Функция f (x) называется подынтегральной функцией; вы-
ражение f (x)dx – подынтегральным выражением; задача о нахо-
ждении ∫b f (x)dx – интегрированием функции f (x) на отрезке
a
[a;b]. Числа a и b называются пределами интегрирования. Суще-
ственным отличием определенного интеграла от рассмотренного в предыдущем параграфе неопределенного интеграла состоит в том, что неопределенный интеграл представляет собой класс функций, а определенный интеграл, как это следует из его определения, – число.
Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл от |
|||||
функции |
f (x) на отрезке [a;b] может быть вычислен с помощью |
||||
формулы |
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx = F (x) |
|
ab = F (b)− F (a), |
(3.2.1) |
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
где F (x) |
– любая первообразная функции f (x). Эта формула на- |
||||
зывается формулой Ньютона-Лейбница.
Свойства определенного интеграла
1. Если длина промежутка интегрирования равна нулю, то определенный интеграл от произвольной функции равен нулю:
|
∫a |
f (x)dx = 0. |
(3.2.2) |
|
2. Если функция a f (x) интегрируема на отрезке [a;b], то |
||||
она интегрируема и на отрезке [b;a] и |
|
|||
∫b |
f (x)dx = −∫a |
f (x)dx. |
(3.2.3) |
|
a |
|
b |
|
|
3. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
186
∫b f (x)dx = ∫b f (t )dt = ∫b f (s)ds = ...
a |
a |
a |
4. Определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов слагаемых:
∫b ( f (x)± g (x))dx = ∫b f (x)dx ± ∫b g (x)dx. (3.2.3)
a |
a |
a |
5. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
∫b |
kf (x)dx = k∫b |
f (x)dx. |
(3.2.4) |
a |
a |
|
|
6. Пусть a < c < b . Тогда определенный интеграл от произвольной функции f (x) на отрезке [a;b] равен сумме интегралов от
той же функции на отрезках [a;c] и [c;b]:
|
∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx. |
(3.2.5) |
||
|
a |
|
|
a |
c |
|
|
7. |
Если f (x)≥ g (x) для всех x [a;b], то |
|
|||||
|
|
∫b |
f (x)dx ≥ ∫b g (x)dx. |
|
|||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
8. |
Если числа М и m – соответственно наибольшее и наи- |
||||||
меньшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], то |
|
||||||
|
m (b −a)≤ ∫b |
f (x)dx ≤ M (b −a). |
(3.2.6) |
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
9. |
Существует такая точка c [a;b], что |
|
|||||
|
|
|
∫b |
f (x)dx = f (c)(b −a) |
(3.2.7) |
||
(теорема о среднем). |
a |
|
|
|
|
||
|
f (x) |
|
|
|
|||
10. Если функция |
|
четная, то |
|
|
|||
187
∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx.
−a |
f (x) |
0 |
11. Если функция |
нечетная, то |
∫a f (x)dx = 0.
−a
Вычисление определенного интеграла осуществляется в основном при помощи формулы Ньютона-Лейбница и, следовательно, требует нахождения первообразной подынтегральной функции. Поэтому основные приемы вычисления определенного интеграла те же, что и для неопределенного, хотя их применение к вычислению определенного интеграла имеет свои специфические особенности.
Непосредственное интегрирование
Пример 3.2.1. Найти интеграл:
∫1 (6 x2 − 2 x −5)dx.
−1
Решение. Поскольку
∫(6 x2 − 2 x −5)dx = 2 x3 − x2 −5 x +C ,
то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница
1
∫(6 x2 − 2 x −5)dx = (2x3 − x2 −5 x) 1−1 = (2 13 −12 −5 1)−
−1
−(2 (−1)3 −(−1)2 −5 (−1))= (2 −1 −5)−(−2 −1 + 5)=
= −4 − 2 = −6.
Ответ: -6.
188
Пример 3.2.2. Найти интеграл:
π
∫2 cos 3x cos 5 xdx.
−π2
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию с помощью формулы
cosα cos β = 21 (cos (α − β )+ cos (α + β )).
cos 3x cos 5 x = 21 (cos (3x −5 x)+ cos (3x + 5 x))= 21 (cos 2 x + cos 8 x).
Получим:
π |
π |
|
|
|
π |
|
∫2 |
cos 3x cos 5 xdx = ∫2 |
1 |
(cos 2 x + cos 8 x)dx = |
1 |
∫2 (cos 2 x + cos 8 x)dx = |
|
2 |
2 |
|||||
−π |
−π |
|
−π |
|||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
ππ
= |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
sin 2 x |
π |
1 |
|
1 |
sin 8 x |
π |
||
|
∫ cos 2 xdx + |
|
∫ cos 8 xdx = |
|
|
−π + |
|
|
−π = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
π |
2 |
π |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
8 |
|
|
2 |
|
||
|
|
− 2 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
(sinπ − sin(−π ))+ |
1 |
(sin 4π − sin(−4π ))= |
1 |
(0 |
−0)+ |
1 |
(0 −0)= 0. |
|||||||||
4 |
16 |
4 |
16 |
|||||||||||||||
Ответ: 0.
Пример 3.2.3. Найти интеграл:
6∫6 3 x2dx+ 36 .
Решение. Для того чтобы найти первообразную, воспользуемся табличным интегралом
∫ x2dx+ a2 = a1 arctg ax +C .
189