для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 34. Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел:

и обратная дробь( Х/син.Х)

Следствия









Второй замечательный предел:

 или

Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). ТочкаH — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел: