каждый член последовательности {an } по модулю больше M , т.е.

an > M .

Примеры

Бесконечно малыми последовательностями являются следующие числовые последовательности:

1) an = n1 .

1; 21 ; 31 ; 41 ; ... .

2) an = n12 .

1; 41 ; 91 ; 161 ; ... .

Бесконечно большими последовательностями являются следующие числовые последовательности:

3)an = 2n + 1 .

1;3;5;7 ; ... .

4)an = 2n .

2;4;8;16; ... .

5)an = n3 .

1;8;27 ;64; ... .

Свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 1.2.13. Стационарная последовательность (т. е. последовательность, все члены которой равны) является бесконечно малой тогда и только тогда, когда все ее члены равны нулю.

Теорема 1.2.14. Свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить конечное число членов последовательности или, напротив, приписать к данной последовательности конечное число членов.

26

Теорема 1.2.15. Если {an } – бесконечно малая последовательность и для всех п выполняется неравенство bn ≤ an , то и последовательность {bn } является бесконечно малой.

Теорема 1.2.16. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Теорема 1.2.17. Если {an } – бесконечно малая числовая по-

следовательность, то {kan }, где k – любое действительное число, –

также бесконечно малая последовательность.

Теорема 1.2.18. Произведение двух или любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 1.2.19. Числовая последовательность, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот, числовая последовательность, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать числовые последовательности на монотонность и ограниченность, выписать пять первых членов последовательности:

1.2.1.an = n +1 2 .

1.2.2.an = n .

1.2.3.an = n n−1 .

1.2.4.an = n12 .

1.2.5.an = n2 −1.

1.2.6.an = − n1 .

27

1.2.7.an = n12 .

1.2.8.an = 2n .

1.2.9.an = (−1)n .

1.2.10.an = 31n .

(−1)n

1.2.11.an = n .

1.2.12.an = n +n 2 .

1.2.13.an = 3n −1.

1.2.14.an = n2 + 2.

1.2.15.an = 3 − 2n.

1.2.16.an = 2n1+ 1 .

1.2.17.an = 1n .

1.2.18.an = − n12 .

1.2.19.an = nn ++ 21 .

1.2.20. an = n + 2 .

Доказать, пользуясь определением предела числовой последовательности, выписать пять первых членов последовательности:

1.2.21. lim n + 1 = 1.

n→∞ n

28

Найти пределы:

1.2.31. lim n −1 . n→∞ 3n + 2

n2 + 1

1.2.34. lim 2 . n→∞ 3n −1

1.2.35. lim 1 − 2n . n→∞ 3n + 2

29

2n2 + 1

1.2.36. lim 2 .

n→∞ n

1.2.37. lim 2n −5 .

n→∞ n

4 − n2

1.2.38. lim 2 .

n→∞ 3 − n

n + 1

1.2.39. lim 2 .

n→∞ n

1.2.40. lim 5n −1 . n→∞ 3n + 2

30

1.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Конечный предел функции. Число A называется пределом функции f (x) при х, стремящемся к x0 , если для любого, как угодно малого числа ε > 0 существует число δ > 0 , что при всех х, удовлетворяющих неравенству x − x0 < ε , выполняется неравенст-

во f (x)− A < ε .

Тот факт, что число А является пределом функции f (x) при x → x0 , записывается так:

lim f (x)= A .

x→x0

Предел функции на бесконечности. Число A называется

пределом функции f (x) при х, стремящемся к ∞ , если для любого, как угодно малого числа ε > 0 существует число M > 0 , что при всех х, удовлетворяющих неравенству x0 > M , выполняется неравенство f (x)− A < ε .

Тот факт, что число А является пределом функции f (x) при x → ∞, записывается так:

lim f (x)= A .

x→∞

Бесконечно большие функции. Функция f (x) называется бесконечно большой (т. е. стремится к бесконечности) при x → x0 ,

31