ОснАлгор_Посібн_Яровенко

3. ІНФОРМАЦІЙНА ТА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛІ ОБ’ЄКТУ ДОСЛІДЖЕННЯ.

3.1. ПРЕДМЕТНА ОБЛАСТЬ ТА ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ.

Поняття предметна область (ПО) використовується в багатьох наукових дисциплінах: філософії, логіці, математиці, інформатиці, економіці тощо. Але в наш час відсутнє загальновизнане як формальне, так і змістовне визначення цього поняття. Прийнято вважати, що поняття ПО не може бути формалізоване як первинне поняття. Тому існує багато означень ПО, декілька з яких приведено нижче.

Предметна область [subject sphere, application domain] – це множина всіх предметів, властивості яких і відношення між якими розглядаються в науковій теорії [Великий енциклопедичний словник, Вікіпедія].

Предметна область – це частина або фрагмент реальної дійсності, яка містить об’єкт, що підлягає дослідженню.

Предметна область - це подумки обмежена область реальної дійсності чи область ідеальних представлень, яка підлягає опису та дослідженню.

Предметна область сукупність об’єктів, що представляють частину реального світу, понять, які до них відносяться, а також зв’язків між ними, відомості про які опрацьовуються і зберігаються в базі даних автоматизованої системи [Інформатика. Енциклопедичний словникдовідник].

Спробуємо узагальнити відомі нам визначення предметної області, виділивши спільне для всіх них:

Означення. Предметна область (ПО) – це обмежена область

(фрагмент) реальної дійсності чи абстрактних (уявних, теоретичних) представлень, яка містить об’єкт, що підлягає дослідженню, або сама є об’єктом дослідження.

З означень ПО слідує, що базовим поняттям ПО є поняття «об’єкт дослідження», тобто, те, на що спрямована пізнавальна діяльність дослідника. Взагалі кажучи, об'єктом наукового дослідження є навколишній матеріальний світ та форми його відображення у свідомості людей, які існують незалежно від цієї свідомості.

Означення. Об’єкт (від лат. objectus – предмет) – це філософська категорія, що позначає будь-яку дійсну або уявну реальність, яка розглядається, як щось зовнішнє у відношенні до людини і стає предметом теоретичної і практичної її діяльності.

В літературі, особливо в навчально-методичній, приводиться багато означень терміну «об’єкт», які, претендуючи на оригінальність та загальність, звужують рамки визначення терміну, порушуючи власне загальність. Наприклад, «Об’єкт – це будь-який реальний процес, явище чи ефект, який існує поза нашою свідомістю і є предметом теоретичного вивчення чи практичної діяльності.»

41

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Очевидно, що обмеження категорії «об’єкт» тільки реальними чи уявними, природніми чи штучними об’єктами (предметами, процесами, явищами) є недопустимим.

Коректним буде певне обмеження визначення терміну «об’єкт» в сенсі його уточнення чи деталізації в конкретній предметній області. Наприклад:

Об’єкт в програмуванні – це деяка сутність у віртуальному просторі, яка характеризується певним станом і поведінкою, має задані значення властивостей (атрибутів) та операцій над ними (методів).

Об’єкт дослідження, як елемент ПО, визначимо так:

Означення. Об’єкт (об’єкт-оригінал) – це окремий елемент (чи система), процес або явище в ПО, поведінка якого досліджується (вивчається) з метою виявлення його основних властивостей та закономірностей чи особливостей функціонування.

Об’єкт є предметом пізнання або практичного впливу. Він існує незалежно від нас і поза нашою свідомістю, а його поведінка (стан)

визначається його внутрішніми (власними) властивостями, які називаються

параметрами, та впливами зовнішнього середовища, які називаються факторами (керуваннями, збуреннями) і є властивостями самої ПО і/або властивостями інших об’єктів ПО.

Формально об’єкт дослідження Q можна подати у виді сукупності даних, які описують його властивості, стани, процес функціонування (поведінку) та утворюють множини незалежних та залежних змінних.

До незалежних змінних відносяться:

сукупність вхідних параметрів (впливів) на об’єкт дослідження:

Це незалежні параметри об’єкту, серед яких виділяються керуючі і некеруючі впливи і які можуть бути статичними і динамічними.

сукупність постійних параметрів об’єкту дослідження:

сукупність впливів зовнішнього середовища на об’єкт дослідження:

Впливи зовнішнього середовища можуть бути контрольованими (які спостерігаються) та неконтрольовані (збуреннями), детермінованими або

випадковими, статичними або динамічними.

До залежних змінних відносяться:

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Одне з перших визначень системи (1950 рік) належить американському біологу Л. фон Берталанфі, згідно з яким система складається з деякої кількості взаємопов’язаних елементів. Оскільки між елементами системи існують певні взаємозв’язки, то мають бути структурні відношення. Таким чином, система – це щось більше, ніж сукупність елементів. Аналізуючи систему, потрібно враховувати оцінку системного (синергетичного) ефекту. Властивості системи відмінні від властивостей її елементів, і залежно від властивостей, якими цікавляться дослідники, та ж сама сукупність елементів може бути системою або ні.

Багато дослідників визначають систему як цілеспрямовану множину взаємопов’язаних елементів будь-якої природи. Згідно з цим визначенням система функціонує для досягнення деякої мети. Це визначення є правильним для соціологічних і технічних систем, але не підходить для систем навколишньої природи (наприклад, біологічних), мета функціонування яких не завжди відома.

Системний підхід полягає в тому, що дослідник намагається вивчати поведінку системи в цілому, а не концентрувати свою увагу на окремих її частинах. Такий підхід базується на визнанні того, що якщо навіть кожен елемент чи підсистема мають оптимальні конструктивні чи функціональні характеристики, то результуюча поведінка системи в цілому внаслідок взаємодії між її окремими частинами може виявитись лише субоптимальною.

Деяка сукупність елементів системи може виступати як її підсистема. До підсистем також відносять деякі самостійно функціонуючі частини системи. Тому для спрощення процедури дослідження спершу необхідно грамотно виділити підсистеми системи, тобто, визначити її структуру.

В дослідженні структури системи існує ряд напрямів, основними з яких є

структурний та функціональний підходи.

Структурний підхід передбачає опис складу елементів системи та зв’язки між ними.

Функціональний підхід полягає в дослідженні окремих алгоритмів її поведінки (функціонування).

3.2. МОДЕЛЬ ОБ’ЄКТУ.

Найкращою моделлю кота є інший кіт, а ще краще – той самий кіт.

А.Розенблют, Н.Вінер

Дослідження певного об'єкту має на меті встановлення його природи, структури та властивостей, закономірностей та особливостей його еволюції і функціонування. Початковими етапами дослідження є спостереження та експеримент, які, очевидно, мають справу тільки з одним об’єктом. Але основною задачею наукового дослідження є не вивчення лише одного, окремого об’єкту, а перенесення результатів дослідження на цілий ряд аналогічних (схожих, подібних) об’єктів. Наукою, яка визначає, на яку область

44

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

явищ можуть бути розповсюджені результати одиничного дослідження є теорія подібності, одним із базових понять якої є поняття аналогії.

Аналогія.

Про значення аналогії в наукових дослідженнях свідчать висловлювання видатних математиків:

«Напевно не існує відкриттів ні в елементарній, ні у вищій математиці, ні навіть, можливо, в будь-якій іншій області, які могли би бути зроблені без аналогії» Д.Пойа.

«Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями, кращий математик – той, хто встановлює аналогії доведень, більш сильний математик – той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі і такого, хто між аналогіями бачить аналогії» С.Банах.

Наступні означення розкривають суть поняття.

Аналогія (від древн.-грец. αναλογια – відповідність) – подібність, схожість у цілому відмінних предметів, явищ за певними властивостями, ознаками або відношеннями [Вікіпедія].

Аналогії – наявність у двох і більше об'єктах спільних умов (наприклад, властивостей, відношень), які дають змогу переносити інформацію про один об'єкт (модель) на інший (прототип) [Енциклопедія кібернетики].

Подібність.

Під подібністю розуміють властивість мати спільні риси, характер протікання процесу тощо. Ще з шкільного курсу геометрії відоме поняття геометричної подібності (пригадайте ознаки подібності трикутників), яка в загальному випадку визначається як «перетворення евклідового простору, при

вивчає умови подібності об’єктів, зокрема, фізичних систем, процесів та явищ. За визначенням академіка М.Кірпічова «подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноименных величин есть постоянные

числа».

У Вікіпедії приводиться таке визначення подібності: «Фізичні явища,

процеси або системи подібні, якщо у подібні моменти часу в подібних точках простору значення змінних величин, що характеризують стан однієї системи, пропорційні відповідним величинам іншої системи».

Фізична подібність є узагальненням поняття геометричної подібності, при якій забезпечується рівність всіх відповідних кутів і пропорційність всіх відповідних лінійних розмірів.

При фізичній подібності двох систем поля відповідних їх параметрів подібні у просторі і в часі.

45

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Часова подібність (гомохронність) виражається пропорційністю інтервалів між відповідними моментами часу. Частковим випадком є синхронність, яка виражається рівністю відповідних моментів часу.

Кінематична подібність, тобто геометрична подібність полів швидкості

та полів прискорення, виражається відповідністю напрямків і пропорційністю всіх швидкостей і прискорень.

Динамічна подібність, тобто геометрична подібність силових полів

відповідної фізичної природи (сил тяжіння, сил тиску, сил в'язкості тощо) виражається відповідністю напрямків сил і їх пропорційністю. Наприклад, електродинамічна подібність є геометричною подібністю полів струмів, навантажень, потужностей, електромагнітних сил тощо.

Температурна подібність, тобто геометрична подібність температурних полів, виражається відповідністю напрямків теплових потоків та відповідною пропорційністю всіх температур.

Механічна подібність (наприклад, подібність потоків рідин та газів) передбачає наявність геометричної, кінематичної та динамічної подібності.

Усі наведені види подібності є частковими випадками фізичної подібності.

Коефіцієнт пропорційності для кожної з величин називається

константою подібності. Визначаються також інваріанти подібності або критерії подібності.

Означення. Критерій подібності – безрозмірний комплекс розмірних фізичних параметрів, які визначають явище чи процес.

Критерії подібності широко застосовуються в різних галузях науки і техніки, наприклад, в механіці основним критерієм механічної подібності, встановленим Ж.Бертраном, є число Ньютона:

∙

= ∙ або = ∙ ∙ ,

де F – діюча на тіло сила, m – його маса, – його густина, v – швидкість, t – час, l – характерний лінійний розмір.

Вікіпедія містить опис більше 70 характеристичних чисел – критеріїв подібності.

Воснові теорії подібності лежать три наступні теореми:

І теорема (Ж.Бертран, 1848 р.). У подібних фізичних процесах однойменні безрозмірні критерії подібності мають одне і те ж значення.

ІІ теорема – -теорема (А.Ваші, 1892, Д.Рябушинський, 1911, А.Федерман, 1911, Е.Бакінгем, 1914, Т.Еренфест-Афанасьєва, 1915). Рівняння зв’язку фізичних величин, які характеризують досліджуваний об’єкт, можуть бути представлені у вигляді критеріального рівняння – функціонального зв’язку між критеріями подібності.

46

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

ІІІ теорема (М.Кірпічов, А.Гухман, 1930). Подібні ті явища, які відбуваються в геометрично подібних системах, підкоряються одним і тим же рівнянням зв’язку, в яких моноваленти знаходяться в чисельно постійному відношенні і складені з них критерії рівні.

Перша теорема формулює необхідну умову подібності об’єктів (однакові критерії подібності в подібних об’єктах); вказує, що вимірювати потрібно всі ті величини, які входять до критеріїв подібності; дозволяє переносити результати дослідження одного об’єкту тільки на подібні йому об’єкти.

Згідно другої теореми, для того, щоб результати дослідження одного об’єкту можна було безпосередньо переносити на подібні йому об’єкти, їх (результати) потрібно подавати у виді залежностей між критеріями подібності – критеріального рівняння. Тобто, потрібно встановити залежність не між окремими величинами, які характеризують досліджуваний об’єкт, а між їх комплексами – критеріями подібності.

Третя теорема, яку називають оберненою теоремою подібності а також теоремою моделювання, визначає необхідні і достатні умови подібності об’єктів. Для цього авторами було введено поняття «моновалентів» – визначальних параметрів досліджуваного об’єкту, тобто, параметрів, які дозволяють однозначно виділити певний об’єкт з групи подібних. Якщо під подібністю моновалентів розуміти постійність їх відношення і рівність складених із них критеріїв подібності, а також геометричну подібність досліджуваних об’єктів, то третю теорему можна сформулювати так:

«Для подібності об’єктів необхідно і достатньо подібності їх моновалентів».

Автори третьої теореми відзначають, що умови подібності, які накладаються нею, значно обмежують область розповсюдження результатів індивідуального експерименту, тобто клас об’єктів, на які можна перенести результати дослідження одиничного об’єкту. Але при цьому зауважують про достатньо широку область приблизно подібних об’єктів, які також можна використовувати в наукових дослідженнях і моделюванні.

Таким чином, теорія подібності дозволяє замість безпосереднього дослідження об’єкту-оригіналу вивчати (досліджувати) подібний йому об’єкт, який може розглядатися як модель об’єкту-оригіналу.

Самоподібність.

Поряд з поняттям подібності об’єктів, існує поняття самоподібності, яке розглядається як властивість об’єкту точно або наближено збігатись (співпадати) з частиною себе самого.

Самоподібні об’єкти, тобто, об’єкти, які мають ту ж форму, що й одна або більше його частин, широко використовуються в математиці (фрактали, окремі види топологічних структур та множин, ітераційні функції), інформатиці (комп’ютерні мережі, ієрархічні та бінарні дерева) та інших галузях сучасної науки. Багато об'єктів реального світу, наприклад, берегові лінії, мають властивість статистичної самоподібності: їх частини статистично однорідні в різних шкалах виміру.

47

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Модель.

Слово модель походить від латинського modulus – міра, аналог, зразок чи від французького modеlе – зразок.

У філософії терміном «модель» позначають «деяку реально існуючу систему або ту, що представляється в думках, яка, заміщаючи і відображаючи в пізнавальних процесах іншу систему-оригінал, знаходиться з нею у відношенні подібності, завдяки чому вивчення моделі дає змогу отримати нову інформацію про оригінал».

Модель – будь-який образ, аналог якого-небудь об'єкту, процесу чи явища («оригіналу» цієї моделі) [Вікіпедія].

Цінність цих визначень полягає в тому, що в них закладено генетичний зв’язок поняття «модель» з поняттями «подібність» та «аналогія».

Поряд з такими загальними визначенням маємо в літературі багато інших визначень поняття «модель», які хоч і є, на нашу думку, неповними або звужують рамки самого поняття, все ж цілком придатні для використання.

Наприклад:

Модель – опис об'єкту дослідження на деякій формалізованій мові, складений з метою вивчення його властивостей.

Модель – це такий матеріальний чи уявний об’єкт, який в процесі дослідження заміщує об’єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об’єкт-оригінал.

Модель – це штучно створений матеріальний чи теоретичний образ об'єкту дослідження, який відображає його найбільш важливі і принципові властивості та дозволяє прогнозувати його поведінку на основі експерименту з моделлю.

Поряд з визначенням моделі, як аналогу об’єкту дослідження, в науковій літературі широко розповсюджене визначення моделі як зразка майбутнього виробу.

З урахуванням цілей моделювання, які детально розглянуті нижче (пункт 3.5), модель об’єкту визначимо так:

Означення. Модель – це штучно створений матеріальний чи абстрактний образ об’єкту-оригіналу, який відображає його найбільш істотні для цілей моделювання властивості і стани та заміщає його (об’єкт-оригінал) в наукових дослідженнях.

Моделі з однієї сторони є продуктом вивчення властивостей відповідних об’єктів ПО, з іншої – це є інструмент для поглиблення знань про ці об’єкти, а також розв’язання різноманітних задач. Очевидно, що за допомогою моделей можна досліджувати не тільки реально існуючі предмети, процеси та явища, але й абстракції, яких немає у реальності; об'єкти, що тільки плануються для створення; явища, які можуть і не відбутися. Використання моделі особливо корисне у випадках, коли дослідження самого об'єкту ускладнене або фізично неможливе. Найчастіше в ролі моделі виступає інший матеріальний або уявний, спеціально синтезований для зручності дослідження об'єкт, що замінює в процесі дослідження об'єкт-оригінал і має необхідний рівень подібності з ним.

48

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Таким чином, модель є штучно створеним людиною матеріальним чи абстрактним об'єктом, який дає ідеалізоване уявлення про об'єкт-оригінал. Ідеалізація об'єкта є неодмінним етапом створення моделі. Зміст її полягає у визначенні, які саме риси та властивості об'єкта є суттєвими для розв'язання поставленої задачі, впливають на результат і мають бути відтвореними в моделі, а які риси та властивості є несуттєвими і при побудові моделі можуть не враховуватися (від яких можна абстрагуватись). Відсутність у моделі несуттєвих якостей є не менш важливим моментом, ніж наявність суттєвих, тому що це дозволяє знизити рівень складності задачі, зробити її придатною для дослідження спрощеними методами, позбавитися від зайвих витрат праці та часу на врахування невпливових факторів.

Так, в умовах багатьох задач з фізики зустрічається фраза, що можна нехтувати, наприклад, опором повітря чи залежністю прискорення вільного падіння від висоти. Саме це і дозволяє розглядати задачу у спрощеній постановці і застосовувати для знаходження її розв’язку прості закони фізики.

Процес виділення суттєвих для моделювання характеристик об'єкту, зв'язків між ними з метою їх дослідження і описання, називається системним

аналізом.

Ступінь абстракції (ідеалізації) моделі визначає межі її адекватності, тобто відповідності оригіналу в межах поставленої задачі. Оскільки значущими і потрібними можуть бути тільки надійні результати, які відповідають реальності, то визначення границь адекватності моделі є надзвичайно важливим.

Призначення (функції) моделі визначаються цілями моделювання, які детально розглянуті нижче (пункт 3.5). Серед функцій моделі можна виділити

дескриптивну (описову), дослідницьку (пояснювальну, інтерпретаторську), імітаційну, оптимізаційну, вимірювальну та інші функції.

Класифікація моделей.

Для того щоб визначити види моделей, перш за все потрібно окреслити ознаки (критерії) класифікації. У сучасній літературі описано сотні визначень поняття «модель» та їх класифікацій, однак єдиної класифікації моделей на сьогодні не існує. Очевидно, що будь-яка класифікація моделей за будь-якими ознаками є в певній мірі умовною. Одну з перших, досить повних, класифікацій моделей було розроблено Дж. Форрестером у 1961 році.

Пропонуємо, не претендуючи на загальність, наступну класифікацію моделей за схемою «ознака класифікації – типи моделей»:

сфера використання – науково-дослідні, технічні, конструкторські, еталонні (зразкові), розрахункові, демонстраційні, навчальні, ігрові, імітаційні;

цілі моделювання (див. п. 3.3) – описові (дескриптивні), ідентифікаційні,

оптимізаційні, багатокритеріальні, моніторингові, прогнозні, ігрові, імітаційні, симуляційні (управлінські);

спосіб створення – теоретичні та емпіричні;

складність об’єкту-оригіналу – прості та системні (імітаційні і структурні);

49

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

спосіб відображення об’єкту-оригіналу – понятійні, концептуальні,

структурні, процесні (процесуальні), функціональні (імітаційні), параметричні;

рівень відображення об’єкту-оригіналу – якісні, кількісні;

ступінь відповідності об’єкту-оригіналу – ізоморфні (строго відповідні об'єкту), гомоморфні (відображає деякі істотні властивості об'єкта);

спосіб подання моделей – реальні (матеріальні), абстрактні (ідеальні);

мова описання – описові, формальні;

інструментарій реалізації – матеріальні, аналітичні, комп’ютерні (алгоритмічні – чисельні, імітаційні);

урахування часу – статичні (структурні), динамічні (функціональні, імітаційні

– стаціонарні, нестаціонарні);

зв'язок параметрів об’єкту-оригіналу – лінійні, нелінійні;

наявність випадкових параметрів – детерміновані, стохастичні (ймовірнісні);

тип параметрів об’єкту-оригіналу – дискретні, неперервні, дискретно-

неперервні;

розмірність – плоскі (двомірні), об’ємні (тримірні);

Якщо враховувати, що моделювання – це метод пізнання дійсності, то основною ознакою класифікації можна назвати спосіб подання моделі. Класифікація моделей за цією ознакою має вигляд:

1.Реальні (матеріальні) моделі:

1.1.Натурні – організми, препарати, фрагменти, локуси; 1.2.Аналогові:

1.2.1.Структурні:

1.2.1.1.Геометрично подібні (масштабні) – макети, зразки (еталони), муляжі;

1.2.1.2.Фізично подібні – макети, муляжі;

1.2.2.Функціональні:

1.2.2.1.Фізично подібні – пристрої, установки, імітатори, симулятори (планетарій);

1.2.2.2.Математично подібні;

1.3.Квазіаналогові;

2.Абстрактні (ідеальні):

2.1.Наочні:

2.1.1.Образні – малюнки, ескізи, фотографії, плакати;

2.1.2.Табличні – таблиця Менделєєва, матриці, таблиці типу «об’єктвластивості»;

2.1.3.Графічні – рисунки, анімації, креслення, схеми, графіки, карти;

2.1.4.Ієрархічні – генеалогічне дерево, бінарне дерево, графи;

2.1.5.Структурні – схеми, графи, таблиці типу «об’єкт-елементи»;

2.1.6.Геометричні (просторові);

2.2.Уявні (віртуальні):

2.2.1.Неформалізовані:

2.2.1.1.Інтуїтивні;

50

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)