3. Перетворення Лоренца

Класичні перетворення Галілея несумісні з постулатами СТВ і, отже, повинні бути замінені. Ці нові перетворення повинні встановити зв'язок між координатами (x, y, z) і моментом часу t події, що спостерігається в системі відліку K, і координатами (x ', y', z ') і моментом часу t' цього ж події, що спостерігається в системі відліку K '. 

Кінематичні формули перетворення координат і часу в СТВ називаються перетвореннями Лоренца. Вони були запропоновані в 1904 році ще до появи СТВ як перетворення, щодо яких інваріантні рівняння електродинаміки. Для випадку, коли система K 'рухається щодо K зі швидкістю υ вздовж осі x, перетворення Лоренца мають вигляд:  K '→ K K → K'     β = υ / c.  З перетворень Лоренца випливає цілий ряд наслідків. Зокрема, з них слід релятивістський ефект уповільнення часу і Лоренцева скорочення довжини.Нехай, наприклад, в деякій точці x 'системи K' відбувається процес тривалістю τ₀ = t'₂ – t'₁ (власний час), де t'₁ и t'₂ - показання годин в системі K 'на початку і в кінці процесу. Тривалість τ цього процесу в системі K буде дорівнює 

   Аналогічним чином, можна показати, що з перетворень Лоренца випливає релятивістське скорочення довжини. Одним з найважливіших наслідків з перетворень Лоренца є висновок про відносність одночасності. Нехай, наприклад, у двох різних точках системи відліку K '(x'₁ ≠ x'₂) одночасно з точки зору спостерігача в K' (t'₁ = t'₂ = t') відбуваються дві події. Згідно перетворень Лоренца, спостерігач в системі K буде мати     

   Отже, в системі K ці події, залишаючись просторово роз'єднаними, виявляються неодночасно. Більш того, знак різниці t₂ – t₁ визначається знаком вираження υ(x'₂ – x'_1), тому в одних системах відліку перша подія може передувати другому, в той час як в інших системах відліку, навпаки, друга подія передує першому. Цей висновок СТВ не відноситься до подій, пов'язаних причинно-наслідковими зв'язками, коли одна з подій є фізичною наслідком іншого. Можна показати, що в СТВ не порушується принцип причинності, і порядок проходження причинно-наслідкових подій однаковий у всіх інерціальних системах відліку. 

Відносність одночасності просторово-роз'єднаних подій можна проілюструвати на наступному прикладі.  Нехай в системі відліку K 'вздовж осі x' нерухомо розташований довгий жорсткий стержень. У центрі стержня знаходиться імпульсна лампа B, а на його кінцях встановлені два синхронизованих годинника (рис. 2.1 (a)), система K 'рухається вздовж осі x системи K зі швидкістю υ. У деякий момент часу лампа посилає короткі світлові імпульси в напрямку кінців стержня. У силу рівноправності обох напрямків світло в системі K 'дійде до кінців стержня одночасно, і годинник, закріплені на кінцях стержня, покажуть одне й те саме час t'. Щодо системи K кінці стержня рухаються зі швидкістю υ так, що один кінець рухається назустріч світловому імпульсу, а інший кінець світла доводиться наздоганяти. Так як швидкості поширення світлових імпульсів в обох напрямках однакові і рівні c, то, з точки зору спостерігача в системі K, світло раніше дійде до лівого кінця стержня, ніж до правого (рис. 2.1 (b)). 

   Рис. 2.1.  Відносність одночасності. Світловий імпульс досягає кінців твердого стержня одночасно в системі відліку K '(a) і не одночасно в системі відліку K (b)  Перетворення Лоренца висловлюють відносний характер проміжків часу і відстаней. Однак, в СТВ поряд з твердженням відносного характеру простору і часу важливу роль відіграє встановлення інваріантних фізичних величин, які не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої. Однією з таких величин є швидкість світла у вакуумі c, яка в СТВ набуває абсолютний характер.Іншою важливою інваріантною величиною, що відбиває абсолютний характер просторово-часових зв'язків, є інтервал між подіями.  Просторово-часовий інтервал визначається в СТВ наступним співвідношенням:      де t₁₂ - проміжок часу між подіями в деякій системі відліку, а l₁₂ - відстань між точками, у яких відбуваються розглядаються події, в тій же системі відліку. В окремому випадку, коли одна з подій відбувається на початку координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системи відліку в момент часу t₁  = 0, а друге - в точці з координатами x, y, z в момент часу t, просторово-часової інтервал між цими подіями записується у вигляді

     За допомогою перетворень Лоренца можна довести, що просторово-часовий інтервал між двома подіями не змінюється при переході з однієї інерціальної системи до іншої. Інваріантність інтервалу означає, що, незважаючи на відносність відстаней і проміжків часу, протікання фізичних процесів носить об'єктивний характер і не залежить від системи відліку.  Якщо одна з подій представляє собою спалах світла на початку координат системи відліку при t = 0, а друге - прихід світлового фронту в точку з координатами x, y, z в момент часу t (рис. 4.1.3), то  x² + y² + z² = c²t²,  і, отже, інтервал для цієї пари подій s = 0. В іншій системі відліку координати і час другої події будуть іншими, але й у цій системі просторово-часовий інтервал s ' виявиться рівним нулю, так як      Для будь-яких двох подій, пов'язаних між собою світловим сигналом, інтервал дорівнює нулю.  З перетворень Лоренца для координат і часу можна отримати релятивістський закон додавання швидкостей. Нехай, наприклад, в системі відліку K 'вздовж осі x' рухається частка зі швидкістю Складові швидкості часткиu'_x и u'_z дорівнюють нулю. Швидкість цієї частки в системі K буде дорівнює  За допомогою операції диференціювання з формул перетворень Лоренца можна знайти:

     Ці співвідношення висловлюють релятивістський закон додавання швидкостей для випадку, коли частинка рухається паралельно відносної швидкості систем відлікуK і K '.  При υ <<c релятивістські формули переходять у формули класичної механіки:  u_x = u'_x + υ,  u_y = 0,  u_z = 0.  Якщо в системі K 'вздовж осі x' зі швидкістю u'x = c поширюється світловий імпульс, то для швидкості ux імпульсу в системі K отримаємо

   Таким чином, в системі відліку K світловий імпульс також поширюється вздовж осі x зі швидкістю c, що узгоджується з постулатом про інваріантність швидкості світла.