для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / integral
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика
Л.В. ЛИМАНОВА Л.А. МУРАТОВА
ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
РЯДЫ
(Задачи и решения)
Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики
Самара 2006
1
УДК 517.531, 519.2
Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды (Задачи и решения): Учеб.-
метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2006. 28 с.
Представлены задачи и их решения из следующих разделов высшей математики: «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».
Для студентов всех специальностей СамГТУ.
Ил. 5. Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
2
Вданной работе 3 раздела: «Интегралы», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».
Впервом разделе содержатся задачи по темам: «Неопределенные и определенные интегралы», «Двойные интегралы», «Криволинейные интегралы I и II рода».
Раздел дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравнениями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.
Втретьем разделе рассматриваются числовые положительные и знакопеременные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье.
Выбор задач по указанным темам определен программой курса высшей математики для 2 семестра СамГТУ.
Назначение работы – помощь студентам при подготовке к экзамену по высшей математике.
ИНТЕГРАЛЫ
Задача 1. Вычислить |
−2 3 |
dx |
|
. |
∫ |
|
|||
(3x +1) |
5 |
|||
|
−1 |
|
|
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену 3x +1 = t . Дифференцируя обе части равенства, получим 3dx = dt ,
т.е. dx = |
1 dt . Интеграл |
определенный, |
|
поэтому |
|
необходимо изменить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределы интегрирования: если x = −1, то t = −2 ; если x = − 2 |
, то t = −1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−2 |
3 |
|
dx |
|
|
|
−1 |
1 dt |
= 1 |
−1 |
|
|
|
1 t |
−4 |
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
3 |
|
∫t −5 dt = |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− |
|
(3x +1) |
|
|
− |
2 |
t |
3 |
− |
2 |
|
|
|
3 − 4 |
|
|
|
|
|
12 t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
1 |
|
|
15 |
|
|
−2 |
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
|
4 − |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
||||||||||
|
12 |
|
|
|
(−2) |
4 = − |
12 |
16 |
12 |
|
16 |
64 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
1
Задача 2. Вычислить ∫474x dx .
0
Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену
переменной t = 4x . Тогда dt = 4dx, dx = dt . |
Изменяем пределы интегриро- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вания: если x = 0, то t = 0 ; если x = |
1 |
, то t =1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
4x |
dx |
1 |
t |
|
dt |
|
1 |
1 |
t |
dt |
|
|
7t |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫7 |
|
= ∫7 |
|
|
|
= |
|
∫7 |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
(7 |
|
− 7 |
|
) = |
|
. |
||
|
|
4 |
4 |
|
4 ln 7 |
|
|
4 ln 7 |
|
|
2 ln 7 |
||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 3. Вычислить ∫(5x +3)cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
Интеграл |
относится |
к |
группе |
|
интегралов: ∫Pn (x)ekx dx , |
|||||||||||||||||||
∫Pn (x)sin kxdx , ∫Pn (x)cos kxdx , |
где Pn (x) - |
многочлен степени п. |
Вычисление |
таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле
(17)
∫udv = uv − ∫vdu.
Если за и принять многочлен Pn (x) , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).
Обозначим u = 5x +3, dv = cos xdx. Найдем du,v :
du = d(5x +3) = 5dx, v = ∫dv = ∫cos xdx = sin x.
Тогда ∫(5x +3)cos xdx = (5x +3)sin x − ∫5sin xdx = (5x +3)sin x +5cos x +C.
Задача 4. Вычислить ∫(x +1)ln 2xdx .
Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида
∫Pn (x)ln kxdx , ∫Pn (x)arcsin kxdx , ∫Pn (x)arccoskxdx , ∫Pn (x) arctg kxdx ,
∫Pn (x)arcctgkxdx ( Pn (x) - многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы
исходный интеграл |
упростится, если за |
и |
принимать функции |
||
ln kx, arcsin kx, ,arcctg kx . |
Итак, положим u = ln 2x, |
dv = (x +1)dx. |
|||
Тогда du = d(ln 2x) = |
2dx |
= dx , v = ∫dv = ∫(x +1)dx = |
x2 |
+ x. |
|
2x |
|
||||
|
x |
2 |
|
Получаем
4
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫(x +1)ln 2xdx = |
2 |
|
+ x ln 2x − ∫ |
2 |
+ x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− x +C. |
||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
+ x ln 2x − |
2 |
+1 dx = |
|
|
+ x ln 2x |
4 |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 5. Вычислить ∫tg7 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Выполним замену переменной: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
tg x = t, x = arctgt, dx = |
dt |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t 2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим ∫tg7 xdx = ∫tt27 dt+1.
В подынтегральном выражении выделим целую часть:
7 |
|
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|||||
- tt 7 |
|
|
|
|||
+t5 |
|
t5 |
−t3 +t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
−t5
-−t5 −t3
t3
-t3 +t
−t
Тогда
|
7 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
t |
|
t 6 |
|
t 4 |
|
t 2 |
|
|
tdt |
|
||
∫tg |
|
xdx = ∫ t |
|
−t |
|
+t − |
|
|
|
|
dt = |
|
− |
|
+ |
|
− ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
t |
2 |
+1 |
6 |
4 |
2 |
t |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
В интеграле ∫ |
tdt |
|
сделаем замену: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
t 2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = t 2 |
+1, du = 2tdt,tdt = du |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
при этом ∫ |
|
tdt |
= |
1 |
∫du |
= |
1 ln |
|
u |
|
+C = 1 ln(t 2 +1) +C. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t |
+1 |
|
2 |
|
u |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Возвращаясь к переменной х, получим |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫tg7 xdx = tg6 x − tg4 x |
+ tg2 x |
− 1 ln(tg2 |
x +1)+ C = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
= |
tg6 |
x |
− |
tg4 |
x |
+ |
tg2 x |
+ ln |
|
cos x |
|
+ C. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6. Вычислить ∫sin3 x cos8 xdx . Решение. Это интеграл вида ∫sin m x cosn xdx .
5
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае m = 3 ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение
∫sin3 x cos8 xdx = ∫sin2 x cos8 xsin xdx = ∫(1−cos2 x)cos8 xsin xdx.
sin xdx = −d cos x , следовательно, можно выполнить замену: cos x = t . В результате получим
∫sin3 x cos8 xdx = −∫(1−cos2 x)cos8 xd cos x = −∫(1−t 2 )t8 dt =
= ∫(t10 −t8 )dt = t11 |
− t9 +C = cos11 x |
− cos9 x |
+C. |
|
11 |
9 |
11 |
9 |
|
Задача 7. Вычислить ∫cos2 10xdx . |
|
|
||
Решение. Это интеграл вида |
∫sin m x cosn xdx с чётными m и n (в дан- |
ном случае m = 0, n = 2 ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени
|
|
|
|
cos2 α = 1+ cos 2α |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
получим ∫cos |
2 |
|
1 |
+cos 20x |
|
|
1 |
|
sin 20x |
|
x |
|
sin 20x |
|
|
|
10xdx = ∫ |
|
|
dx |
= |
|
x + |
|
|
+C = |
|
+ |
|
+C. |
|
|
|
2 |
2 |
20 |
2 |
40 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Вычислить ∫sin xsin 7xdx .
Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)
sinα sin β = 12 (cos(α −β) −cos(α + β)),
получим
∫sin xsin 7xdx = 12 ∫(cos(−6x) −cos8x)dx = 12 ∫(cos6x −cos8x)dx = = 121 sin 6x −161 sin 8x +C.
Задача 9. |
|
(3x −1)dx |
|
Вычислить ∫ |
|
. |
|
x2 +10x + 22 |
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
|
|
|
|
|
|
|
(2x +10) |
3 |
16 |
|
|
|
||||
∫ |
|
(3x −1)dx |
= ∫ |
2 − |
dx |
= |
||||||||||
x |
2 |
+10x + 22 |
x |
2 |
+10x + 22 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
3 |
∫ |
(2x +10)dx |
|
−16∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
||||
2 |
2 |
x |
2 |
+10x + 22 |
|
|||||||||||
|
|
x +10x + 22 |
|
|
|
|
|
|
6
Первый интеграл вычисляем, сделав |
|
|
|
замену |
t = x2 |
+10x + 22, |
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt = (2x +10)dx . Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
(2x +10)dx |
|
= |
∫dt |
|
|
= ln |
|
t |
|
|
+C = ln |
|
x2 +10x + 22 |
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+10x + 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рат: x 2 +10x + 22 = x 2 |
+10x + 25 −3 = (x +5) 2 |
|
−3 . |
|
|
Тогда |
с |
учетом формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(14) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(x +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x +5 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
|
3 |
|
+C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+10x + 22 |
(x +5) |
2 |
|
−3 |
|
(x +5) |
2 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x +5 + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, исходный интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3x −1)dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
x +5 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+10x + 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 +10x + 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 10. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +3)dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
−8x +13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
(x |
+3)dx |
|
|
= |
∫ |
(2x −8) 2 + |
|
7 |
dx = |
1 |
∫ |
|
|
(2x −8)dx |
|
|
|
+ 7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
−8x |
+13 |
|
|
|
|
x |
2 |
−8x |
+13 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−8x +13 |
|
|
|
−8x +13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первый |
интеграл вычисляется |
|
путем |
замены t = x2 −8x +13, |
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt = (2x −8)dx. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x −8)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
+C = 2 x2 −8x +13 +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 −8x +13 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подкоренном выражении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −8x +13 = x2 −8x +16 −3 = (x − 4)2 −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда с учетом формулы (16) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
d(x − 4) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −8x +13 |
|
|
|
|
(x − 4)2 −3 |
|
|
|
|
(x − 4)2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln x − 4 + x2 −8x +13 +C.
Следовательно, исходный интеграл равен
|
|
(x +3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 −8x +13 + 7 ln |
x − 4 + x2 −8x +13 |
+C. |
||||
∫ |
|
|
|||||||
x2 −8x +13 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
7
|
Задача 11. |
Вычислить ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
||
|
(3 |
|
+ 2) |
|
|
|||||
|
x + 4 |
x + 4 |
||||||||
|
Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида |
|||||||||
|
m1 |
m2 |
|
(здесь R – |
рациональная функция; m1 , n1 , - |
|||||
∫R x,(ax +b) n1 ,(ax +b) n2 |
, dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
целые числа) подстановка ax +b = t k , где к – наименьшее общее кратное знаменателей n1 , n2 , , позволяет избавиться от иррациональности. В
данном случае n1 = 3, n2 |
= 2. |
|
|
Наименьшее общее кратное этих чисел равно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Применяем подстановку x + 4 = t 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда dx = 6t5 dt |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
6t5 dt |
|
|
|
|
= 6∫ |
|
t 2 dt |
= 6∫ |
(t 2 + 2) − 2 |
dt = |
|||||||||||||||||
(3 |
|
|
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(t 2 + 2)t3 |
t 2 + 2 |
|
t 2 + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 4 |
x + 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 6 ∫dt − 2∫ |
|
|
|
|
|
|
= 6 t |
− 2 |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Возвращаясь к переменной х с учетом того, что t = 6 |
|
, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
(3 |
|
|
|
+ 2) |
|
|
|
|
= 66 x + 4 −6 2 arctg |
|
|
|
|
|
+C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 4 |
|
|
x + 4 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 12. Вычислить |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1+ cos x + 6sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. При вычислении интегралов вида |
∫R(sin x,cos x)dx , где R – |
рациональная функция, используется универсальная тригонометриче-
ская подстановка tg |
x |
= t , приводящая к интегралам от рациональных от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
носительно t функций, при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
x |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
1 |
− tg |
2 |
|
x |
|
|
|
1−t2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
sin x = |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
, |
cos x = |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+ tg |
2 x |
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
1 |
+ tg |
|
|
1+t2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из равенства tg |
x |
= t находим |
|
x = 2arctg t,dx = |
|
|
|
2dt |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
1+ t2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В данном случае получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
1+ cos x + |
6sin x |
|
|
1 |
−t |
2 |
|
|
|
|
2t |
|
|
1 |
+t |
2 |
+1−t |
2 |
+12t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
+6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 2∫ |
|
= ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Сделаем замену 6t +1 = u, 6dt = du, dt = du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда ∫ |
dt |
|
|
= |
1 |
∫du |
= 1 ln |
|
u |
|
+C = 1 ln |
|
6t +1 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6t +1 |
|
6 |
u |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Возвращаясь к переменной х, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
+C. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= 6 ln |
6 tg |
|
|
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+cos x +6sin x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 13. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ x x |
2 +36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dx , |
|
|
)dx , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R(x, |
|
|
|
|
|
∫R(x, |
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
Интегралы |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
− x2 |
a2 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
∫R(x, |
|
)dx , |
где R – рациональная функция, |
приводятся к интегралам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вида ∫R(sin x,cos x)dx , если выполнить замену переменной: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
- для первого интеграла x = a sin t |
|
(или x = a cost ); |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
- для второго интеграла x = a tg t (или x = a ctgt ); |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
- для третьего интеграла x = |
|
a |
|
(или x = |
|
|
a |
|
|
). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin t |
|
cost |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный интеграл вычисляем заменой x = 6 tg t .
Тогда dx = cos6dt2 t . Получаем
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
6dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
x2 +36 |
6 tg t |
|
36 tg2 t +36 |
|
6cos2 t tg t |
|
tg2 t |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg2 x |
= |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
= 1 |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
dt |
= |
1 ln |
|
tg |
t |
|
+C. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin t |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x2 +36 |
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
t cost |
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Возвращаясь к старой переменной при t |
= arctg |
x |
, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= 6 ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Задача 14. |
Вычислить ∫ |
5x2 −3x +1 |
|
|
dx. |
||
(x −1)2 (x + 2) |
Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю (x −1)2 со-
ответствует сумма двух простейших дробей |
|
|
A |
|
|
+ |
B |
|
, а множителю |
|||||||||
|
(x −1)2 |
x −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x + 2 |
- дробь |
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда подынтегральная функция будет иметь вид |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
5x2 −3x +1 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x + 2) |
(x −1)2 |
x −1 |
x + |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:
5x2 −3x +1 = A(x + 2) + B(x −1)(x + 2) +C(x −1)2 .
Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При x =1 получим 3 = 3A и A =1. При x = −2 равенство принимает вид 27 = 9C , а C = 3. В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинако-
вых степенях х в левой и правой |
|
|
|
частях |
равенства. Например, при |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 : 5 = B +C . Тогда B = 5 −C = 5 −3 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Итак, |
5x2 −3x +1 |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
2 |
|
+ |
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x −1)2 (x + 2) |
(x −1)2 |
x −1 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вычисляем интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
5x2 −3x +1 |
|
|
dx = ∫ |
|
|
dx |
|
+ |
∫ |
2dx |
|
+ ∫ |
3dx |
= |
|||||||||||||||||||
|
(x −1) |
2 |
(x + 2) |
(x |
−1) |
2 |
x |
−1 |
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= − |
1 |
|
|
|
+ 2ln |
|
x −1 |
|
+3ln |
|
x + 2 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+5x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача 15. Вычислить |
∫ |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 (x2 +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10