7. Обратная матрица. Решение уравнений матречным способом

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

181.72 Кб

Скачать

☆

Введем понятие обратной матрицы. Пусть задана квадратная матрица

Матрица обратная для квадратной матрицы, называется матрица, которая при у множени на данную матрицу образует единичную матрицу.

Если существует такая матрица A 1 , что выполняются равенства

A 1 A A A 1 E ,

то матрица A 1 называется обратной для матрицы A . Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

1.Найти определитель матрицы A :

	a11		a12 ...			a1n
=	a21		a22 ...			a2n		.

	an1		an 2 ...			ann
Если 0 , то матрица A не имеет обратной A 1 .
2.	Найти матрицу AT – транспонированную матрице A , т. е. в матрице A поменять
местами строки и столбцы:
	a			a	...		a
		11		12				1n
T	a21			a22 ...			a2n
A									;


				a2n ...
	a1n			a2n ...			ann

3.Вычислить алгебраические дополнения каждого элемента матрицы с учетом, что

Aij 1 i j Mij , где Mij – минор элемента aij . Составить матрицу из этих алгебраических

дополнений:
	A		A ...		A
	11		12		1n
~	A21		A22 ...		A2n
A						;


	An1		An 2 ...
	An1		An 2 ...		Ann		~
4.							~	. Получим обратную
4.		Разделить каждый элемент матрицы A на определитель						. Получим обратную
матрицу
			A	A	...	A
			11	12		1n
A 1		1	A21	A22	...	A2n



			An1	An 2	...
			An1	An 2	...	Ann

Если матрица , квадратная , не выраженная то для неё существует единственная обратная матрица удовлетворяющая равенство

A 1 A A A 1 E ,

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ

Рассмотрим систему вида

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2

a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3

(6)

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

Из неизвестных x1 , x2 , x3 и свободных членов составим матрицы – столбцы

Тогда система (6) в матричной форме примет вид

		A X B .
					(7)
Чтобы найти матрицу X , умножим (7) на A 1					слева.
A 1 A X A 1 B X A 1 B
Решить систему матричным способом
5x 3y z 7
	3y		2z 9 .
2x	3y		2z 9 .

x 2 y 3z 1
Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу A :

		5	3	1
A		2	3	2
A		2	3	2	.
		1	2	3
		1	2	3

Из неизвестных составим матрицу – столбец:

x X y .z

Из свободных членов составим матрицу – столбец:

Тогда система запишется в виде

A X B .

Получили матричное уравнение.					Умножаем обе части этого уравнения на A 1
слева. Получаем:
					X A 1 B .
Находим обратную матрицу:
		3	1			5	2	1
	5	3	1			5	2	1

	2	3	2	84 ;	AT	3	3	2	;
	1	2	3			1	2	3
	1	2	3			1	2	3

Умножая обратную матрицу на B , получаем матрицу X .

Соседние файлы в папке ВЫШКА