2.4. Дифференцирование изображения.

Дифференцирование изображения соответствует умножению оригинала на функцию. Другими словами, если, тогда

(2.10)

Доказательство.

Продифференцируем (2.2) по параметру р. Получим

, что и требовалось доказать.

Применяя формулу (2.10) к самой себе, последовательно будем получать:

, , . . . . ,.

Пример 2.5

Рассмотрим соотношение (2.3): . Продифференцируем его левую часть и с учетом формулы (2.10) получаем.

Аналогично, дифференцируя левую часть последнего равенства, с учетом формулы (2.10) получаем

.

Далее, снова продифференцируем левую часть и, учитывая формулу (2.10), получим

, и т.д.

На шаге получим

.

(2.11)

Выпишем отдельно наиболее часто употребляемые формулы, полученные выше,

, .

(2.12)

2.5. Теорема смещения

Смещению изображения на соответствует умножение оригинала на. Другими словами, если, тогда

.

(2.13)

Доказательство:

.

Пример 2.6

Применим свойство (2.13) к выражению (2.11), получим

(2.14)

2.6. Дифференцирование оригинала

Если , тогда

(2.15)

Доказательство:

=

=,

что и тр. доказать.

Применим формулу (2.15) к самой себе, получим

или

(2.16)

Формула (2.16) дает изображение для производной второго порядка. Продолжая этот процесс, получим формулу для построения изображения производной n-го порядка:

(2.17)

Если начальное значение оригинала и все производные до (n –1) – ой включительно равны нулю, тогда.

2.7. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами

и начальным условиям

.

Изображение функций иобозначимисоответственно:,.

Перейдем к изображениям в дифференциальном уравнении. Получим алгебраическое уравнение

,

решая которое относительно , получим

.

Искомая функция определяется по ее изображению.

Пример 2.7

Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:,.

Решение

Обозначим через изображение функции:, тогда,.

Учитывая, что , получим исходное уравнение в изображениях, откуда.

Преобразуем выражение для изображения следующим образом

+

+ .

Здесь использованы полученные ранее формулы:

, ,.

Таким образом, решением дифференциального уравнения с заданными начальными условиями является функция .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти изображения следующих функций

1) ; 2); 3).

Ответы: 1)++; 2); 3).

2. Найдите изображение функции, являющейся решением ДУ и удовлетворяющей заданным начальным условиям

; ,.

3. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

1) ;.

2) ;.

3) ;,.

4);,.

5); ,.

Ответы: 1) ; 2); 3); 4); 5)..

.

29