руема в точке x0 , причем |
f ′(x0 )≠ 0 . Тогда обратная функция |
|||||
x = g (y) дифференцируема в соответствующей точке |
y0 = f (x0 ), |
|||||
причем при x = x0 и y = y0 |
имеет место равенство: |
|
||||
g′(y)= |
|
1 |
. |
(2.1.23) |
||
f |
′(x) |
|||||
|
|
|
|
|||
Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция y = f (x) задана параметрически, то есть аргумент и функция заданы, как функции одного и того же параметра:
x =ϕ (t ),
y =ψ (t ).
Теорема 2.8. Пусть функции x =ϕ (t ) и y =ψ (t ) диффе-
ренцируемы при некотором t = t0 |
и ϕ′ (t0 )≠ 0. |
Тогда функция |
|||
y = y (x) дифференцируема в точке |
x0 =ϕ (t0 ) и имеет место ра- |
||||
венство |
|
′ (t0 ) |
|
|
|
y′ (x0 )= |
ψ |
. |
(2.1.24) |
||
ϕ′ (x0 ) |
|||||
|
|
|
|||
Пример 2.1.18. Найти производную функции
x = t2 −1,
y = t3 + 5.
Решение.
ϕ′ (t )= (t2 −1)′t = 2t ;
ψ′ (t )= (t3 + 5)′t = 3t2 ;
71
Тогда по формуле (2.1.24)
y′x |
= |
3t2 |
= |
3 |
t . |
|
2t |
2 |
|||||
|
|
|
|
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическая производная функции f (x)> 0 есть про-
изводная от логарифма данной функции ln f (x):
(ln f (x))′ = |
f ′(x) |
|
|
|
. |
(2.1.25) |
|
f (x) |
|||
отсюда следует: |
|
|
|
f ′ (x)= (ln f (x))′ f (x). |
(2.1.26) |
||
Логарифмическое дифференцирование применяется при вы-
числении производной степенно-показательной функции, т. е. функ-
ции вида
y= (u(x))v(x) ,
атакже при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.
Пример 2.1.19. Найти производную функции f (x)= xx+1 .
Решение.
ln( f (x))= ln xx+1 = (x + 1)ln x.
(ln( f (x)))′ = ((x + 1)ln x)′ = (x + 1)′ ln x +(x + 1) (ln x)′ =
=ln x +(x + 1) 1x = ln x + x x+ 1 .
Тогда по формуле (2.1.26) |
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
x+1 |
|
|
f ′(x)= ln x + |
|
|
x |
|
. |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
72
Пример 2.1.20. Найти производную функции f (x)= (2 x −5)3 (7 x −1)(x − 3).
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln( f (x))= ln((2 x −5)3 (7 x −1)(x − 3))= 3 ln(2 x −5)+ ln(7 x −1)+ ln(x − 3). |
||||||||||||||
(ln( f (x)))′ = (3 ln(2x −5)+ ln(7 x −1)+ ln(x − 3))′ = |
||||||||||||||
|
6 |
|
+ |
|
7 |
|
+ |
1 |
. |
|
|
|||
|
2 x −5 |
7 x − |
1 |
x − 3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Тогда по формуле (2.1.26) |
|
||||||||||||
f ′(x) |
= |
6 |
+ |
|
|
7 |
+ |
1 |
(2x −5)3 (7 x −1)(x − 3). |
|||||
|
7 x −1 |
x − 3 |
||||||||||||
|
|
2 x −5 |
|
|
|
|
||||||||
Производные высших порядков
Пусть функция f (x) имеет конечную производную в каж-
дой точке некоторого множества. Тогда ее производную f ′(x) можно рассматривать, как функцию, заданную на том же множестве. В свою очередь функция f ′(x) может иметь производную на том же множестве. Эта производная называется производной второго порядка функции f (x) и обозначается f ′′(x).
Производная второго порядка функции f (x) обозначается
также
y′′, |
d 2 y |
, |
d 2 f (x) |
. |
dx2 |
dx2 |
Аналогично определяются также производные третьего, четвертого и т. д. порядков. При этом производная п-го порядка обозначается
f (n) (x), y(n) , |
d n y |
, |
d n f (x) |
. |
dxn |
|
|||
|
|
dxn |
||
73