1.6. Производная функции комплексной переменной и понятие аналитичности

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциик приращению аргументапри стремлении к нулю:

(1.18)

Если этот предел существует при по произвольному пути, то функция называется дифференцируемой в точкеz. Если функциядифференцируема во всех точках области, то она называется аналитической в этой области.

Теорема: если функцияимеет непрерывные частные производные, то для аналитичности функции в этой области необходимо и достаточно выполнение условий

;

(1.19)

Докажем необходимость этих условий. Рассмотрим предел

По условию функция является аналитической, поэтому этот предел не зависит от пути, по которому.

Пусть сначала , а затем, тогда

(1.20)

Пусть теперь сначала , а затем, тогда

(1.21)

В силу аналитичности функции выражения (1.20) и (1.21) равны. Приравнивая их действительные части, получим первое равенство (1.19), а равенство мнимых частей приводит ко второму соотношению (1.19). Достаточность условий (1.19) примем без доказательства.

Соотношения (1.19) называются условиями Коши - Римана (иногда их так же называют условиями Даламбера - Эйлера).

Проверим выполнение условий (1.19) для функции .

, ;

, ;

, .

Оба условия (1.13) выполняются, поэтому показательная функция является аналитической. Аналогично можно доказать аналитичность всех остальных основных элементарных функций. То же относится ко всем вообще элементарным функциям, т.е. к функциям, которые составляются из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и операции взятия функции от функции.

Пример 1.21.

1)- элементарная функция, следовательно она является аналитической всюду, кроме точки, в которой эта функция не определена.

2)- функция не аналитическая:,, условия (1.19) не выполняются.

Дифференцирование функций комплексного переменного

При выводе условий (1.19) были получены две формулы вычисления производной

(1.22)

(1.23)

Рассмотрим функцию

.

Найдем ее производную по формуле (1.22): .

, ,.

Аналогично можно показать, что справедливы все формулы и правила дифференцирования, известные из теории функций действительного переменного:

, , , , , .

1.7. Интегрирование функций комплексной переменной

Пусть Lнекоторый контур в комплексной плоскости,функция комплексной переменнойz, а функции двух действительных переменныхиявляются соответственно действительной и мнимой частью функции, то

(1.24)

где ,,.

Это формула для вычисления интеграла по контуру.

Оба интеграла являются криволинейными интегралами второго рода в действительной плоскости.

Итак, вычисление интегралов по контуру сводится к вычислению двух криволинейных интегралов в действительной плоскости.

Пример 1.22

Вычислить интеграл ,L- отрезок прямой между точками и +1.

Решение

Теорема Коши для односвязной области

Если функция является аналитической в замкнутой односвязной областиD , то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в областиD, равен нулю:.

Доказательство:

Пусть функция аналитическая в областиD. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)

(1.25)

Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру

,

(1.26)

тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.

Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

,

(1.27)

где - первообразная аналитической функции.

Пример 1.23

Вычислить интеграл .

Решение

Подынтегральная функцияявляется аналитической. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (1.27), получим

.