![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В о п р о с ы
- •В о п р о с ы
- •Вопросы к заданию 1
- •Вопросы к заданию 2
- •Вопросы к заданию 3
- •Вопросы к заданию 4
- •Вопросы к заданию 5
- •Вопросы к заданию 6
- •Вопросы к заданию 7
- •Вопросы к заданию 8
- •Вопросы к заданию 9
- •Вопросы к заданию 10
- •Вопросы к заданию 11
- •Вопросы к заданию 12
- •Вопросы к заданию 13
- •Вопросы к заданию 14
- •Вопросы к заданию 15
- •Вопросы к заданию 16
- •Задания к лабораторным работам и типовым расчетам по курсу ”Информатика”
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Вопросы к заданию 8
1. Сформулируйте задачу интерполирования функций. Какие инженерные задачи по избранной специальности могут быть сведены к задаче интерполирования табличных функций?
2. Запишите в общем виде полином Лагранжа. В чем состоит его определение?
3. Как построить СЛУ для вычисления коэффициентов полинома Лагранжа?
4. Какова размерность СЛУ для поиска коэффициентов полинома Лагранжа, как размерность системы соотносится с числом заданных узловых точек?
5. Чему равно значение полинома Лагранжа в узловых точках? Как проверить правильность нахождения его коэффициентов?
6. В чем недостаток полинома Лагранжа, ограничивающего его практическое применение?
ЗАДАНИЕ 9. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
9-1. Определить
аналитическое выражение многочлена
по методу наименьших квадратов для
исходных данных, заданных в таблице
для предыдущего задания. Систему линейных
уравнений решить методом Крамера.
Определить приближенные значения
функции при заданных значениях аргумента
и
.
9-2. Определить
аналитическое выражение многочлена
по методу наименьших квадратов для
исходных данных, заданных в таблице для
предыдущего задания. Систему линейных
уравнений решить методом обращения
матрицы. Определить приближенные
значения функции при заданных значениях
аргумента
и
.
Найти среднеквадратичное уклонение
многочлена
от табличной функции.
Указания к выполнению работы.
Коэффициенты
полинома требуемой степени определяются
путем решения системы линейных уравнений.
Поэтому вначале необходимо сформировать
СЛУ, записав матрицу коэффициентов при
неизвестных и столбец свободных членов.
Решить СЛУ предложенным методом. Записать
полученный полином и вычислить его
значения при заданных значениях аргумента
и
.
Для определения среднеквадратичное
уклонение найденного многочлена
от табличной функции
в узловых точках
необходимо построить следующую таблицу.
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы к заданию 9
1. Какой критерий близости многочлена к узловым точкам исходной таблицы используется для построения полинома в методе наименьших квадратов?
2. Как соотносится степень полинома, полученного по методу наименьших квадратов, с количеством узловых точек? Какова требуемая степень полинома для данного задания?
3. Как построить систему линейных уравнений для определения коэффициентов полинома?
4. Что характеризует среднеквадратичное отклонение полинома от табличной функции в узлах таблицы?
ЗАДАНИЕ 10. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
10-1.
Проверить достаточные условие сходимости
для заданной системы линейных уравнений
(СЛУ). При необходимости преобразовать
СЛУ. Решить СЛУ методом простых итераций,
выполнив 3 шага итерационного процесса.
Оценить абсолютную погрешность результата
.
10-2.
Проверить достаточные условие сходимости
метода простых итераций для заданной
СЛУ. При необходимости преобразовать
СЛУ. Решить СЛУ методом простых итераций
с абсолютной погрешностью не более
0,001. Определить требуемое число шагов
вычислительного процесса. Вывести
график изменения абсолютной погрешности
для каждого уравнения и для всей СЛУ в
зависимости от числа шагов вычислительного
процесса и график изменения относительной
погрешности
для
всей СЛУ. Сравнить окончательное решение
с точным решением, полученным методом
обращения матрицы.
Использовать исходные данные из таблицы вариантов для решения СЛУ по правилу Крамера.
Указания к выполнению работы.
Проверка достаточных условий сходимости итерационной последовательности может проводиться различными способами. Один из них состоит в проверке доминирования по модулю элементов на главной диагонали для матрицы коэффициентов при неизвестных, составленной для исходной СЛУ. Если такие условия не выполняются, то следует преобразовать исходную СЛУ с помощью линейных операций.
После
преобразования СЛУ для удовлетворения
достаточных условий сходимости и перед
применением итерационных методов
необходимо еще раз преобразовать СЛУ
так, чтобы в левой части каждого уравнения
оставались переменные с номером
соответствующего уравнения. Для СЛУ
система должна принять вид:
В качестве начального приближения может быть выбран вектор свободных членов.
Расчеты проводить в следующей таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие остановки по
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь
– номер
итерации; значения
,
,
- текущие решения СЛУ;
,
,
- правые части первого, второго и третьего
преобразованный уравнений;
,
,
- текущие оценки абсолютной погрешности
для
,
,
;
=max(
,
,
)
– это оценка абсолютной погрешности
всей СЛУ на текущей итерации;
=
-
относительная погрешность решения всей
СЛУ (используется для построения
графика). Условие остановки состоит в
анализе
<
.
Это условие будет выполнено, если
существует покомпонентная сходимость,
т.е. наблюдается уменьшение погрешности
для каждой переменной с ростом числа
итераций.
Кривые изменения оценок абсолютных погрешностей для каждой переменной и в целом для СЛУ в зависимости от числа итераций должны располагаться на одном графике, а кривая относительной погрешности – на другом графике.