§2. Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд теорем, объединённых общим названием, «закон больших чисел». Основная из этих теорем принадлежит самому Чебышеву.

Теорема Чебышева.Пустьξ₁,ξ₂…- последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной и одно и тоже математическое ожидание (среднее значении):

Mξ₁=Mξ₂=…=m,Dξ₁<c,Dξ₂<c, … .

Тогда, каково бы ни было положительное число >0, вероятность события

стремится к единице при n→, т.е.

.

Доказательство.Положим

.

В силу свойств математического ожидания имеем:

.

Далее, так как величины ξ₁,ξ_2.,…ξ_n независимы, то

.

Применим теперь к случайной величине η неравенство Чебышева:

P(|S_n–MS_n|<ε)>1-

или

1P(|S_n–m|<ε)1-.

Правая часть неравенства стремится к 1 при n; тем более стремится к 1 левая часть, а это и требовалось доказать.

Поясним содержание теоремы Чебышева на важном примере.

Пусть требуется измерить значение mнекоторой физической величины. В силу неизбежных при измерении ошибок результат измерения будет случайной величинойξ. Её математическое ожидание будет совпадать с измеряемой величинойm, а дисперсия равна некоторой величинеD (характеризующей точность измерительного прибора). Произведёмnизмерений в одинаковых условиях, что обеспечивает независимость результатов. Результатк-го измерения есть некоторое случайное числоx^(k), этим задана случайная величинаξ_k . Совокупность величинξ₁,…,ξ_nпредставляет собой системуnнезависимых случайных величин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величинаξ. После серии изnизмерений составим среднее арифметическое изnнаблюдаемых значений

то есть значение случайной величины.

.

Теорема Чебышева утверждает, что экспериментальное среднее Z_n«почти достоверно» оказывается близким к теоретическому среднему значениюm(истинное значение физической величины) искомой физической величины, если только число испытанийnдостаточно велико.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве её значения берётся среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Замечание.Близость кMξсреднего арифметического опытных значений величиныξуже нами показывалось при введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным величинам; кроме того, высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Чебышева даёт точную характеристику близости среднего арифметического кMξ, и при том для любой случайной величины (строго доказывается, исходя из аксиом теории вероятностей).

Из теоремы Чебышева в качестве следствия можно получить другую важную теорему, которая впервые была доказана Я. Бернулли и опубликована в 1713 году.

Теорема Бернулли. Пусть производитсяnнезависимых опытов, в каждом из которых с вероятностьюpможет наступить некоторое событиеА. Рассмотрим случайную величину – число наступления событияАв nопытах. Тогда, каково бы ни было положительное число ε > 0, вероятность события

стремится к единицeприn→, т.е.

.

Иначе говоря, как бы ни было мало ε, с увеличением числа опытов становится сколь угодно достоверным тот факт, что частота наступления событияАотличается от вероятности этого события меньше, чем наε.

Доказательство. Выведем теорему Бернулли из теоремы Чебышева. Заметим (см. § 7 гл.II), что

,

где есть число наступлений событияАвi-м опыте (i=1,2,..,n).

Случайные величины имеют один и тот же закон распределения:

Значение	0	1
Вероятности	q	p

где . Для каждой из них математическое ожидание равноp, а дисперсияpq. Таким образом, все условия теоремы Чебышева выполняются, и для среднего арифметического величин, т.е. длясправедливо соотношение

.

Тем самым мы доказали теорему Бернулли.

Замечание.Отметим попутно следующий полезный факт.

Поскольку

,

,

то неравенство Чебышева, применительно к случайной величине , даёт:

. (1)

Мы получаем оценку( хотя и весьма грубую) длявероятности отклонения частоты события А в серии из n опытов от вероятности события А в одном опыте.

Опытная проверка закона больших чисел предпринималась неоднократно. В приведённой ниже таблице приведены результаты опытов бросания монеты (событие А-выпадение герба,) :

Экспериментатор	Число nбросаний	-число выпадений герба	Частота выпадения герба
Ж.Бюффон (XVIII.) К. Пирсон К. Пирсон	4040 12000 24000	2048 6019 12019	0,507 0,5016 0,5005