Задачи для самостоятельного решения

	Задания	Ответы
1	, найти
2	, найти
3	, найти
4	Найти	64
5	Найти	16
6	Какая линия описывается уравнением ?	Окружность с центром в начале координат и радиусом 2
7	Найти
8	Вычислить
9	Вычислить
10	Решить уравнение
11	Какие из функций являются аналитическими а) ; б); в)?	Только в)
12	Решить уравнение

Глава 2

Элементы операционного исчисления

2.1.Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.

Функцией-оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. – непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале.

2. Существуют такие числа М и , что.

Это неравенство означает, что может расти не быстрее экспоненциальной функции. Например,– не является оригиналом.

3. , для всех.

Первые два условия часто выполняются в практических задачах. Чтобы выполнялось третье условие, используется функция

(2.1)

которая называется функцией Хевисайда.

Все функции-оригиналы в операционном исчислении считаются умноженными на множитель Хевисайда. Однако этот множитель, как правило, не записывается, а только подразумевается.

Функция называется изображением функции, если они связаны соотношением

(2.2)

Правая часть (2.2) – преобразование Лапласа для функции , а сам интеграл называется интегралом Лапласа;p – комплексный параметр. Тот факт, чтоявляется изображением функции, символически записывается в видеили=,L – оператор Лапласа:

.

Пример 2.1

Найдем изображение 1 или функции Хевисайда , определенной равенством (2.1).

или .

.

Таким образом, получили изображение функции Хевисайда или изображение единицы:

(2.3)

Пример 2.2

Найдем изображение функции .

.

.

(2.4)

2.2. Свойство линейности

Пусть и, тогда

(2.5)

Это свойство является следствием линейности оператора Лапласа, т.е. следствием линейности определенного интеграла.

Пример 2.3

.

Таким образом,

(2.6)

Аналогично можно получить изображение

(2.7)

Задание.

Найти изображения функций: 1), 2).

Ответы: 1) ; 2).

2.3. Свойство подобия

Пусть , тогда

,

(2.8)

Доказательство.

=

=

Пример 2.4

Используя формулы (2.6) и (2.8) Найдем изображение функции .

.

Таким образом,

(2.9)

Задания для самостоятельного решения

Найти изображения функций: ,,.