Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

318.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид

		y	позволяет сделать замену	y		и свести к уравнению с разде-
y′ = f					= t
y′ = f					= t
				x
	x			x

ляющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

xy = t , y = tx, y′ = t′x +tx′ = t′x +t.

Уравнение примет вид

t′x +t = t − 2sint; t′x = −2sint;

dxdt x = −2sint.

Разделяем переменные и интегрируем:

= − 2dx , ∫

= −2∫dx

;

sint

= −2ln

+lnC;

= ln

, tg

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

tg 2yx = xC2 .

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:

1)(5 − x2 +3xy2 )dx −(2y2 +3x2 y)dy = 0;

2)(xy4 + x2 +3)dx + (y2 + 2x2 y3 )dy = 0;

3)(2x2 + y2 −3)dx + (y2 + 2x2 y)dy = 0.

Решение. Дифференциальное уравнение

P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

∂∂Py = ∂∂Qx .

Проверим его для каждого уравнения.

1. P( x,y ) = 5 − x2 +3xy2 , Q( x,y ) = −2y2 −3x2 y;

∂∂Py = 6xy, ∂∂Qx = −6xy.

Условие не выполняется.

2. P( x,y ) = xy4 + x2 +3, Q( x,y ) = y2 + 2x2 y3 ;

∂∂Py = 4xy3 , ∂∂Qx = 4xy3 .

Условие выполняется, тогда

(xy4 + x2 +3)dx + (y2 + 2x2 y3 )dy = 0

-уравнение в полных дифференциалах.

3.P( x,y ) = 2x2 + y2 −3, Q( x,y ) = y2 + 2x2 y;

∂∂Py = 2y, ∂∂Qx = 4xy.

Условие не выполняется.

Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′−5y′′+ 6y′ = 0.

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

r3 −5r2 + 6r = 0; r( r2 −5r + 6 ) = 0; r( r − 2 )( r −3 ) = 0.

Так как его корни действительны и различны (r1 = 0, r2 = 2, r3 = 3), общее решение исходного уравнения имеет вид

y = C1e0 x +C2e2x +C3e3x или y = C1 +C2e2x +C3e3x .

Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравнения

y IV + 4y′′ = 0.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

r4 + 4r2 = 0; r2( r2 + 4 ) = 0;

r1 = r2 = 0, r3,4 = ±2i.

Паре корней r1 = r2 = 0 соответствует решение

y = C erx +C			xerx = C e0 x +C		xe0 x = C +C			x.
1	1	2	1	2		1	2
Комплексным корням r3,4			= ±2i (α = 0, β = 2)			соответствует решение

y2 = eαx (C3 cos βx +C4 sin βx) = e0 x (C3 cos 2x +C4 sin 2x) = = C3 cos 2x +C4 sin 2x.

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

y = y1 + y2 = C1 +C2 x +C3 cos 2x +C4 sin 2x.

Задача 31. Указать вид частного решения дифференциального уравнения y′′−5y′ = x2e5x .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

r2 −5r = 0; r( r −5 ) = 0; r1 = 0, r2 = 5.

Затем правую часть уравнения представляем в виде

f (x) = eαx Pm (x).

Получим x2e5x = e5x P2 (x). Здесь,		α = 5, m = 2.
Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид
y = x	S	e	5x ~
			P2 (x),
где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического
уравнения (S =1).
Итак, y = xe5x (Ax2 + Bx +C), или y = e5x (Ax3 + Bx2 +Cx).
Задача 32. Указать вид частного решения дифференциального
уравнения y′′+16y = xsin 4x.
Решение. Характеристическое			уравнение r2 +16 = 0 имеет корни
r1,2 = ±4i.
Будем искать частное решение			y0 данного уравнения по виду пра-
вой части (см. прил. 2, п. 2).

Запишем правую часть данного уравнения в виде

f (x) = eαx (Pm (x)cos βx +Qn (x)sin βx).

Получим

xsin 4x = e0 x (0 cos4x + xsin 4x).

Значит, α = 0, β = 4, m = 0, n =1.

Частное решение будет иметь вид

y = x	S	αx	~	~
y = x		e	(Pl	(x)cos βx +Ql (x)sin βx),

где l = max{m,n}, S - показатель кратности корня α + βi в характеристическом уравнении.

Так как в данном случае l = max{0;1}=1, значение α + βi = 4i совпадает с корнем характеристического уравнения и S =1, получим

1	0 x	~	~
y = x e		( P1( x )cos 4x +Q1( x )sin 4x ) =
= x(( Ax + B )cos 4x +( Cx + D )sin 4x)

или

y = (Ax2 + Bx)cos4x +(Cx2 + Dx)sin 4x.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1967. 350 с.

2.Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-5 для студентов вузов. Самара, 2000. 54 с.

3.Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-6 для студентов вузов. Самара, 2000. 61 с.

4.Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-7 для студентов вузов. Самара, 2000. 72 с.

5.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2.

М., 1970, 800 с.

6.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3.

М., 1963, 656 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица интегралов

xn+1

∫x n dx = n +1 +C, ( n ≠ −1) ;

∫dxx = ln x +C ;

∫axdx = ax +C; ln a

∫exdx = ex +C;

∫sin xdx = −cos x +C;

∫cos xdx = sin x +C;

∫cosdx2 x = tg x +C;

∫sindx2 x = −ctg x +C;

∫sindxx = ln tg 2x +C;

∫	dx		x			π

		= ln	tg		+		+C;
	cos x			2		4

∫tg xdx = −ln cos x +C;

∫ctg xdx = ln sin x +C;

∫x2 dx+ a2 = 1a arctg ax +C;

∫x2 dx− a2 = 21a ln xx +− aa +C;

∫a2dx− x2 = arc sin ax +C;

∫x2dx± a2 = ln x + x2 ± a2 +C.

Формула интегрирования по частям

∫udv = uv − ∫vdu ;

sin 2 α = 1−cos 2α ;

cos2 α = 1+ cos 2α ;

Приложение 1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

				Продолжение прил. 1
sinα cosα =		1 sin 2α ;		(20)
		2
sinα cos β =		1	(sin(α + β) +sin(α − β));	(21)
		2
cosα cos β =		1	(cos(α + β) +cos(α − β));	(22)
		2
sinα sin β =	1 (cos(α − β) −cos(α + β)).			(23)
	2

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

	b
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x,ϕ(x))		1 + (ϕ (x))		2		dx, если l : y =ϕ(x), a ≤ x ≤b ;		(24)
			′	2
l	a
	d
∫	f (x, y)dl = ∫ f (ψ(y), y)	1 + (ψ	(y))		2		dy, если l : x =ψ(y), c ≤ y ≤ d ;	(25)
			′		2
l	c

		t2
∫ f (x, y)dl =		t2	′		2		′	2		dt,
			′		2		′	2
		∫ f (x(t), y(t)) (x (t))				+ (y (t))
l		t1
если l : x = x(t), y = y(t),t1	≤ t ≤ t2 .
Переход к полярным координатам (x = ρ cosϕ,										y = ρsinϕ) :
	β
∫ f (x, y)dl	= ∫ f (ρ cosϕ, ρsinϕ)			ρ		2	(ϕ) +(ρ		′	2	dϕ,
∫ f (x, y)dl	= ∫ f (ρ cosϕ, ρsinϕ)			ρ			(ϕ) +(ρ		(ϕ))		dϕ,
l	α

если l : ρ = ρ(ϕ), α ≤ϕ ≤ β .

Масса дуги кривой l с плотностью γ(x, y)

ml = ∫γ(x, y)dl .

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

(26)

(27)

28)

	xB	xB	′
∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫P(x,ϕ(x))dx + ∫Q(x,ϕ(x))ϕ (x)dx,
	xA	xA
AB	xA	xA

если AB : y =ϕ(x) .

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy

если AB :x =ψ(y) .

= y∫B P(ψ(y), y)ψ ′(y)dy + y∫BQ(ψ(y), y)dy,

(29)

(30)

Продолжение прил.1

(P(x(t), y(t))x (t) +Q(x(t), y(t))y (t))dt,

(31)

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

′

если

x = x(t),

y = y(t) .

AB :

Работа силы

на криволинейном пути L:

+Q(x, y)

(x, y) = P(x, y)i

A = ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

(32)

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

	b	ϕ2	( x)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx			∫ f (x, y)dy
D	a	ϕ1 ( x)

	d	ψ2 ( y)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy ∫ f (x, y)dx
D	c	ψ1 ( y)

y			y =ϕ2 (x)
			y =ϕ2 (x)
	D			y =ϕ1(x)
				y =ϕ1(x)
0	x = a		x = b	x
y	x =ψ	1	(y)	(y)
y = d		1	x =ψ 2	(y)
y = d
	D
y = c
0			x

(33)

(34)

Двойной интеграл в полярных координатах

∫∫f ( x,y )dxdy = ∫∫f (ρcosϕ,ρsinϕ)ρdϕdρ=

ρ = ρ2 (ϕ)

ρ = ρ1(ϕ)

(35)

ρ2 ( ϕ)

= ∫dϕ

∫ f (ρcosϕ,ρsinϕ)ρdρ.

ρ1 ( ϕ)

ϕ = β

ϕ =α

Ряды Фурье

Разложение

в ряд

Фурье

функции f (x) ,

заданной на отрезке

[−l;l]:

∞

kπx

(36)

(x) =

∑

ak cos

+bk sin

k =1

где

= 1

kπx

dx (k =1,2, ) .

(37)

∫

f (x)dx, ak =

∫ f (x) cos

dx,

bk =

∫ f (x)sin

−l

Окончание прил.1

Разложение в ряд Фурье по косинусам функции f (x) , заданной на отрезке [0;l]:

f ( x ) = a0

+ ∑ak cos kπx ;

(38)

∞

k =1

kπx

(k =1,2, ) .

(39)

∫ f (x)dx, ak =

∫ f (x)cos

Разложение в ряд Фурье по синусам функции резке [0;l]:

				f (x) = ∑bk sin kπx ;
					∞
					k =1		l
		2	l		kπx		(k =1,2, ) .
bk	=	2	∫ f (x)sin		kπx	dx
bk	=	l	∫ f (x)sin			dx
		l	0		l

f (x) , заданной на от-

(40)

(41)

Приложение 2

Дифференциальные уравнения

1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

y′′+ ay′+by = 0

составляют характеристическое уравнение

r 2 + ar +b = 0 .

Общее решение имеет вид:

1) y = C1er1x +C2er2 x , если корни r1 и r2 действительны и различны; 2) y = C1erx +C2 xerx , если r1 = r2 = r (корень кратности 2);

3)y = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx), если корни комплексные r1,2 =α ± βi.

2.Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

y′′+ ay′+by = f (x),

то его общее решение y = y0 + y,

					Окончание прил. 2
где y0 -	общее решение соответствующего однородного уравнения;
y - частное решение неоднородного уравнения.
Если	f (x) = eαx Pm (x) , где Pm (x) - многочлен степени m, то y следует
искать в виде				αx ~
	y = x	S	e
					Pm (x),
где S - показатель кратности корня α					в характеристическом уравнении
(если α	не является корнем характеристического уравнения, S = 0 );

~ - многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициента-

Pm (x)

ми, чем Pm (x) ).

Если же f (x) = eαx (Pm (x)cos βx +Qn (x)sin βx),

то y следует искать в виде

y = x	S	e	αx	~	~
y = x		e		(Pl	(x)cos βx +Ql (x)sin βx),

где l = max{m, n}, S - показатель кратности корня α + βi в характеристиче-

ском уравнении (если α + βi не является корнем характеристического

уравнения, S = 0 ).

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Интегралы...........................................................................................................................	1
Ряды .................................................................................................................................	12
Дифференциальные уравнения......................................................................................	17
Библиографический список............................................................................................	22
Приложения .....................................................................................................................	23

ЛИМАНОВА Лариса Владимировна МУРАТОВА Лидия Александровна

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды (Задачи и решения)

Редактор Н. В. Б е г а н о в а Технический редактор В. Ф. Е л и с е е в а Оригинал-макет Е. Э. П а р с а д а н я н

Подписано в печать 24.04.06. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная. Печать офсетная.

Усл. п. л. 1,63. Усл. кр.-отт. 1,63. Уч.-изд. л. 1,59. Тираж 100 экз. С-96.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус

Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8

<<< < Предыдущая 1 23 / 33