1. Двумерные дискретные случайные величины.

Пусть на вероятностном пространстве (Ω,S,P) заданы дискретные случайные величины, тогда двумерную случайную величинубудем называть дискретной.

Пусть - все возможные значения,- все возможные значения. Как мы уже знаем, с помощью вероятностейиопределяются законы распределения случайных величинξиη. Ясно, что возможные значения двумерной случайной величинысодержатся среди парточек на плоскости. Рассмотрим вероятности

Тогда с помощью этих вероятностей можно найти вероятность, гдеВ- произвольное множество точек плоскости, а именно:

. (3)

Отсюда вытекает, что исчерпывающей характеристикой (законом распределения) двумерной дискретной системы может служить таблица

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…

Эта таблица называется совместным законом распределения случайных величин ξиη.

Из определения следует, что

и . (4)

Любая таблица такого вида задает некоторый закон совместного распределения пары случайных величин, который и называется двумерным законом распределения.

Из двумерного закона распределения можно получить одномерные законы распределения для ξ и для η:

, (5)

поскольку событие является суммой несовместных событий, а событиесуммой несовместных событий.

Законы распределения (5) иногда называются маргинальными законами первоначального двумерного распределения.

Пример.В урне лежат четыре шара , 2 белых, 1 чёрный и 1 синий. Из урны наугад извлекают два шара (без возвращения) Пустьξ- число чёрных, аη- число синих шаров в выборке. Составить для системызакон распределения.

Решение.В данном случае возможные значения дляиηесть 0 и 1 . Имеем:

(событие () наступает только при одном изисходов опыта),(событие () наступает только при двух исходах),

Искомый закон распределения задаётся следующей таблицей:

	0	1
0
1

2. Непрерывные системы случайных величин.

Так же как и раньше мы определим двумерную непрерывную случайную величину как такую случайную величину, функция распределения которойнепрерывна.

С помощью функции можно найти вероятность любого события вида

, (6)

т.е. вероятность попадания точки с координатами в прямоугольникQвида

(Рис.1)

Для этого применим к событиям иформулу сложения вероятностей:

Если теперь учесть, что события и (6) несовместны и в сумме составляют событие, то будем иметь:

что и решает поставленную задачу.

Перечислим ряд свойств функции . Их доказательство проводится так же, как и в случае одной случайной величины .

1. F(x_2,y₂)+F(x_1,y₁)-F(x_1,y₂)-F(x_2,y₁)≥0, еслих₁≤х₂, у₁≤у₂это следует из (7)

2. F(x, y)является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

3. F(x, y)непрерывна слева по каждому из аргументов.

4. F(x, y)удовлетворяет соотношениям:

F (+∞, +∞ ) =F(х, y )=1,

Свойства 1-4, как можно показать, являются характеристическимисвойствами функции распределения. Это значит, что любая функцияF(х, у), удовлетворяющая свойствам 1-4, является двумерной функцией распределения для некоторой системы случайных величин (ξ ,η).

Рассмотрим наиболее важный класс систем (ξ,η) с непрерывным распределением, для которых существует плотность вероятности.

Определение. Двумерная случайная величина (ξ,η) с функцией распределенияF(x,y)имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функция

p(x, y) такая, что

F(x, y)=. (8)

Функция p(х,у)называется двумерной плотностью распределения (или плотностью вероятности) системы (ξ, η).

Из определения плотности p(x, y) следуют её свойства.

p(х,y)≥0,. (9)

Функция p(х,у), удовлетворяющая (9), может быть плотностью некоторого распределения с функцией распределения, заданной формулой (8).

Из формулы (8) следует, что

p(х,у)=. (10)

Заметим, что в случае непрерывного распределения, вероятность события ( (ξ,η) Г), где Г-кривая на плоскости, равна нулю.

Из определения также следует, что

F_ξ(x)=.

В случае существования плотности формула (7) преобретает наглядный вид:

P(x₁≤ξ≤x₂, y₁≤η≤y₂)=, (11)

где Q- прямоугольник (см. рис.1).

Из формулы сложения вероятностей и определения двойного интеграла, отсюда следует, что вероятность попадания точки с координатами (ξ,η) в заданную (измеримую) область произвольной формы Gбудет равна

P(()G)=. (12)

Примером многомерной плотности служит плотность p(x,y)равномерного распределения на областиGконечной площадиμ(G) в плоскости, задаваемая равенством

p(x,y)=

Если Вкакая то область на плоскости, то вероятность

P((ξ,η)B)) в этом случае определяется отношением площадейB∩GиG:

. (13)

По этой формуле вычисляются, так называемые, геометрические вероятности(см. §7 гл.1).