§9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Одним из эффективных методов подсчёта вероятностей является формула полной вероятности, с помощью которой решается широкий круг задач.

Пусть событие Aможет наступить с одним и только одним из нескольких попарно несовместных событийН₁,Н₂,…,Н_n, называемых гипотезами, т.е.

.

Так как Н₁,Н₂,…Н_n попарно несовместны, то несовместны и событияАН₁,АН₂,…АН_n . Отсюда получаем, применяя формулы сложения и умножения вероятностей

Полученная формула

(1)

называется формулой полной вероятности.

Пример 1.(см. пример 1 §8). Из урны, в которой находятсяmбелых и n-m чёрных шаров, без возвращения выбираются два шара. Найдём вероятность событияB={второй вынутый шар – белый},

Рассмотрим гипотезы: H₁= {первый вынутый шар – белый) ипервый вынутый шар – чёрный}. ТогдаПо формуле полной вероятности получаем

Таким образом, мы получим

.

Аналогично можно установить, что вынимая последовательно без возвращения шары, мы получим одну и ту же вероятность вынуть белый шар на любом месте. Таким образом, при правильно организованной жеребьёвке, шансы всех участников одинаковы, независимо от того, в какой очерёдности они тянут жребий.

Замечание.Эту же задачу можно интерпретировать, как вычисление вероятности вытащить белый шар из урны, из которой был случайно утерян один или несколько шаров.

В тесной связи с формулой полной вероятности находятся так называемые формулы Байеса. Они относятся к той же ситуации, что и формула полной вероятности.

Поскольку событие Аможет наступить только вместе с одним изnпопарно несовместных событийН₁,…Н_{n ,} то найдём вероятностьР(Н_к |А) – вероятность того, что событиеАнаступит вместе с гипотезойН_к.

По формуле умножения получаем

Откуда имеем

(2)

Или, если воспользоваться формулой полной вероятности (1) получим:

(3)

Это и есть формулы Байеса.

Запомнить эти формулы нетрудно: в знаменателе стоит выражение для полной вероятности, а в числителе – одно из слагаемых (к-ое) в этом выражении.

Формулы Байеса можно интерпретировать следующим образом.

Пусть A– результат некоторого эксперимента,

Н_к– гипотезы. ВероятностиР(Н_к)– этоаприорные вероятности гипотез, вычисленные до проведения опыта, а условные вероятностиР(Н_к|А)– этоапостериорныевероятности гипотез, вычисляемые после того, как стал известен исход экспериментаА. Формулы Байеса позволяют по априорным вероятностям гипотез и по условным вероятностям событияАпри гипотезахвычислять апостериорные вероятностиР(Н_к|А).

Пример 2. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеванийН₁иН₂. Их вероятности в данных условияхР(Н₁)=0,6,Р(Н₂)=0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезниН₁вероятность положительной реакции равна 0,9, отрицательной – 0,1. В случаеН₂положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ провели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной (событиеА). Требуется найти вероятности каждого заболевания после проделанных анализов.

Решение.В случае заболеванияН₁событиеАпроисходит с вероятностью, а в случае заболеванияН₂– с вероятностью. Следовательно по формуле Байеса имеем.

.

Отсюда видно, что полученные результаты анализов дают веские основания предполагать болезнь Н₂.