Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

318.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простей-

ших дробей. Множителю x2

будет соответствовать сумма

; мно-

жителю x2 +5

- дробь Cx + D . Тогда получим разложение

x2 +5

x2 +5x +5

Cx + D

x2 (x2

+5)

x2 +5

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю (x2 (x2 +5))

иприравняем числители получившихся дробей:

x2 +5x +5 = A(x2 +5) + Bx(x2 +5) + (Cx + D)x2 .

Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений (см. задачу 14) полагаем x = 0, тогда равенство примет вид 5 = 5A, откуда A =1. Далее применяем метод неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

Так,

для

получим

равенство

5 = 5В,

откуда

В =1; для x2

имеем 1 = A + D , откуда D = 0 ; для x3

получим 0 = B +C , откуда C = −1.

Итак,

x2 +5x +5

−

x2 (x2 +5)

x2 +5

Вычисляем интеграл

∫

+5x

dx =

∫

+ ∫

−

∫

xdx

= −

+ ln

−

∫

2xdx

+5)

= − 1 + ln

− 1 ln(x2

+5) +C = ln

−

+C.

Задача

16.

Вычислить

∫ ydl ,

если

задана

уравнением

ρ = 6cosϕ, 0 ≤ϕ ≤ π2 .

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

∫ f (x, y)dl

= ∫ f (ρ cosϕ, ρsinϕ)

′

)dϕ.

(ϕ) + (ρ (ϕ)

Получим

∫ydl = ∫2 ρ sinϕ

dϕ = ∫26 cosϕsinϕ

(6 cosϕ)2 + (6 cosϕ)′2 dϕ =

ρ2

+ (ρ′)2

π 2

= 6 ∫sinϕ cosϕ

36 cos2 ϕ + 36sin 2 ϕdϕ =36 ∫sinϕ cosϕdϕ.

Согласно формуле (20)

	sinϕcosϕ =	1 sin 2ϕ.
		2
Тогда
	π
∫ ydl =18 ∫2sin 2ϕdϕ = −9cos 2ϕ			π0	2 = −9(−1−1) =18.
∫ ydl =18 ∫2sin 2ϕdϕ = −9cos 2ϕ			π0	2 = −9(−1−1) =18.
l	0
Задача 17. Найти массу дуги кривой x =					y4	, −1 ≤ y ≤1, если плотность
Задача 17. Найти массу дуги кривой x =					4	, −1 ≤ y ≤1, если плотность
					4

кривой γ(x, y) = 1+ y6 .

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

ml = ∫γ(x, y)dl = ∫1+ y6 dl.

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

										d
										d									′				2	dy.
																			′				2
					∫ f (x, y)dl = ∫ f (ψ(y), y) 1+ (ψ															(y))
					l					c
Так как ψ(y)			=	y4	, получаем
Так как ψ(y)			=	4	, получаем
				4

					1									y4		′	2				1
																′	2
				6					6															6	3 2
ml = ∫ 1+ y dl = ∫ 1+ y										1	+						dy =				∫ 1+ y 1+ (y ) dy =

														4
	l				−1									4							−1

1		6				y	7	1				7						1			16
1							7	1				7
= ∫(1	+ y									=1+		1			−1				=			.
													−				−
			)dy = y +			7						7	−				−	7			7
−1						7		−1				7						7			7
								−1

Задача 18. Найти работу вектор-силы F (x, y) = xyi + y2 j на криволинейном пути L : x = t 2 , y = 2t,0 ≤ t ≤1.

Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой

F = P(x, y)i +Q(x, y) j

на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

A = ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy =∫xydx + y2 dy.

L L

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

	t2	′	′
		′	′
∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy =∫(P(x(t), y(t)x (t) +Q(x(t), y(t)y (t))dt,
L	t1

где t1 = 0, t2 =1.

Тогда

2 ′

′

A = ∫(t

2t( t

= ∫(2t

2t + 4t

2)dt =

) +( 2t ) ( 2t ) )dt

= ∫( 4t

+8t

)dt =

Задача

19.

Вычислить

∫∫xdxdy ,

если

ограничена

линиями

x = y2 , y = −1, x = 0.

Решение. На рисунке построена область D – криволинейный тре-

угольник.

1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по

формуле (33):

∫∫ f (x, y)dxdy

ϕ2

( x)

= ∫dx

∫ f (x, y)dy.

−1

x = y

ϕ1 ( x)

Здесь a = 0, b =1, ϕ1( x ) = −1, ϕ2( x ) = −

x ,

поэтому

−

∫∫xdxdy

= ∫dx

∫xdy

= ∫xy

= ∫x(−

x +1)dx =

−1

2 5

x2 1

2 1 1

= ∫ − x

+ x dx

−

= −

2 способ. Можно использовать формулу (34):

							d			ψ2 ( y)
		∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy									∫ f (x, y)dx.
		D					с			ψ1 ( y)
Тогда c = −1, d = 0, ψ1 (y) = 0,ψ2 (y) = y2 .
	0	y2	0		x	2	y2	0			y	4		y	5	0			1
	0	y2	0			2	y2	0				4			5	0
Значит, ∫∫xdxdy = ∫dy ∫xdx = ∫							dy	= ∫					dy =				=			.
Значит, ∫∫xdxdy = ∫dy ∫xdx = ∫					2		dy	= ∫			2		dy =	10			=	10		.
D	−1	0	−1		2		0		−1		2					−1		10
D	−1	0	−1				0		−1							−1
Задача 20. Вычислить ∫∫						dxdy				,
Задача 20. Вычислить ∫∫										,
		D		(x2			+ y2 )7

где D – правая половина кольца (см. рисунок).

1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

1 2

ρ2

(ϕ)

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosϕ, ρ sinϕ)ρdϕdρ =∫dϕ

∫ f (ρ cosϕ, ρ sinϕ)ρdρ.

ρ1 (ϕ)

Здесь α = −

, β =

π .

Так как x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ

(формулы перехода к полярным коорди-

натам), то x2

+ y2

= ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ = ρ2 .

Тогда уравнения окружностей x2 + y2

=1 и x2

+ y2

= 4 принимают вид

ρ =1, ρ = 2.

Следовательно,

dxdy

ρdϕdρ

dϕdρ

dρ

∫∫

= ∫∫

∫dϕ∫

= − ∫

dϕ =

5ρ

(x2

(ρ2 )7

+ y2 )7

−π

1 2

31π

= −

∫

−1 dϕ

−

5 32

160

−

−π

РЯДЫ

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:

∞

4n n

∞

2n4

∞

А)

∑

;

Б)

∑

;

В) ∑

n=1 n +3

n=1

(n +1)

n=1 (n + 2)

Решение.

∞

К ряду

∑

применим

радикальный

признак Коши: если

n=1 n +3

= d , то положительный ряд

∞

сходится при d <1 и расходится,

lim n an

∑an

n→∞

n=1

когда d >1.

Так как lim n

= lim

= 4 >

1, то ряд расходится.

n→∞

n +3

n→∞ n +

2. Рассмотрим ряд

∞

. Проверим необходимое условие сходи-

∑

n=1

(n +1)

мости: если ряд ∑∞ an

сходится, то lim an

= 0 .

n=1

n→∞

Поскольку

lim a

= lim

2n4

= 2 ≠

0 ,

необходимое условие не выпол-

n→∞

n→∞ (n +1)4

няется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда	∞	1	можно воспользо-
	∑
		7
	n=1	(n + 2)

ваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если

существует конечный и отличный от нуля предел lim an = k, то положи-
	n→∞ b
	n
∞	∞
тельные ряды ∑an и	∑bn одинаковы в смысле сходимости.
n=1	n=1
Для сравнения	возьмем обобщенный гармонический ряд

∞

∑

, сходящийся при

α >1 и расходящийся для α ≤1. При α = 7 получим

n=1 n

∞

сходящийся ряд ∑

n=1 n

Применим теорему сравнения

lim

n = lim

(n + 2)7

= lim

=1.

n→∞ bn

n→∞

n→∞ (n + 2)7

∞

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд ∑

также схо-

n=1

(n + 2)

дится.

Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:

∞

(−1)

∞

∑

;

∑

(−1)

(n +5)!

n=1

n=1 (n +1)

Решение.

1. Рассмотрим ряд

∞

(−1)

− .

∑

= −

−

(n +5)!

n=1

8! 9!

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбни-

ца. Знакочередующийся ряд

∞

0,i =1,2, ) сходится при условии:

∑(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − (ai >

n=1

1) a1 > a2 > a3 > ;

2) lim an

= 0 .

n→∞

Так как

> и

lim

= 0 , условия признака Лейбница

n→∞ (n +5)!

выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходит-

ся, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

∞	(−1)	n		∞	1	.
∑			=∑
	(n +5)!				(n +5)!
n=1				n=1
Получили положительный ряд.				Применяем к нему достаточный

признак сходимости – признак Даламбера: если lim an+1 = d, то положи-

n→∞ an

тельный ряд

∞

сходится при d <1 и расходится, когда d >1.

∑an

n=1

Поскольку

lim an+1

= lim

(n + 6)!

= lim

(n +5)!

= lim

= 0 <1,

n→∞ an

n→∞

(n + 6)!

n→∞ n + 6

(n +5)!

(−1)

∞

(−1)

∞

ряд ∑

сходится, следовательно, ряд

∑

сходится абсолютно.

(n +5)!

n=1

∞

2. Рассмотрим ряд ∑

(−1)

= −

−

+ .

n=1

(n +1)

3 2

3 4

Условия признака Лейбница выполняются:

> ;

2) lim

= 0. Значит, ряд сходится. Исследуя

3 2

n→∞ 3

n +1

ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин

∞	n		∞	1
∑	(−1)		= ∑	1		.	Применяем интегральный		признак сходимости
∑	1		= ∑	1		.	Применяем интегральный		признак сходимости
n=1	(n +1)	3	n=1	(n +1)	3
							∞
Маклорена-Коши: положительный ряд ∑an сходится или расходится в
							n=1
зависимости от того,							сходится или расходится	∞	f (x)dx (здесь f (x) при
зависимости от того,							сходится или расходится	∫	f (x)dx (здесь f (x) при
								1

x ≥1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что f (n) = an ).

Вычисляем

∞	dx			A	d( x +1)			( x +1)23		A	3			23		23
										A

∫	1		= lim	∫	1		= lim	2		=		lim	( A +1)		− 2		= ∞.
1	( x +1)	3	A→∞	1	( x +1)	3	A→∞	2	3	1	2 A→∞
									3	1

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расхо-

∞	(−1)	n			∞	(−1)	n
дится ряд ∑	(−1)		, а исходный ряд		∑	(−1)		сходится условно.
дится ряд ∑	(n +1)13		, а исходный ряд		∑	(n +1)13		сходится условно.
n=1	(n +1)13				n=1	(n +1)13
Отметим, что при исследовании					сходимости ряда
			∑		1
			∞
			n=1	(n +1)13

можно было использовать предельный признак сходимости(см. задачу 21).

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

		∞	(x +5)	n
	∑		(x +5)		.
	∑		n3 6n		.
	n=1		n3 6n
Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной
∞
ряд вида ∑an (x − x0 )n .
n=1
Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:
	an		или R =			1		.
R = lim						1

	an+1

n→∞						lim n	an
						n→∞

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством x − x0 < R . Вне этого интервала, при x − x0 > R ряд расхо-

дится. На концах интервала – в точках x = x0 ± R поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой форму-

ле. Так как an =

, an+1 =

, получаем

n3 6n

(n +1)3

6n+1

(n +1)3 6n+1

6(n +1)3

R = lim

= lim

n3 6n

= lim

= 6.

n→∞

an+1

n→∞

(n +1)3 6n+1

Тогда ряд

сходится,

если

x +5

< 6 ,

откуда −6 < x +5 < 6 , то есть

−11 < x <1.

Исследуем сходимость ряда в точках x =1 и x = −11.

При x =1 исходный ряд принимает вид

∞

∑

n=1 n3 6n

n=1 n3

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд (∑∞					1	сходится,
					α
			n=1 n
если α >1).
	∞	(−6)	n		∞	(−1)	n
При x = −11 получаем знакочередующийся ряд	∑			= ∑				. Этот
						n3
	n=1 n3 6n				n=1

ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

	(−1)	n		1
∞			∞
∑			= ∑		.
	n3
n=1			n=1 n3

Итак, исходный ряд сходится для всех x [−11;1].

Задача 24. Найти коэффициенты ak

и bk

разложения в ряд Фурье

функции

f (x) =

5, −3 ≤ x < 0

0, 0 ≤ x ≤ 3

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд

Фурье функции f (x) , заданной на отрезке [−l;l]:

∞

kπx

f (x) =

+ ∑

ak cos

+bk sin

k =1

гдеa0 = 1	l								1		l								kπx										1	l							kπx
	∫ f (x)dx, ak					=			1		∫ f (x) cos								kπx				dx, bk					=	1	∫ f (x)sin							kπx		dx, (k =1,2,...).
	∫ f (x)dx, ak					=			l		∫ f (x) cos									l			dx, bk					=	l	∫ f (x)sin									dx, (k =1,2,...).
l	−l								l		−l									l									l	−l							l
Найдем коэффициенты a0 , ak																											и bk . Так как l = 3, получим
			a0 =					1		3		f (x)dx =								1				0					3				=		5		x	0		5	(0 +3) = 5,
								1		3										1				0					3						5			0		5
								3			∫									3				∫5dx + ∫0dx											3			=		3
										−3												−3							0									−3
										−3												−3							0									−3
						1			3									kπx									1		0			kπx					3							kπx
			ak	=					∫		f	(x)cos										dx =							∫5cos							dx +∫0cos											dx =
			ak	=		3			∫		f	(x)cos							3			dx =					3		∫5cos				3			dx +∫0cos									3		dx =
						3			−3										3								3		−3				3				0								3
			=	5				3		sin			kπx			0			=			5				(sin 0 −sin(−kπ))= 0;
				5				3					kπx									5
						kπ															kπ
				3								3				−3
				3								3				−3
					1			3							kπx											1		0			kπx						3				kπx
			bk =					∫ f (x)sin												dx =								∫5sin						dx +∫0cos												dx =
			bk =		3			∫ f (x)sin							3					dx =						3		∫5sin			3			dx +∫0cos								3				dx =
					3		−3								3											3	−3				3						0					3
			= −	5				3			cos			kπx			0			= −						5	(cos0 −cos(−kπ))=													5			(cos kπ −1).
								3						kπx												5														5
							kπ																		kπ															kπ
				3								3						−3
				3								3						−3
Так как cos kπ									можно заменить более простой функцией (−1)k , полу-
чим bk =		5	((−1)k		−1).
чим bk =		kπ	((−1)k		−1).
		kπ

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

f (x) = 5

+ ∑∞

((−1)k −1)sin

kπx

∑∞ 1

((−1)k −1)sin

kπx

k =1 kπ

π k =1 k

Задача 25. Найти коэффициенты bk

разложения в ряд Фурье по си-

нусам функции

f (x) =

0, 0 ≤ x < 2

2 ≤ x ≤ 6

Решение. Коэффициенты bk

разложения функции в ряд Фурье по

синусам определяются по формуле (41):

2 l

kπx

bk =

∫ f (x)sin

dx.

Тогда

bk =			2	6	f (x)sin		kπx		dx =		1 2				kπx		6
			6	∫								∫0 sin				dx + ∫2sin
				∫			6				3	∫0 sin			6	dx + ∫2sin
				0			6				3	0			6		2
	2	6			kπx			2		6			kπx	6		4
	2	6			kπx			2		6			kπx	6		4
=		∫sin				dx = −					cos				= −		cos kπ
=		∫sin				dx = −					cos				= −		cos kπ
	3	2			6			3		kπ			6	2		kπ
	3	2			6			3		kπ			6	2		kπ

kπ6x dx =

−cos kπ . 3

Так как cos kπ = (−1)k , получим

bk = − k4π (−1)k −cos k3π = k4π cos k3π −(−1)k .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′− y tg x = cose2xx .

Решение. Это уравнение вида y′+ P(x)y = Q(x) - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки y = uv, где u и v две неизвестные

функции. Подставляя в исходное уравнение y = uv, y = u v +uv , получим
								′	′
′	′		e2x	′	′		e2x
		−uv tg x = cos x , или				−v tg x) = cos x .
u v +uv				u v +u(v

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

v′−v tg x = 0.

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

u′v = e2x . cos x

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение

– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

′

v −vtg x = 0;

′

v = vtg x;

= vtg x;

= tg xdx.

Интегрируя, находим

∫dv

= ∫tg xdx;

= −ln

cos x

;

= ln

;

cos x

v =

cos x

Подставим найденную функцию v

во второе уравнение

′

e2x

u v = cos x .

e2x

Получим u′

, откуда u′ = e

cos x

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменны-

ми. Решая его, находим функцию и:

= e2x ;

du = e2xdx;

∫du = ∫e2xdx;

u =

1 e2x +C.

Возвращаясь к функции у, получим

	1		2x		1
y = uv =		e		+C		.
y = uv =	2	e		+C	cos x	.
	2				cos x

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

y′ = xy −2sin xy .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>