Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

1) –1; 2) – ; 3); 4); 5).

Ответы:

1) ; 2); 3)+

+ ; 4); 5)+

+ .

2. . Найти:;;.

1.3. Показательная форма комплексного числа

Рассмотрим разложения функций ,,в ряд Маклорена

,

,

.

Положим , тогда

.

Получили формулу

(1.8)

Равенство (1.8) называется формулой Эйлера.

С учетом этой формулы, комплексное число , записывается в форме,

,

(1.9)

которая называется показательной формой комплексного числа.

Пример 1.9

1) , найти.

Решение

==

==

.

Умножение, деление и возведение в целую положительную степень удобно производить, когда комплексное число записано в показательной форме.

1) , .

2) ,

3) , .

Рассмотрим операцию извлечения корня.

, .

Из последних равенств следует формула извлечения корня из комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

,

(1.10)

.

Приравнивая числам 0,1, 2, … , получим значений корня.

Пример 1.10

Найти .

Решение

, .

Подставляя , получаем три значения корня:

,

, ;

,

Рис. 1.2

Тот факт, что комплексные числа иявляются значениями корня третьей степени из единицы, означает, что. Проверим,, используя алгебраическую форму числа:

= = +

+ + = +

+ = = 1.

Здесь последнее произведение комплексных чисел является произведением комплексно сопряженных чисел и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей (см. пример 1.3).

Пример 1.11

Вычислить .

Решение

.

Пример 1.12

Вычислить

Пример 1.13

Найти .

Решение

Воспользуемся тригонометрической формой числа , полученной в примере 1.5:, тогда===.

1.4. Понятие о функции комплексного переменного

Обозначим множество комплексных чисел С.

. Пусть и. Если каждому комплексному числупо некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел, то говорят, что на множествезадана функция.

Множество называется областью определения, а множествообластью значений функции. Если каждому значениюzсоответствует одно значение, то функция называется однозначной, если несколько – функция многозначная.

Обозначая, получим, что задание функциикомплексного переменногоравносильно заданию двух функцийидвух действительных переменныхx и y. Следовательно,, где,= =.

Пример 1.14

Для данной функции , где, найти действительную частьи мнимую часть:.

Решение

т.е. ;.

Пример 1.15

Какая линия описывается уравнением ?

Решение

. Подставляя это выражение в заданное уравнение, получаем – уравнение гиперболы.

Задачи для самостоятельного решения

Для данных функций найти их действительную часть и мнимую часть:

1) ; 2); 3) ; 4) ; 5); 6) .

Ответы: 1) ,; 2) ,; 3) ,; 4) ,; 5) ,;

6) ,.

1.5. Основные элементарные функции комплексной переменной

Показательная функция.По определению,

.

(1.11)

Можно показать, что при таком определении выполняются все обычные свойства показательной функции, например

, .

Покажем, что показательная функция (1.11) является периодической с периодом :

, .

Тригонометрические функции.По определению,

; ;; .

(1.12)

Можно показать, что при таком определении выполняются все известные формулы для тригонометрических функций, например,

, ,, и т.д.

Пример 1.16

Решить уравнение: .

Решение

, в это уравнение подставим выражение (1.5) для синуса, получим

, , где.

Гиперболические функции. По определению,

, ,,

(1.13)

Заменим в этих определениях z на, тогда получим

, .

Таким образом,

,

(1.14)

Если в формулах (1.8) заменитьzна, то получим

, .

(1.15)

Пример 1.17

Найти .

Решение

Из второго соотношения (1.14) следует, что

.

Пример 1.18

Найти .

Решение

Из первого соотношения (1.15) следует, что

.

Логарифмическая функция.

определяется как функция, обратная показательной функции, т.е. из уравнения

,

Отсюда следует определение логарифмической функции:

(1.16)

Если положить k = 0 и наложить ограничение на, то получим однозначную ветвь логарифмической функции, которую называют главным значением логарифмической функции и обозначают

(1.17)

Пример 1.19

,

, .

Отсюда следует, что

. Главное значение .

Пример 1.20

Найти .

Решение

= ==;

Окончательно,

Если положить k = 0, то получим главное значение логарифма

.