.42 приведены графики функции готовности [12] для четырех вариантов резервирования (1-ый, рассмотрен выше – нагруженный резерв, восстановление без ограничений, 2-ой – нагруженный резерв, ограниченное восстановление, 3-ий – ненагруженный резерв, восстановление без ограничений, 4-ый – ненагруженный резерв, ограниченное восстановление) при λ = 0,01 1/час и µ = 0,11/час.

Рис.1.42. Графики функции готовности для четырех вариантов резервирования

Для сравнения на графике изображена функция готовности нерезервированной системы Г5 (t)с теми же значениями λ и µ .

1.6.2.7. Пример оценки вероятности безотказной работы микроЭВМ в составе бортовой аппаратуры космических аппаратов

Настоящий параграф подготовлен по материалам работы [9]. В стандарте PД 11 1003-2000 «Изделия полупроводниковой электроники. Метод прогнозирования вероятности безотказной работы (ВБР) в условиях низкоинтенсивного ионизирующего облучения» итоговая ВБР PΣ (t) определяется как произведение вероятности безотказной работы при

отсутствии радиации Pλ (t) на вероятность отсутствия радиационного отказа Pp (t):

PΣ (t) = Pλ (t) Pp (t) .

В свою очередь,

Pλ (t) = e−λt ,

где λ — интенсивность отказов аппаратуры (для платы Micro PC 6024 λ = 2,57 10−6 1/час), t — время эксплуатации (срок активного существования);

Pp (t) = ∏Ppin (t),

i=1

где Ppi (t) — вероятность отсутствия радиационного отказа комплектующих микросхем,

n — общее число микросхем. Для отдельной микросхемы

Ppi (t) =1−e(K p D)2 ,

где K p — коэффициент радиационного повреждения микросхемы, D — доза, накоплен-

ная за время эксплуатации.

Испытания показали, что наиболее критическим к радиации элементом на плате 6024 является СБИС флэш памяти типа Am28F020, которая фактически и определяет радиационную стойкость всей платы. Поэтому полагаем

PΣ6024 (t) = Pλ6024 (t) PpAm28F 020 (t).

Табл. 1.5. Вероятность безотказной работы МicroPC 6024 при сроке активного существования равном пяти годам.

Кратность	Режим и вид	Без	Геостационарная
резерва	резервирования	воздействия	орбита
		радиации	(D=800 рад/год)
	Непрерывная работа	0,893147	0,168227
Без резерва	Сеансовый режим	0,990229	0,943254
	(2 часа в сутки)

	«Горячий» резерв	0,988582	0,277925
2
2	«Холодный» резерв	0,917560	0,755419
	ППР один раз в месяц	0,945066	0,935498

	«Горячий» резерв	0,998780	0,386417
3
3	«Холодный» резерв	0,999560	0,864222
	«Холодный» резерв	0,999560	0,864222
	ППР один раз в месяц	0,962670	0,955894

Для определения K p микросхемы Am28F020 проводились радиационные испыта-

ния при низкой мощности дозы (0,1 рад/с) в выключенном и включённом состояниях. В режиме периодического переключения была вычислена постоянная Dτ экспоненциаль-

ной функции, описывающей переходный процесс из включённого состояния в выключенное.

Результаты испытаний использовались для прогнозирования PΣ6024 (t) на геостаци-

онарной орбите при толщине алюминиевого защитного экрана 8 мм, в различных режимах и конфигурациях.

Полученные значения ВБР (см. таблицу 1.5) иллюстрируют существенное снижение надёжности при радиационном облучении и эффективность использования сеансового режима и «холодного» резерва в режиме периодического переключения.

Примеры решения задач

Пример 1.5 Система состоит из 25 однотипных элементов, соединенных последовательно.

Средняя наработка на отказ системы -100 часов. Определить:

•Безотказность системы в конце 50 часов работы.

•Частоту отказов системы в конце первого часа работы.

•Среднюю наработку до отказа элементов.

Ре ш е н и е. Имеем n = 25 и Tc =100 .

Средняя наработка до отказа основной системы определяется по формуле

Tc = Tni .

Отсюда находим наработку до отказа одного элемента

Ti = nTc = 25 100 = 2500год.

Также известно, что

Tc = λ1с .

Тогда λc = 1 = 0,01 год−1.

Tс

Безотказность системы или вероятность безотказной работы определяется по формуле Pc (t)= e−λct .

Тогда за 50 часов получим

Pc (50)= e−0,01 50 = 0,61.

Частота отказов системы определяется по формуле ac (t)= λce−λct . Расчитаем частоту отказов системы за один час работы:

ac (1)= 0,01e−0,011 = 0,0099 .

Пример 1.6 Система, которая состоит из 200 соединенных последовательно элементов, в конце

первого часа работы удовлетворяет условию безотказности Pc (t)=0,97. Определить:

•Минимально допустимую безотказность элементов.

•Частоту отказов системы в конце первого часа работы.

•Наработку на отказ одного элемента.

Ре ш е н и е. Имеем n = 200 .

Вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле

Pc (t)= e−λct .

Если взять логарифм последнего выражения, то получим ln Pc (t)= −λct .

Тогда λc = −ln Ptc (t)= −ln01,97 = 0,03046 .

Частота отказов системы определяется по формуле ac (t)= λce−λct .

А частота отказов системы в конце первого часа работы ac (1)= 0,03046 e−0,03046 1 = 0,029 .

Средняя наработка до отказа системы

T	=	1	=	1	= 32,83 часа.
T	=	λ	=	0,03046	= 32,83 часа.
c		λ		0,03046
		с

Наработка до отказа одного элемента

Ti = nTc = 200 32,83 = 6566 часов

Интенсивность отказов элементов

λi = λnc = 0,03046200 =1,5 10−4 .

Минимально допустимую безотказность элементов найдем по формуле

Pi (t)= e−λit .

В конце первого часа будем иметь

P (1)= e−1,5 10−4 1 = 0,999.

Пример 1.7

Найти среднюю наработку на отказ системы, схема которой изображена ниже, если

известны

интенсивности

отказов

элементов:

λ = 0,3 10−4

1/ год,

= 0,4

−4 1/ год, λ = 0,5 10−4 1/ год.

λ2

λ1

λ3

λ2

1)Средняя наработка на отказ системы определим по формуле

Tc = ∞∫Pc (t)dt .

Структуру системы представим в виде

P1(t)

PII (t)

P (t)

λ1

λ3

λ2

Тогда для этой схемы справедлива формула для ВБР:

Pc (t)= P1(t) PII (t) P3(t),

где

PII (t)=1−QII (t)=1−[1− P2 (t)]2 =1−1+ 2P2 (t)− P22 (t)= 2P2 (t)− P22 (t).

Подставляя последнее выражение, получим

Pc (t)= P1(t) [2P2 (t)− P22 (t)] P3(t)= 2P1(t)P2 (t)P3(t)− P1(t)P22 (t)P3(t)=

= 2e−(λ1 +λ2 +λ3 )t −e−(λ1 +2λ2 +λ3 )t .

Интегрируя полученный результат, будем иметь

Tc	=		2		−		1		=10450час.
Tc	=	λ	+ λ	+ λ	−	λ	+ 2λ	+ λ	=10450час.
	1		2	3	1		2	3

Пример 1.8 В конце первого часа работы безотказность элементов составляла:

					Р1=0,99; Р2=0,95; Р3=0,85; Р4=0,8;
				3	Р1=0,99; Р2=0,95; Р3=0,85; Р4=0,8;
				3	Р5=0,75; Р6=0,9; Р7=0,92.


					Экспоненциальный закон распределения.
	2




				4
1				4




			5
			5



		6		7
		6		7

Определить:

1.Среднее время безотказной работы системы.

2.Безотказность системы в конце первого часа работы. 3.Частоту отказов в конце первого часа работы элемента № 5.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Н а д е ж н о с т ь

#
09.06.20151.36 Mб2540792656_6fa71_lekcii_nadezhnost_informacionnyh_sistem.doc
#
09.06.2015192.01 Кб186140604.65 Надежность технических систем.pdf
#
09.06.2015848.6 Кб176app008.pdf
#
09.06.20151.92 Mб119diagnost.pdf
#
09.06.20151.87 Mб123poz115.pdf
#
09.06.20155.59 Mб215uprresurs.doc
#
09.06.20151.8 Mб773Volovach_UMP_Nadezhn_VTiIS_2012.pdf
#
09.06.201556.83 Кб96МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНОК.doc
#
09.06.2015121.86 Кб117Министерство транспорта Российской Федерации.doc